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参照秘密级管理★启用前
2024一2025学年度第一学期高一教学质量检测
数学
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，
紧
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写
在答题卡上，写在本试卷上无效，
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知集合A={-10,1号，B={yy=Vx+1,x∈A,则AnB=
A.{0,1
B.{-1,03
c.{o,1v2
D.{-10,w2
2.命题“x≥1，x2≥1”的否定是
A.3x≥1，x2<1
B.3x<1,x2<1
布
C.x≤1，x2≥1
D.3x<1,x2≥1
3.tan2025°=
A.
2
B.
2
c.-1
D.1
2
4.下列函数零点不能用二分法求出的是
A.f(x)=x3-1
B.f(x)=x+14
C.f(x)=x2+2W2x+2
D.f(x)=-x2+4x+1
5.己知扇形的周长为4，则该扇形面积的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在(-o,0)上单调递减，a=f(0.5),
b-1(3),cs
则
A.cB.aC.cD.a高一数学试题
第1页（共4页)
7.已知8∈(0，m),且sin0+cos6=,
，则下列结论正确的是
5
A.sin.cos=12
25
B.sine-cos0=_7
5
C.tan0=-3
D.sine.cos0-cos20=_21
25
8.已知x>0,y>0,x+4y=5,若不等式x2+5y≥-m2y+6mxy恒成立，则
实数m的取值范围是
A.1≤m≤5
B.m≤1或m≥5
C.3-V3≤m≤3+V3
D.m≤3-V3或m≥3+√3
二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全
的得部分分，有选错的得0分.
9.已知非零实数a,b,且a>b,则下列不等式一定成立的是
A.eaB.>1
C
1、1
b
D.a+a2>b+b2
10,已知函数f(x)的定义域为R，f(y)=f(y)+f(x),则
A.f①)=0
B.f(-1)=0
C.f(x)是奇函数
D.f(x)是单调函数
11.已知函数f(x)=
[-x2-2x+1,x<0
,则
1og2xl,x>0
A.若方程f(x)=α有四个不同的实根，则其中两个负根之和为-2
B.若方程f(x)=a有四个不同的实根，则其中两个正根之积为1
C.若方程f(x)=a有三个不同的实根，则a的取值范围为(0，)
D.方程f(x)=3-x的两根之积小于1
高一数学试题
第2.而（共4页）参照秘密级管理★启用前
2024─2025 学年度第一学期高一教学质量检测
数学详解
一． 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1. A 2.A．3.D．4.C 5.A．6.B．7.D. 8.B．
二． 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选
不全的得部分分，有选错的得 0 分．
9.AC 10.ABC 11.ABD
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
7 2 2 5
答案：12. ，13. ， 14.1 a
2 3 4
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
1 x
15．（13 分）函数 f (x) = ln + ax3．
1+ x
（1）证明：函数 f ( x)的图象是中心对称图形；
6′：定义域 2′；奇函数证明 3′；结论 1′（有结论就给分）
（2）若a = 0 ，根据定义证明函数 f ( x)的单调性．7′：
法一：直接证明；
取值作差 1′→变形 1′(简单的对数运算)→定号 4′→ 结论 1′
法二：间接证明：对数比大小转化为真数比大小
取值作差 1′→变形 3′→定号 2′→ 结论 1′
1 x
证：由 0 可得函数 f ( x) 的定义域为 ( 1,1) ，定义域关于原点对
1+ x
称 ……2 分
1+ x 1 x
Q f ( x) = ln ax3 = ln ax3 = f (x) ……5 分
1 x 1+ x
备注：
①定义域只列式或者写成范围的扣 1 分；
高一数学试题 第1页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
②只写对 f ( x)的表达式给1分 ；只有 f ( x) = f (x) 无中间过程的给 1 分 .
