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11.4.2 平面与平面垂直
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.如图，在斜三棱柱中，，，则点在平面ABC上的射影点H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.内部（不包括边界）
2.如图，在正方体中，二面角的大小为( )
A. B. C. D.
3.如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上的一点，且圆柱的底面，则必有( )
A.平面平面BCD B.平面平面ACD
C.平面平面ACD D.平面平面ABD
4.如图，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使平面平面BCD，连接AC，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.在三棱锥中，，，则二面角的大小为( )
A. B. C. D.
6.如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①平面平面PAD；
②平面平面PBC；
③平面平面PCD；
④平面平面PAC.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
7.如图所示，平面四边形ABCD中，，，，将其沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列说法中不正确的是( )
A.平面平面ABD B.
C.平面平面ACD D.平面ABC
8.从空间一点P向二面角的半平面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足.若，则该二面角的平面角的大小为( )
A. B. C.或 D.不确定
9.（多选）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是( )
A.平面PAC B.
C. D.平面平面PBC
10.（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的有( )
A.在线段AD上存在一点M，使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为
C.二面角的大小为
D.平面PAC
11.已知a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确的命题是____________（填序号）.
12.四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的大小为____________.
13.如图，平面平面，，，是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为____________.
14.如图所示，平面平面，，，与平面，所成的角分别为和.过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则等于___________.
15.如图，在正方体中，，E为的中点，O为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面.
答案以及解析
1.答案：A
解析：连接（图略）.，，，平面.
又平面，平面平面，点在平面ABC上的射影点H必在平面与平面ABC的交线AB上.故选A.
2.答案：A
解析：在正方体中，易知平面，，，是二面角的平面角，易知，即二面角的大小为.故选A.
3.答案：B
解析：是圆柱上底面的一条直径，.又圆柱的底面，.，平面ACD.又平面，平面平面ACD.故选B.
4.答案：C
解析：因为平面平面BCD，平面平面，，平面ABD，所以平面BCD.又平面ABC，所以平面平面BCD.因为平面BCD，所以.又，，平面ABD，所以平面ABD.
又平面ACD，所以平面平面ACD.
综上，平面平面BCD，平面平面BCD，平面平面ACD，共有3对，故选C.
5.答案：D
解析：取AB的中点O，连接OP，OC.因为，所以，，且，所以为二面角的平面角.在中，，又，所以，即二面角的大小为.
6.答案：A
解析：平面，平面，.又正方形ABCD中，，，平面PAB，平面，平面平面PBC，②正确.
同理平面，平面PAD，
平面平面PAB，①正确.
设平面平面，，平面，平面，平面，.又易得平面PAD，平面PAD，P为垂足，为二面角的平面角，若平面平面PCD，则，在中不可能存在，③错误.
，，为二面角的平面角，若平面平面PAC，则，在中不可能存在，④错误.故选A.
7.答案：D
解析：选项A.由平面平面BCD，平面平面，
又，且平面，平面ABD.
由平面，平面平面ABD，故A正确.
选项B.由平面ABD，又平面ABD，则，故B正确.
选项C.由，，且，平面ACD.又平面，平面平面ACD，故C正确.
选项D.由平面ABD，又平面ABD，则，若平面ABC，由平面ABC，则，这与相矛盾，故D不正确.故选D.
8.答案：C
解析：当点P在二面角内时，如图①，
设直线平面，连接EO，FO，因为，，则，，，所以直线平面EPF.又平面EPF，则，，则是二面角的平面角.在四边形PEOF中，，，则有.
当点P在二面角外时，如图②，
同理可得是二面角的平面角，令，在与中，，则.
综上，二面角的平面角的大小为或.故选C.
9.答案：ABD
解析：对于A，垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而平面ABC，则，又由圆的性质可知，且，平面PAC，则平面PAC，所以A正确.
对于B，由A可知，又，且，平面PCB，所以平面PCB，而平面PCB，所以，所以B正确.
对于C，已知，若，，则平面PCB，所以，即，在中，矛盾，则不成立，所以C错误.
对于D，由B可知，平面PBC，又平面AEF，故平面平面PBC，所以D正确.故选ABD.
10.答案：ABC
解析：对于A选项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，
设AC与BD交于点O.侧面PAD为正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，.又，平面，平面PMB，故A正确.
对于B选项，平面，平面，，即异面直线AD与PB所成的角为，故B正确.
对于C选项，，平面.平面，，.又平面平面，是二面角的平面角.设，则，.在中，，即，故二面角的大小为，故C正确.
对于D选项，易得，与PA不垂直，与平面PAC不垂直，故D错误.故选ABC.
11.答案：③
解析：如图，可知与不一定垂直，①错误；当直线b与c不相交时，与不一定垂直，②错误；因为，，所以，又，所以，③正确.
12.答案：
解析：如图，E，F分别是AB，CD的中点，连接VE，EF，VF，则，，就是二面角的平面角.又，，三角形VEF为正三角形，.故答案为.
13.答案：6
解析：，O为AB的中点，.又平面平面ABD，且交线为，平面ABD.又平面，，为直角三角形.由此得直角三角形有，，，，，共6个.故答案为6.
