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第十一章 立体几何初步（基础夯实）
——高一数学人教B版(2019)必修四单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下面的几何体中是棱柱的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为( )
A.12 B.24 C.36 D.48
4.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球O的表面积为( )
A.30 B. C.33 D.
5.设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若l上有两点到的距离相等，则
C.，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则
D.若，，，，则
6.如图，在三棱柱中，底面ABC是正三角形，侧棱与底面ABC垂直，且，，E，F分别是，的中点，则异面直线EF与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，，，点M在PB上，且平面PBC，若PC上存在一点N使得平面平面AMN，则( )
A.1 B. C. D.
8.如图，在三棱柱中，M为的中点N为侧面上的一点，且平面，若点N的轨迹长度为2，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图(1)，，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，如图(2)，则( )
A.有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱
B.棱与水面所在平面平行
C.水面所在四边形的面积为定值
D.当容器倾斜成如图(3)所示时，EF的最小值为
10.在三棱锥中，AP，AB，AC两两互相垂直，，，，O为三棱锥的外接球的球心，D为的外接圆的圆心，则下列说法正确的有( )
A.三棱锥的体积为
B.直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C.球O的表面积为
D.
11.正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台高为1，则下列结论正确的是( )
A.该四棱台的体积为 B.该四棱台的侧棱长为
C.与BC所成角的余弦值为 D.与平面ABCD所成角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.三棱锥中，，过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB，CD都平行，且分别交BD，AD，AC于F，G，H，则四边形EFGH的周长为__________.
13.如图①，一个圆锥形容器的高为1米，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为米（如图②），则水的体积与圆锥形容器的体积比为___________；图①中的水面高度为___________米.
14.已知三棱锥中，底面ABC是边长为的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥外接球的表面积为，球心在三棱锥内，则二面角的余弦值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图所示，平面平面ABC，平面平面，平面PBC，E为垂足.求证：
（1）平面ABC；
（2）当E为的垂心时，是直角三角形.
16.（15分）如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，，，M，N，Q分别为AD，CD，EB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点.
（1）证明：平面ABCD；
（2）证明：平面EBF.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，平面ABCD，E，F，M，N分别是AB，PD，AD，BC的中点.
（1）若点H在线段FM上运动，求证：平面PAB；
（2）若PD与ED所成角为，求三棱锥的体积.
18.（17分）如图，在直三棱柱中，，，，点M，N分别在棱，上，且，.
（1）求证：平面ABM；
（2）求点到平面ABM的距离；
（3）求直线BC与平面ABM所成角的大小.
19.（17分）如图，在正三棱台中，，，过棱的截面与棱AB，BC分别交于点E，F.
（1）记几何体和正三棱台的体积分别为，，若，求EF的长度；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，
观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个.故选：C.
2.答案：D
解析：由直观图知： 四边形ABCD中，且其对应高，
所以四边形ABCD的面积为.故选：D.
3.答案：D
解析：设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a.因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得，所以，解得，则该正四棱柱的侧面积为，故选D.
4.答案：B
解析：因为，所以.又底面BCD，所以，，，，则有，可得，则球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论，可得，所以球O的表面积为.故选B.
5.答案：C
解析：若，，则或，故A错误；若l上有两点到的距离相等，则或或l与相交，故B错误；，，两两相交于三条直线l，m，n，不妨设，，，若，则.又，，，则，故C正确；若，，，，且m与n相交，则，当m与n不相交时，不一定有，故D错误.故选C.
6.答案：D
解析：如图，取AC的中点D，连接DF，DE，则，且，所以为异面直线EF与所成的角.又因为F是BC的中点，则.又因为三棱柱的侧棱与底面垂直，所以平面ABC.因为平面ABC，所以.在中，，所以.故选D.
7.答案：D
解析：如图所示，取PC的中点E，连接BE，令N位于PE的中点处.平面，平面，，，为PB的中点.，E为PC的中点，所以，M，N分别为PB，PE的中点，，.平面，平面，，，平面，平面PCD，所以平面平面.为PC的中点，N为PE的中点，，.故选D.