1 x 1+ x
（还可以这样证明 f ( x)+ f (x) = ln ax3 + ln + ax3 = ln1= 0…5 分）
1+ x 1 x
所以函数 f ( x)为奇函数，其图象的对称中心为 (0,0) . ……6 分
1 x
(2) 法一： 当a = 0 时， f (x) = ln ，其定义域为 ( 1,1)
1+ x
1 x (1 x )
对 x1, x2 (
2
1,1) 1且 x x ， f (x1 ) f (x2 ) = ln ln1 2 ……7 分
1+ x1 (1+ x2 )
(1 x1 )(1+ x2 )
= ln ……8 分
(1+ x1 )(1 x2 )
不等式性质比大小①
因为 1 x1 x2 1，
所以 (1 x1 )(1+ x2 ) =1+ x2 x1 x1x2 1+ x1 x2 x1x2 = (1+ x1 )(1 x2 )
即 (1 x1 )(1+ x2 ) (1+ x1 )(1 x2 ) ……10 分
又 (1+ x1 )(1 x2 ) 0
(1 x1 )(1+ x2 )
所以 1， ……12 分
(1+ x1 )(1 x2 )
不等式性质比大小②
Q 1 x1 x2 1
1 x1 1 x2 0 , 1+ x2 1+ x1 0 ……10 分
1 x
1
1+ x
1 2, 1
1 x2 1+ x1
(1 x1 )(1+ x2 )
1 ……12 分
(1 x2 )(1+ x1 )
高一数学试题 第2页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
作差法比大小③
(1 x1 )(1+ x2 ) (1+ x1 )(1 x2 ) = (1+ x2 x1 x1x2 ) (1+ x1 x2 x1x2 ) = 2x2 2x1 0
即 (1 x1 )(1+ x2 ) (1+ x1 )(1 x2 ) ……10 分
又 (1+ x1 )(1 x2 ) 0
(1 x1 )(1+ x2 )
所以 1，
(1+ x1 )(1 x2 )
(1 x1 )(1+ x2 )
即 ln 0， ……12 分
(1+ x1 )(1 x2 )
所以 f (x1 ) f (x2 ) 0，即 f (x1 ) f (x2 )．
所以函数 f ( x)在区间 ( 1,1)上单调递减． ……13 分
1 x
法二： 当a = 0 时， f (x) = ln ，其定义域为 ( 1,1)
1+ x
2
令 g (x) = 1+ ，
1+ x
x1, x2 ( 1,1)且 x1 x2，
……7 分
1 x 1 x
g (x1 ) g (x2 ) =
1 2
1+ x1 1+ x2
2 2
= 1+ 1+ ……9 分
1+ x1 1+ x2
2(x2 x1 )
= ……10 分
(1+ x1 )(1+ x2 )
备注：作差后直接得出最后形式的不扣分..
因为 1 x1 x2 1，所以 (1+ x1 )(1+ x2 ) 0， x2 x1 0
所以 g (x1 ) g (x2 )，
高一数学试题 第3页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
故 f (x1 ) f (x2 )． ……12 分
所以函数 f ( x)在区间 ( 1,1)上单调递减． ……13 分
不用定义证明，而是利用增减运算或复合函数增减性做简单判断，结果对的得 1′，
例如：
做法一：f (x) = ln (1 x) ln (1+ x)，减—增=减，所以函数 f ( x)在区间( 1,1)
上单调递减．
1 x 2 2
做法二： f (x) = ln = ln 1 , t (x) = 1在 ( 1,1)上单调递减，
1+ x 1+ x 1+ x
y = ln t 在 (0,+ )上单调递增，所以函数 f ( x)在区间 ( 1,1)上单调递减．
π
16．（15 分）已知函数 f (x) = Acos ( x + ) A 0, 0,| | 的部分图象如图
2
所示．
(1) 求 f ( x)的解析式．