14.答案：
解析：连接，.
因为平面平面，，，
所以，同理，所以，.设，则，，在中，，所以.
15.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）在正方体中，平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）连接，则，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面.
连接，因为O为的中点，所以O也是的中点.
因为E为的中点，所以，所以平面，
因为平面EOB，所以平面平面.11.4.1 直线与平面垂直
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.如图，平面ABC，在中，，则是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
2.如图，在正方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面，满足，且，不垂直，直线，那么下列命题中错误的是( )
A.对任意直线，都有 B.存在直线，使得
C.存在直线，使得 D.m与平面一定不垂直
4.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，在长方体中，，，则直线与平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，，，则与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. B.2 C. D.
7.如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有( )
A.平面EFG B.平面EFG C.平面SEF D.平面SEF
8.如图，在长方体中，，E为棱CD的中点，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则( )
A.到平面的距离为1 B.
C.平面 D.平面
10.（多选）如图，在正四棱锥中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为( )
A. B. C.平面SBD D.平面SAC
11.如图，在三棱锥中，平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中，则DE与平面PAC的位置关系是_________.
12.如图，矩形ABCD中，，，平面ABCD，若在线段BC上至少存在一个点Q满足，则a的取值范围是__________.
13.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，M为的中点，则三棱锥的体积为___________.
14.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是__________.
15.如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求四棱锥的体积.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为平面，平面ABC，所以，又，，，平面PAC，所以平面PAC.又平面PAC，所以，故是直角三角形，故选A.
2.答案：B
解析：如图，连接，，，由题意得，，所以异面直线EF与GH所成的角是或其补角，
由正方体的性质知是等边三角形，，所以异面直线EF与GH所成的角是.故选B.
3.答案：C
解析：由可知m与内任意一条直线都垂直，故A正确；由，，可知且，所以当且时，，故B正确；由，相交且不垂直，，可得m与相交，故不存在直线，使，故C错误；若m与垂直，则，这与矛盾，所以m与一定不垂直，故D正确.故选C.
4.答案：B
解析：平面，平面ABCD，.
四边形ABCD是直角梯形，，，，，，，，.
，平面，平面PBD，又平面，，即C到直线PB的距离是.
是PC中点，到PB的距离等于C到直线PB的距离的一半，即为.故选B.
5.答案：C
解析：因为几何体为长方体，所以平面，平面平面ABCD，如图，过A作于E，平面平面，平面ABCD，则平面，所以直线与平面的距离为AE.
在直角三角形ABD中，由等面积法可得，故选C.
6.答案：D
解析：如图，连接AC，在长方体中，平面，是与平面ABCD所成的角，平面，.又，，所以.
在中，，即与平面ABCD所成角的正切值为.故选D.
7.答案：A
解析：对于A，因为在正方形中，，，所以在四面体中，，，因为，所以平面EFG.所以A正确.
对于B，因为平面，平面EFG，所以，所以，所以不可能为直角，所以SD与GD不垂直，所以SD与平面EFG不可能垂直，所以B错误.
对于C，由题意可知为等腰直角三角形，且，，所以GF与平面SEF不可能垂直，所以C错误.
对于D，由选项B的解析可知，不可能为直角，所以SD与GD不垂直，所以GD与平面SEF不可能垂直，所以D错误.故选A.
8.答案：B
解析：连接，，，，与相似，，，即.又，，平面，.故选B.
9.答案：AD
解析：易知到平面的距离为，故A正确.假设，连接CM，易知，又，平面，，又，，这与为等边三角形矛盾，假设不成立，故B错误.假设平面，连接，，又平面，，又M，N分别是，的中点，，，这显然不正确，假设不成立，故C错误.，，，平面，即平面，故D正确.
10.答案：AC
解析：如图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO.由正四棱锥，可得底面，，所以.因为，所以平面SBD.
因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以，，而，所以平面平面SBD，所以平面EMN，所以，故A正确；
由异面直线的定义可知，当P与M不重合时，EP与BD是异面直线，不可能有，因此B不正确；
平面平面SBD，所以平面SBD，因此C正确；平面SAC，若平面SAC，则，与相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，即D不正确.故选AC.
11.答案：平行
解析：因为平面，平面ABC，所以.又平面，平面PAC，所以平面PAC.
12.答案：
解析：平面，平面，.又，，平面PAQ.又平面PAQ，，点Q是以AD的中点为圆心，以AD长为直径的圆与BC的交点.，，在线段BC上至少存在一个点Q满足，.故答案为.
13.答案：
解析：在各棱长均为2的正三棱柱中，M为的中点，.又平面，平面，.
又平面，，
平面ACM.又，，三棱锥的体积为.
14.答案：
解析：若E为的中点，连接，，如图，
由正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，故，且平面，平面ABC，则，，，平面，所以平面，故为与侧面所成角的平面角，所以.故答案为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，
所以，所以.
又，，
所以平面ABCD.
（2）由题可知，四棱锥的底面面积为1.
因为平面ABCD，所以四棱锥的高为1，
所以四棱锥的体积为.

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