8.答案：B
解析：如图，
取的中点D，的中点E，连接，，，
由，，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面
所以平面平面，又平面，
故点N的轨迹为线段，又由，可得.
故选：B.
9.答案：ABD
解析：由棱柱的定义知，选项A正确；
对于选项B，由于，，
所以，且不在水面所在平面内，
所以棱与水面所在平面平行，选项B正确；
对于选项C，在图(1)中，，
在图(2)中，，选项C错误；
对于选项D，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以EF的最小值为，选项D正确.
10.答案：ABC
解析：在三棱锥中，AP，AB，AC两两互相垂直，，，，三棱锥的体积，故A正确.
，，，平面，直线BC与平面PAC所成的角为，，故B正确.
由AP，AB，AC两两互相垂直可知，该三棱锥的外接球的直径即为长、宽、高分别为，，的长方体的体对角线长，即为，外接球O的半径为，球O的表面积为，故C正确.
为三棱锥的外接球的球心，D为的外接圆的圆心，平面.，，，平面，，故D错误.故选ABC.
11.答案：AB
解析：在正四棱台中，，，设上、下底面中心分别为，O，连接，，，如图.
对于A，，A正确；
对于B，易知平面ABCD，在直角梯形中，，，，取AO中点E，连接，有，则，则，，B正确；对于C，显然，则是与BC所成的角或其补角，在等腰梯形中，，C错误；
对于D，由选项B知，平面ABCD，则是与平面ABCD所成的角，因此，显然，D错误.故选AB.
12.答案：2
解析：因为平面EFGH，平面ABC，平面平面，所以.又点E为BC中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故.同理，，所以四边形EFGH的周长为2.
13.答案：；
解析：设已知圆锥、题图②中含水的倒立小圆锥的底面圆的半径分别为R，r，则，
所以.设题图①中无水部分的圆锥的高为h，含水的圆台的上底面圆半径为，则，所以，所以，所以题图①中的水面高度为.
14.答案：
解析：设正三角形ABC的中心为O，连接OA，OB，OC，则，又平面ABC，则，延长CO交AB于点D，则点D为AB的中点，连接PD，则，，为二面角的平面角.
由，得，.
显然三棱锥为正三棱锥，其外接球的球心M在线段PO上，连接，三棱锥的外接球的表面积为，该球半径，由勾股定理得，，，，，，二面角的余弦值为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如图，在平面ABC内取一点D，过点D作于点F，于点G.
平面平面ABC，且平面平面，平面PAC.
又平面，.同理可证.
，平面ABC.
（2）如图，连接BE并延长交PC于点H.
是的垂心，.
又平面，平面，.
又，平面ABE.
平面，.
又平面，平面，.
又，平面PAC.
平面，，即是直角三角形.
16.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如图，连接AC，BD，设AC与BD的交点为O，连接OQ.
因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，又Q为EB的中点，
于是，，
即四边形OQFC为平行四边形，则，
又平面，平面ABCD，
所以平面ABCD.
（2）取ED的中点H，连接AH，CH，HF.
因为，且，则四边形HDCF，EHCF都为平行四边形，
则有，，，
于是四边形AHFB为平行四边形，则.
P为ED上靠近点D的四等分点，则P为HD的中点，
又N为CD的中点，则，
因此，又平面EBF，平面EBF，则平面EBF.
因为，且平面，平面EBF，所以平面EBF，
又，平面PMN，所以平面平面EBF.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，连接MN，FN.
因为M，N分别是AD，BC的中点，底面ABCD为矩形，所以.
因为平面，平面PAB，所以平面PAB.
因为F，M分别为PD，AD的中点，所以.
因为平面，平面PAB，所以平面PAB.
又因为，平面FMN，所以平面平面PAB.
因为平面FMN，所以平面PAB.
（2）因为平面，平面ABCD，所以.
又因为PD与ED所成角为，所以，
所以为等腰直角三角形，所以.
因为底面ABCD为矩形，E是AB的中点，且，所以，所以.
因为F为PD的中点，所以F到平面DEC的距离为.
易知
.
所以三棱锥的体积为.
18.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：连接MN，如图所示.，且，，，
又和AN都垂直于底面，且，
四边形ANMC是正方形，.