8′： 求值 2′； 求值 3′（列式 1分，求值 2分）； A 求值 2′，解析式 1′
π π
(2) 当 x , 时，求函数 y = f (x) 的最大值和最小值．
3 6


7′：
π
单调性：2x + 范围 1′，增区间 1′，减区间 1′，三个求值一个一分，结论 1分
3
高一数学试题 第4页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
π
整体代换：2x + 范围 1′，最大值 3′，最小值 3′
3
【详解】（1）由图可知 f ( x)的最小正周期：
π 5π
T = 2 ( ) = π， ………………………1 分
12 12
2π
则T = = π，解得 = 2． ………………………2 分

π
求 法一：代入零点：因为 f ( x)的图象经过点 ,0 ，所以
12
π π
f = Acos + = 0， ………………………3 分
12 6
π π π 2π
因为 | | ， + ( , ) ，
2 6 3 3
π π π
所以 + = ， = ． ………………………5 分
6 2 3
π π
（也可以 f = Acos + = 0，
12 6
π π π
+ = + k ,k Z ,即 = k + ，k Z ,因为 | | ，令 k = 0 ，得 = ）
6 2 3 2 3
π
求

法二:代入最值点：当 x = 时，所以cos + =1，……………3 分
6 3
π π 5π π π π
因为 | | ， + ( , )，所以 + = 0， = …………………5 分
2 3 6 6 3 3
π π
（也可以cos + =1， = 2k ,k Z ,即 = 2k + ，k Z ,因为
3 3 3
π π
| | ，令 k = 0，得 = ）
2 3
π π求 法三：平移变换法：Q| | , 将 y = Acos2x 向左平移 个单位 ……3 分
2 6
高一数学试题 第5页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
π
y = Acos2 x + = Acos 2x + ，所以 = …………………5 分
6 3 3
求 法四：第一零点法
π π
Q| | , 2 + = , = ………………………5 分
2 12 2 3
π
因为 f ( x)的图象经过点 (0,1)，所以 f (0) = Acos 0+ =1，
3
所以 A = 2 ． ………………………7 分
π
故 f (x) = 2cos 2x + ． ………………………8 分
3
备注：解析式只写结果的而且正确的得 1 分。
（2）求最值
法一：利用单调性
π π π π 2π
因为 x , ，所以2x + , ………………9 分
3 6 3
3 3
π π π π
当 2x + 0，即 x 时， f ( x)单调递增； ………10 分
3 3 3 6
π 2π π π
当0 2x + ，即 x 时， f ( x)单调递减． ………11 分
3 3 6 6
π π 2π
因为 f =1， f = 2， f = 1， ………14 分
3 6 3
函数 y = f (x) 的最大值为 2 ，最小值为 1 . ………15 分
法二：利用整体代换
π π π π 2π
因为 x , ，所以2x + , ………………9 分
3 6 3 3 3
高一数学试题 第6页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
π
当 2x + = 0，即x=- , ymax = 2 ………………12 分
3 6
π 2
当 2x + = ，即 x = ， ymin = 1. ………………15 分
3 3 6
备注：
π
① 2x + = 0和x=- 有 1 个不扣分，都没有扣 1 分.
3 6
π 2
② 2x + = 和 x = 有 1 个不扣分，都没有扣 1 分.
3 3 6
③不管用哪个方法，若用图像代替了中间过程，结果只要正确，不扣分.
