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第十章 复数（基础夯实）
——高一数学人教B版(2019)必修四单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（其中i为虚数单位），则( )
A. B.2 C. D.5
2.如果复数是纯虚数，则实数m=( )
A. B. C. D.
3.已知复数z在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
4.若复数z满足，则的虚部为( )
A. B. C.1 D.2
5.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.若复数z满足（i为虚数单位），则z的模( )
A. B.1 C. D.5
7.已知是纯虚数，则的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.
8.已知复数，且，其中a，b为实数，则( )
A. B. C. D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知复数，其中i为虚数单位，则( )
A. B. C. D.z的虚部为-1
10.若复数z满足（是虚数单位），则下列说法正确的是( )
A.z的虚部为 B.z的模为
C.z的共轭复数为 D.z在复平面内对应的点位于第一象限
11.已知，，则( )
A.的虚部为
B.是纯虚数
C.在复平面内所对应的点位于第一象限
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.i是虚数单位，复数___________.
13.若复数（i为虚数单位，）的实部与虚部互为相反数，则______
14.设复数z满足，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，.
（1）若，求，；
（2）若，为实数，求a，b的值.
16.（15分）已知复数，，其中.
（1）若，求a的值；
（2）若是纯虚数，求a的值.
17.（15分）已知复数z为纯虚数，是实数，i是虚数单位.
（1）求复数z；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
18.（17分）已知复数，为实数.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程的根，求实数m的值.
19.（17分）定义两个复数和之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）设，请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，则.故选A.
2.答案：C
解析：由复数是纯虚数，得，解得.故选：C.
3.答案：B
解析：由题意，因为，所以，故选B.
4.答案：C
解析：因为，所以，
则，故的虚部为1.故选:C.
5.答案：D
解析：设，因为，所以，所以，即，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选D.
6.答案：B
解析：由，得，
所以.故选B.
7.答案：B
解析：复数是纯虚数，且，
，解得，所以，，所以，故选：B.
8.答案：C
解析：因为复数，a，b为实数，
所以，
所以，解得，所以.故选：C.
9.答案：BD
解析：因为，所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
z的虚部为-1，故D正确.故选BD.
10.答案：BCD
解析：由，所以，
所以z的虚部为2，故A错误；
，故B正确；
z的共轭复数为，故C正确；
z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选BCD.
11.答案：BC
解析：的虚部为1，故A项错误;
为纯虚数，故B项正确;
，其在复平面内所对应的点位于第一象限，故C项正确;
，，，故D项错误.故选BC.
12.答案：
解析：.
13.答案：
解析：因为，;复数的实部与虚部互为相反数，，解得.
14.答案：
解析：设，，则，
所以，又，
所以，解得，所以，则.
15.答案：（1）；
（2）
解析：（1），，，，.又，，.
（2）由（1）得，.
，为实数，
16.答案：（1）2
（2）或
解析：（1），，，
，
解得，的值为2.
（2）依题意得，
，
是纯虚数，解得或.
17.答案：（1）；
（2）
解析：（1）由已知复数z为纯虚数，设（且），
所以.
又因为是实数，所以，
解得，即.
（2）因为，所以，
又因为复数所表示的点在第一象限，
所以解得，
即实数m的取值范围为.
18.答案：(1)
(2)-3
解析：(1)由，为实数，
则为实数，
所以，即，，
所以.
(2)由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，
则，
所以，，
又，所以.
19.答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：左边
，
右边
，
左边=右边，证毕.
（2）因为运算为运算的逆运算，所以的运算结果是关于变量z的方程的解.
设，则，
即.
当，时，解得，.
所以，故当，时，.第十章 复数（能力提升）
——高一数学人教B版(2019)必修四单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足，则复数的虚部是( )
A.8i B. C.8 D.
2.已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若复数z满足，则( )
A.10 B. C.20 D.
4.已知复数是纯虚数，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
5.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知复数z满足，则z的实部为( )
A. B. C. D.
7.若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.若复数z满足，则( )
A. B.z的虚部为
C.为纯虚数 D.
10.若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.为纯虚数 B.
C. D.
11.已知复数，为的共轭复数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若复数，则___________.
13.定义运算，若，则实数x，y的值分别为__________.
14.已知复数和复数满足，（i为虚数单位），则______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知复数，其中a是正实数，i是虚数单位
(1)如果为纯虚数，求实数a的值；
(2)如果，是关于x的方程的一个复根，求的值.
16.（15分）已知复数z为纯虚数，且为实数.
(1)求复数z；
(2)设，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
17.（15分）已知复数，且为纯虚数.
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
18.（17分）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.
（1）求实数的值；
（2）求的坐标；
（3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
19.（17分）设是虚数，是实数，且，.
(1)求的值以及的实部的取值范围；
(2)求证为纯虚数；
(3)求的最小值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由可得，所以，所以，所以的虚部是，故选D.
2.答案：D
解析：法一：复数，其在复平面内所对应的点位于第四象限，故选D.
法二：复数，其在复平面内所对应的点位于第四象限，故选D.
3.答案：B
解析：由已知，所以.故选B.
4.答案：B
解析：，因为复数是纯虚数，所以，所以，故选B.
5.答案：A
解析：由，得，
所以，故选：A.
6.答案：C
解析：设，由，得，，解得，故z的实部为，故选：C.
7.答案：B
解析：设，则，
又，得到，
所以，，所以，，或，，得到，
所以.故选：B.
8.答案：A
解析：设，则.
因为，则，
可得，解得，
即，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
9.答案：BCD
解析：设，则，，
，，解得，，故.
A.，选项A错误.
B.z的虚部为，选项B正确.
C.，为纯虚数，选项C正确.
D.由得，故，选项D正确.
故选：BCD.
10.答案：ABD
解析：设复数，a，由，得，整理得，于是解得所以，.
对于A，为纯虚数，A正确；
对于B，，所以，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.故选ABD.
11.答案：ABC
解析：对于A，因为，所以，
所以，A正确；
对于B，，
，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，因为，所以，
所以，D错误.
故选：ABC
12.答案：5
解析：方法一：，所以.
方法二：，所以，所以.
13.答案：，2
解析：由定义得，
所以.
因为x，y为实数，所以，
即，解得.
14.答案：
解析：设，，，
则，，
所以，
因为，，
所以，
则.
故答案为：.
15.答案：(1)4；
(2)8
解析：（1）因为，所以，
因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），
所以.
（2）因为，所以，
则，
因为是关于x的方程的一个复根，
所以与是的两个复根，
故，则，
所以.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)设且，
则.
为实数，
，
即.
(2)由(1)及已知得，
故，
在复平面内对应的点位于第三象限，
且，解得.
又，
，
，
即的取值范围是.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1），
.
为纯虚数，，解得，
，
.
（2），
在复平面内对应的点的坐标为.
又复数在复平面内对应的点在第四象限，，解得，
实数a的取值范围为.
18.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）复数在复平面内对应的向量，
复数在复平面内对应的向量，
复数在复平面内对应的向量，
.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
所以，解得，.
（2）.
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则.
由（2）得，所以，
解得，故点A的坐标为.
19.答案：(1)，
(2)证明见解析
(3)1
解析：(1)设，
则
因为是实数，所以，即，
因为，所以，即，且，
由，得，解得，
即的实部的取值范围为；
(2)∵，
，
因为，，
所以为纯虚数；
(3)
，
由，
故，
当且仅当，即时，取最小值1.

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