三棱柱是直三棱柱，
平面，，
又，，平面，平面，
又平面，.
又，平面，平面ABM.
（2）连接，，如图所示.
，且三棱柱是直三棱柱，平面，
又平面，点M到平面的距离即为.
不妨设点到平面ABM的距离为d.
由，得，
即，
得，解得，
点到平面ABM的距离为.
（3）如图，设AM与CN相交于点O，连接BO.
由（1）知，平面ABM，所以是直线BC与平面ABM所成的角.
，，，
又，，故直线BC与平面ABM所成的角为.
19.答案：（1）2
（2）
解析：（1）三棱台是正三棱台，平面，
平面，平面平面，.
若，则，几何体是三棱柱，
记，，，
此时，不满足题意，舍去；
因此，设与的延长线交于点O，与的延长线交于点，
则，，
，，，，即，，的延长线交于同一点，
几何体是三棱台，
，，.
（2）如图，延长，，交于点G，取AC的中点H，连接，，
，，，平面HBG，
平面HBG，过点B作交HG于点M，则，
，平面，平面，
为直线与平面所成的角.
由题可得，，，
在中，由余弦定理可得，
，
直线与平面所成角的正弦值为.第十一章 立体几何初步（能力提升）
——高一数学人教B版(2019)必修四单元测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列说法中，正确的是( )
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.一个多面体至少有4个面
C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
2.在直角坐标系中，水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点，，，.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为( )
A.8 B.10 C. D.
3.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知l，m，n是空间中三条互不重合的直线，，是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若，，，则
②若，，则
③若，，，，则
④若，，，则
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图所示，圆锥底面半径为1，母线，D为弧AB的中点，E是BC的中点，则异面直线AC与DE夹角的正弦值是( )
A. B.1 C. D.
6.在边长为4的菱形ABCD中，.将该菱形沿对角线AC折起，得到大小为的二面角，如图所示.若点E为的中点，F为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点F的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，T是的中点，Q是内的动点，，则Q的轨迹长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在梯形ABCD中，，，，将沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在棱长为2的正方体中，点M在线段上，，过A，，M三点的平面截正方体所得的截面记为，记BD与截面的交点为N，则( )
A.截面的形状为等腰梯形 B.
C.平面 D.三棱锥的体积为
10.古希腊哲学家发现并证明了只存在5种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，其中正八面体是由8个等边三角形构成.正八面体在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，另外在晶体和材料科学中也被广泛应用.现有一个棱长为2的正八面体PABCDQ，如图所示，下列说法中正确的是( )
A.若点P，A，B，C，D，Q在同一个球的球面上，则该球的体积为
B.若该正八面体的12条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为
C.该正八面体内任意一点到8个侧面的距离之和为定值
D.已知正方体的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为
11.如图，E为正方形ABCD的边CD上异于C，D的动点，将沿AE翻折成，在翻折过程中，下列说法正确的有( )
A.存在点E和某一翻折位置，使得
B.存在点E和某一翻折位置，使得平面SBC
C.存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABCE所成的角为
D.存在点E和某一翻折位置，使得二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在正方体中，截面与底面ABCD所成的二面角的正切值为__________.
13.如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段，上，且，G在上且平面平面，则___________.
14.若正四棱锥内接于球O，且底面ABCD过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图，在三棱柱中，平面，.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求四棱锥的高.
16.（15分）如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，，将沿DE折起形成四棱锥.
（1）求证：平面ABE；
（2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.
17.（15分）如图，已知直三棱柱，O，M，N分别为线段，，的中点，P为线段上的动点，，.
（1）若，试证；
（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值.
18.（17分）如图，在正方体中，M为棱AB的中点.
（1）试作出平面与平面ABCD的交线l，并说明理由；
（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，（），求的值.
19.（17分）如图，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿着直线DE翻折为，F为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.故选：B.
2.答案：D
解析：如图，画出直观图，过点作，垂足为D.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.故选D.
3.答案：C
解析：设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选C.
4.答案：A
解析：对于①，若，，，设，且，，则，故①为假命题.