x
17．（15 分）已知函数 f (x) = a +1(a 0 且a 1)的图象恒过定点 A ，且点 A 在函
数 g (x) = log2 (x + a)的图象上．
3
(1)若 f (x) f ( x) = ，求 x的值 ;
2
(2)若函数 y = f g (x) 在区间 2，6 上的图象总在 y = kx +1图象上方，求实数 k 的
取值范围．
【详解】（1） f (x) = a x +1(a 0) ，
当 x = 0 时， f (x) = 2，
则函数 y = f (x)图象恒过定点 A(0，2)， ………………2 分
又Q A(0，2)在函数 y = g (x)图象上，
则 2 = log2a ，得a = 4 ………………4 分
3 3
由 f (x) f ( x) = 4x 4 x，则 = ，
2 2
1 3
令 4x = t 0，则 t = ，
t 2
即 2t 2 3t 2 = 0， (2t +1)(t 2) = 0，
高一数学试题 第7页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
∵ > 0， t = 2，
1
即 4x = 2 ，得 x = ． ………………6 分
2
log (x+4) log (x+4)2 2
（2） f g (x) = 4 2 +1= 4
4 +1= (x + 4) +1，……7 分
函数 y = f g (x) 在区间[2,6]上的图象总在直线 y = kx +1图象上方，
则 (x + 4)2 +1 kx +1在区间[2,6]上恒成立，（（x + 4）2 + 1 kx + 1）
x2即 + (8 k ) x +16 0在区间[2,6]上恒成立， （x 2 + (8 k)x + 16 0）
8 分
法一：令h (x) = x2 + (8 k ) x +16，则h(x)min 0，
k
函数 y = h ( x)的对称轴为 x = 4 ，
2
k
① 4 2，即 k 12 ， y = h ( x)在区间[2,6]上单调递增，
2
h(x)min = h (2) = 36 2k 0 ，
则 k 18，又 k 12 ， k 12； ………………10 分
k
②2 4 6，即12 k 20，
2
k k
函数 y = h ( x)在 2， 4 上单调递减，在区间 4，6 上单调递增，
2 2
2
k k k k
则 h(x)min = h 4 = ( 4)
2 + (8 k ) 4 +16 = + 4k 0，
2 2 2 4
则0 k 16，又12 k 20，所以12 k 16； ………………12 分
k
③ 4 6，即 k 20， y = h ( x)在区间[2,6]上单调递减，
2
50
h(x)min = h (6) =100 6k 0，即 k ，
3
高一数学试题 第8页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
又 k 20， 无解， ………………14 分
综上所述，实数 k 的取值范围为 ( ，16)． ………………15 分
讨论时，等号没有扣 2 分
2
法二： x + (8 k ) x +16 0在区间[2,6]上恒成立，
16
等价于不等式 k 8 x + 对于任意 x [2,6]恒成立， ………11 分
x
16 16
其中 x + 2 x = 8， ………………………13 分
x x
当且仅当 x = 4 时等号成立；
故只需 k 8 8，即 k 16 即可，
实数 k 的取值范围为 ( ，16)． ………………………15 分
18．（17 分）已知函数 f (x) = ax2 2x + 3， a R ．
(1) 若关于 x的不等式 f (x) 0的解集为 (m,n)，求4m + n 的最小值；
(2) 解关于 x的不等式 f (x) + (a +1)x 4 ．
解：(1) f (x) 0的解集为 (m,n)，则a 0 ，
且m, n 是方程ax2 2x + 3 = 0的两根， …………………….2 分

= 4 12a 0

2 1
则 m + n = ，所以0 a ，m 0,n 0 ，不写扣一分
a 3
3
mn = a
1 1 m+ n 2
且 + = = ……………………5 分
m n mn 3
3 1 1 3 n 4m 27
所以4m+ n = (4m+ n)( + ) = (5+ + ) ， ……………8 分
2 m n 2 m n 2
高一数学试题 第9页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
n 4m 9 9 8
当且仅当 = ，即m = ,n = 时等号成立，a = ,满足题意.不写扣一分
m n 4 2 27
27
所以4m + n 的最小值 . ……..…9 分
2
（2）由 f (x) + (a +1)x 4 得ax2 + (a 1)x 1 0， …………10 分
ax2 + (a 1)x 1= (x +1)(ax 1) 0 或写出两个根也给 1 分 …………11
分
①当a = 0时, x 1 0 ，所以 x 1， …………12 分
1 1
②当a 0时， 1 ，不等式解得 x 1或x ； …………13 分
a a
1 1
③当 1 a 0时， 1，不等式解得 x 1； …………14 分
