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第八章 向量的数量积与三角恒等变换（能力提升）
——高一数学人教B版(2019)必修三单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知向量，满足，，且与的夹角为，则( )
A.6 B.8 C.10 D.14
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若向量且，则( )
A. B. C. D.4
4.已知，则( )
A. B. C. D.2
5.在中，，，，设点D为的中点，E在上，且，则( )
A.16 B.12 C.8 D.
6.当时，( )
A. B.
C. D.
7.如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别为AB，BC上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，，其中，则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.若a与b的夹角为锐角，则
C.若，则a在b上的投影向量为b
D.若，则
10.下列表达式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，.若，则__________.
13.已知，且，，则_________.
14.已知，且，则___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）设两个向量a，b满足，.
（1）若，求a与b的夹角；
（2）若a与b的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
16.（15分）已知向量，，且函数.
（1）求函数在时的值域；
（2）设是第一象限角，且，求的值.
17.（15分）如图，在等腰直角三角形中，，D，E是线段上的点，且.
（1）若，M是边的中点，N是边靠近A的四等分点，用向量，表示，；
（2）求的取值范围.
18.（17分）化简：
（1）；
（2）.
19.（17分）在梯形ABCD中，，，，，P，Q分别为线段BC，CD上的动点.
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，，求的最大值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，，且与的夹角为，所以
.故选B.
2.答案：B
解析：，则，即，可得，解得或.那么.故选B.
3.答案：A
解析：由题知，又因为，所以，解得，所以，所以.故选A.
4.答案：C
解析：由得，，所以，所以.故选C.
5.答案：A
解析：因为在中，，，，以B为原点，建立如图坐标系，
则，，，，设，则，，
由题意可知.即，即，所以.
所以，.所以.
故选：A.
6.答案：A
解析：，
，，，.
原式.故选A.
7.答案：A
解析：，，，，
，
，
，M，F，三点共线，，解得：，，
.
故选：A.
8.答案：A
解析：由题意可得，.
又因为，，
所以，，则，
，
所以
.
又由，且，可得.选A.
9.答案：ACD
解析：若，则，解得，A正确；若a与b的夹角为锐角，则，解得，当，即时，，即a与b的夹角为0，B错误；若，则，因为a在b方向上的投影数量为，且b的单位向量为，所以a在b上的投影向量为，C正确；若，则a与b同向，此时，D正确.故选ACD.
10.答案：AB
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.故选AB.
11.答案：ABD
解析：如图：
对于A项，因为BD与CE交于点O，则，共线，，共线，
设，，
则.
.
因为，共线，所以，使得，
即.
因为，不共线，所以解得所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A可知，，，
所以，所以，故B项正确；
对于C项，由A项知，，
所以，故C项错误；
对于D项，因为，，所以.又，所以在上的投影向量为，故D项正确.故选ABD.
12.答案：2
解析：因为，，，所以，解得，故，，所以，所以.
13.答案：或
解析：由和差化积公式可知，.
记，则，
解得或.故的结果为或.
14.答案：3
解析：由，得，即，
又，所以，从而.
15.答案：（1）
（2）且
解析：（1）设a与b的夹角为，
因为，
所以，即，
又，，所以，
所以，
又，所以，
所以向量a与b的夹角是.
（2）因为向量与的夹角为钝角，
所以，且向量与不反向共线，
所以.
因为a与b的夹角为，
所以，
所以，解得.
又向量与不反向共线，
所以，可得，
所以t的取值范围是且.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
，，
，则的值域为.
（2），
，
则，即，
又为第一象限角，则.
因此
.
17.答案：（1），；
（2）
解析：（1）如图所示：
，
；
（2）因为，
设，，则，
所以
，
，故的取值范围是.
18.答案：（1）原式
（2）原式
解析：（1）因为，所以，，，
所以原式
.
（2）因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，.
所以原式.
19.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
.
（2），
.
（3），，
，
由解得，
令，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，当时，函数取得最大值，
故的最大值是.第八章 向量的数量积与三角恒等变换（基础夯实）
——高一数学人教B版(2019)必修三单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.8
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量a，b满足，，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.7
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.在中，点D在边上，且.点E满足.若，，则( )
A. B. C.12 D.11
7.在菱形ABCD中，，点P在菱形ABCD所在平面内，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
8.若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.与a同向的单位向量为 D.a与b的夹角余弦值为
10.如图是《易 系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中O为这两正方形的中心，E，F，G，H分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，则___________.
13.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC的中点，若，则___________.
14.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知向量，，.
（1）若，求实数k的值；
（2）设向量d满足，且，求d的坐标.
16.（15分）已知为锐角，且满足.
(1)求的值;
(2)求的值.
17.（15分）如图，M、N分别是的边、上的点，且，，交于P.
(1)若，求的值;
(2)若，，，求的值.
18.（17分）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（17分）在等腰梯形中，，，，.
(1)若与垂直，求k的值；
(2)若P为边上的动点(不包括端点），求的最小值
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，得，解得，所以，所以.
2.答案：B
解析：，故选B.
3.答案：B
解析：，，，，向量a在向量b上的投影向量为.
4.答案：A
解析：，，，，
.故选A.
5.答案：B
解析：由，可得，
即，即得，
.故选：B.
6.答案：A
解析：因为，所以，因为，所以E为的中点，
则，
故
.故选A.
7.答案：C
解析：如图，设AC，BD交于点O，以O为原点，AC，BD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
易得，，，.
设，则，，，
则
，
当且仅当，时，取得最小值，
此时，则，
所以.
8.答案：B
解析：由题意可知，
因为，所以，
所以，
所以，
而，
所以，
而.
故选：B.
9.答案：BC
解析：对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，由题知，所以，所以，故B正确；对于C，由题知，所以与a同向的单位向量为，故C正确；对于D，，故D错误.故选BC.
10.答案：BCD
解析：对于A：，错误;
对于B：，B正确;
对于C：，C正确;
对于D：
，D正确.
故选：BCD.
11.答案：ABD
解析：对于A：，故A正确;
对于B：
，故B正确;
对于C：，故C错误;
对于D：因为，所以，又，，
所以，则，
所以，故D正确.
故选：ABD
12.答案：
解析：由得，又因为，所以，，所以，则.
13.答案：-3
解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
，，，，.设，则，.，，解得，.为BC的中点，，，，.
14.答案：
解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
15.答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意得，.
因为，
所以，
解得.
（2）设，因为，
，，且，
所以解得或
因此或.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为为锐角，所以，
所以，所以，
所以;
(2)由(1)知，
，
所以
.
17.答案：(1);
(2).
解析：(1)，
，，因此，;
(2)设，
再设，则，即，
所以，，解得，所以，
因此，.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，所以，
所以
.
（2）因为，由（1）知，所以，
所以，
，
所以
.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)过D作于O，
等腰梯形中易知，
又，故可得，
如图所示：以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，
所以，，
故
因为与垂直，
所以，
解得；
(2)设，，
则，，
则，
则，
对，，其对称轴，
故其最小值为，
所以的最小值为.

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