对于②，若，，，且，，则，故②为假命题.
对于③，若，，，，当，时，结论不成立，故③为假命题.
对于④，若，，，m与n还可能相交或异面，故④为假命题.故选A.
5.答案：C
解析：设底面圆心为O，连接EO，CO，OD，如图所示，可知，故（或其补角）为异面直线AC与DE所成的角.
底面，.又点D为半圆弧AB的中点，，又，平面，，在中，，，，故异面直线AC与DE夹角的正弦值是.故选C.
6.答案：A
解析：如图，取AC的中点T，连接，，因为菱形ABCD的边长为4，，所以，故，，且，所以为二面角
的平面角，则.
在中，由余弦定理得，.取CT的中点M，CD的中点N，连接EM，EN，MN，又E为的中点，所以，，因为平面，平面EMN，所以平面EMN，同理得平面EMN，又，平面，故平面平面.因为，，，平面，所以平面，所以平面EMN，故点F的轨迹为（除点E外），故点F的轨迹的长度为.故选A.
7.答案：B
解析：先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点E，F，连接，，.
因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以.
因为在中，，E为的中点，所以.又，所以平面.
进一步.取，，的中点M，N，S，连接，，，，易证平面平面.
故平面，
记，又Q是内的动点，
根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面与平面的交线段，
在中，，，，
由余弦定理得：.故.故选：B.
8.答案：B
解析：在等腰梯形ABCD中，，，，，，，，.
如图，在三棱锥中过点P作交AC于点F，
则易得，，，，故，.
又，，平面，平面，平面ABC，
平面平面.，平面ACP，平面平面，平面ABC.
设的外接圆圆心为，易知其位于斜边AB的中点，设等腰三角形APC的外接圆圆心为H，易知其位于PF的延长线上，过作平面ABC的垂线，过H作平面ACP的垂线，设两垂线交于点O，则O为三棱锥外接球的球心，连接，，则，平面ACP，又，，因此四边形为矩形，是顶角为的等腰三角形，，，，三棱锥外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积.故选B.
9.答案：BCD
解析：如图，连接，并延长交BC于点E，易得，，是BC的中点.取的中点F，连接，，，易得.又，四边形为菱形，且菱形为，故A错误.同理可得，，，故B正确.连接，由前两个相似三角形可知，.连接，在正方体中，易得，，且，平面，.同理可得.又，平面，平面，故C正确.易得N，M为，上靠近E，C的三等分点，.又，，，故D正确.选BCD.
10.答案：ABC
解析：由题可知，依次连接正方体6个面的中心，得到正八面体PABCDQ，如图所示.
对于A，点P，A，B，C，D，Q在图中正方体内切球的球面上，设该球的半径为，因为，所以，得，则所求球的体积为，故A正确；
对于B，由上图知，正八面体12条棱的中点在同一球的球面上，即该球与12条棱相切于棱的中点，该球的直径为，即，故该球表面积为，故B正确；
对于C，正八面体体积为，设正八面体内任意一点到8个侧面的距离分别为，，…，，由体积相等，得，解得（定值），故C正确；
对于D，由题意知，该正方体棱长最大时，其外接球即为正八面体的内切球，设该球半径为，取AB的中点，中点，该平面截该球所得截面圆的半径为，如图所示.
显然四边形是边长为的菱形，且，，由面积相等，得，得.设该球的内接正方体棱长为a，则，得，故D错误.故选ABC.
11.答案：ACD
解析：当时，，因为，，所以平面SAB，又因为平面SAB，所以，故A正确；四边形ABCE为梯形，所以AE与BC必然相交，故B错误；如图①所示，交BC于点F，交AE于点G，则图②中，连接，，S在平面ABCE的射影O在GF上，连接BO，SO，故为直线SB与平面ABCE所成的角，设二面角的平面角为，取，，故，，，，要使直线SB与平面ABCE所成的角为，只需，在中，由余弦定理得，解得，经验证，满足题意，故C正确；过点O作交AB于M，连接SM，因为，，，所以平面SOM，所以，则为二面角的平面角，取二面角的平面角为，要使二面角的大小为，只需，连接OA.因为，，所以，设，，则，，化简得，解得，经验证，满足题意，故D正确.故选ACD.