a a
1 1
④当a 1时， 1，不等式解得 1 x ； …………15 分
a a
1
⑤当a = 1时， = 1，所以不等式无解； …………16 分
a
1
综上，当a 1时，不等式的解集 ( 1, )
a
当 a = 1时，不等式的解集为
1
当 1 a 0时，不等式的解集为 ( , 1)
a
当 a = 0 时,不等式的解集为 ( , 1)
1
当 a 0 时，不等式的解集为 ( , 1) ( ,+ ) . …………17 分
a
19．（17 分）已知集合 A *，若集合 A 中存在三个元素a,b,c ，同时满足：
① a b c；②a + b c；③a + b + c 为偶数，则称集合 A 具有性质 P ．
*
已知集合Cn = 1,2,3,L , 2n (n N ,n 4) ，对于集合Cn 的非空子集 B ，若Cn 中
存在三个互不相同的元素 x, y, z ，使得 x + y, y + z, z + x 均属于 B ，则称集合B 是集
合Cn 的“期待子集”．
（1）若集合 A = 1,2,3,5 ，判断集合 A 是否具有性质 P ，并说明理由；
高一数学试题 第10页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
（2）若集合B = 3,4,d 具有性质 P ，证明：集合 B 是集合C4 的“期待子集”；
（3）已知集合M 是集合Cn 的非空子集，证明：“集合M 是集合Cn 的‘期待子集’”
是“集合M 具有性质 P ”的充要条件．
解析：（1）集合 A = 1,2,3,5 不具有性质 P ， …………1 分
理由如下：
（i）从集合A 中取三个元素1, 2,3，不满足条件② …………2 分
（ii）从集合A 中取三个元素1, 2,5 ，不满足条件② …………3 分
（iii）从集合A 中取三个元素 2,3,5，不满足条件② …………4 分
（iv）从集合A 中取三个元素1,3,5，不满足条件②③ …………5 分
综上所述，可得集合 A = 1,2,3,5 不具有性质 P .
（2）证明：由3+ 4 + d 是偶数，得实数 d 是奇数， …………6 分
（i）当d 3 4 时，由d + 3 4，
得1 d 3，即d = 2，不是奇数不合题意，
（ii）当3 4 d 时，由3+ 4 d ，
得 4 d 7 ，即d = 5，或d = 6 （不为奇，舍），
因为3+ 4+ 5 =12是偶数，所以集合B = {3,4,5}， …………8 分
令 x + y = 3, y + z = 5, z + x = 4，解得 x =1， y = 2 ， z = 3，
显然 x, y, z C4 = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
所以集合 B 是集合C4 的“期待子集”得证. …….......10 分
（3）证明：先证充分性：
当集合M 是集合Cn 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 x, y, z ，使得
x + y, y + z, z + x均属于M ，
不妨设 x y z ，令a = x + y ，b = x + z ， c = y + z ，
则 a b c ，即满足条件①， …………11 分
因为a + b c = (x + y)+ (x + z) (y + z) = 2x 0 ，
所以a + b c，即满足条件②， …………12 分
高一数学试题 第11页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}
因为a + b + c = 2(x + y + z)，
所以a + b + c 为偶数，即满足条件③， …………13 分
所以当集合M 是集合Cn 的“期待子集”时，集合M 具有性质 P .
再证必要性：
当集合M 具有性质 P ，则存在a,b,c ，同时满足① a b c ；②a + b c；
③ a + b + c 为偶数，
a +b+ c a + b + c a +b+ c
令 x = c ， y = b， z = a， …………15 分
2 2 2
则由条件①得 x y z ，
a +b+ c a +b c
由条件②得 x = c = 0，
2 2
由条件③得 x, y, z 均为整数，
a +b+ c c + a b c + (c b) b
因为c z = c + a = = c b 0，
2 2 2
所以0 x y z c ，且 x, y, z 均为整数，所以 x, y, z Cn ，
因为 x + y = a, x + z = b, y + z = c ，所以 x + y, x + z, y + z 均属于M ，
（以上三条写出两条即可满分）
所以当集合M 具有性质 P 时，集合M 是集合Cn 的“期待子集”. ……...17 分
综上所述，集合M 是“集合Cn 的‘期待子集’”是“集合M 具有性质 P ”的充要条
件.
高一数学试题 第12页（共12页）
{#{QQABRYAp4gqQgBSACB5qAQnQC0kQsIKiLWgExUCUqAQCyBNIFIA=}#}

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