12.答案：
解析：如图，连接AC交BD于点O，连接，.
由题可知平面ABCD，因为平面ABCD，所以.因为底面ABCD为正方形，所以.又，所以平面.又平面，所以，所以即为二面角的平面角.在中，设，则，所以二面角的正切值为.
13.答案：
解析：连接，（图略），平面平面，且平面平面，平面平面，，.易得平面平面，又平面，平面.又平面平面，平面，平面，平面平面，，，可确定平面ABGF.又平面平面，平面平面，平面平面，，..
14.答案：
解析：因为正四棱锥内接于球O，且底面ABCD过球心O，球的半径为4，所以，所以，所以正四棱锥的表面积，正四棱锥的体积.
设正四棱锥内切球的半径为r，则，解得，所以该四棱锥内切球的体积为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）1
解析：（1）证明：因为平面，平面ABC，所以.
又，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又因为，，
所以，所以是等腰直角三角形，
所以是等腰直角三角形.
如图，取的中点为D，连接，则，
由（1）可知，平面，而平面，
所以，又，所以平面，
所以四棱锥的高即为.
又，所以四棱锥的高为1.
16.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在直角梯形ABCD中，，且，
四边形BCDE为平行四边形，
又，，.
在四棱锥中，，平面ABE，则平面ABE.
（2）由（1）知即为二面角的平面角，，
又，为等边三角形.
设BE的中点为F，CD的中点为G，
连接，，，，.
，，又，平面AFG.
又平面，，即为所求二面角的平面角.
平面，平面ABE，.
在原直角梯形中，设，
则翻折后四棱锥中，，，
在中，.
即二面角的余弦值为.
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中，为BC中点且，，平面平面，平面平面，平面ABC且，平面，
平面，.
，N分别为，的中点，，.
在直角和直角中，
，，，
，，
，，平面，，
平面，平面，.
（2）延长MP交于点Q，作，与BC相交于点D，如图所示，
由，，，得，，
平面，平面，.
又，，平面，，平面.
平面，与A到平面的距离相等，且距离为AD，
设直线MP与平面所成的角为，则，
当，即P为的中点时MQ最小，此时，
当点P为的中点时，线段MP与平面所成角的正弦值取得最大值.
18.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）作法：如图，连接AC，在平面ABCD内过点M作，交BC于点N，则直线MN即为平面与平面ABCD的交线l.
理由：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.
在正方体中，，，
所以四边形是平行四边形，，
在平面ABCD内过点M作，即，则直线MN即为交线l.
（2）由（1）知，在中，，M为棱AB的中点，
所以N为棱BC的中点.
在正方形中，延长交的延长线于点P，所以B为线段的中点.
由于N为棱BC的中点，所以连接并延长交的延长线于点P，
所以几何体是三棱台.
设正方体的棱长为a，则的面积，的面积，所以三棱台的体积，
则另一个几何体的体积.
因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，（），
所以，，所以.
19.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：方法一：取的中点N，连接FN，EN，如图.
F，N分别为，的中点，，.
四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，
，，，，
四边形BENF为平行四边形，.
平面，平面，平面.
方法二：延长DE，CB交于点G，连接，如图.
四边形ABCD为平行四边形，
.
又E为AB中点，B为CG中点.
又F为中点，，
又平面，平面，
平面.
（2）如图，取CD中点M，连接，，，连接.
，四边形ADME为平行四边形，四边形ADME为菱形，
，则翻折后，则即为二面角的平面角，.
作，垂足为G，连接CG.
，，，平面，
平面，又平面，，
又，，平面，平面DEM.
又平面，.
为边长为的等边三角形，，
，，.
又，，
，
.
方法一：，.
设点C到平面的距离为h，，
，，解得.
设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.
方法二：如图，取中点N，连接MN，作，垂足为H，连接NH.
M，N分别为，中点，
且，与平面所成角即为MN与平面所成角.
平面，平面，，
又，，平面，
平面，即为MN与平面所成的角.
，
又，，
，
即与平面所成角的正弦值为.

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