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9.2 正弦定理与余弦定理的应用
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于( )
A. B. C. D.
3.一艘海轮从海岛A出发，沿北偏东75°的方向航行nmile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿北偏东15°方向航行60nmile后到达海岛C，则海岛A与海岛C之间的距离为( )
A.150nmile B.140nmile C.130nmile D.120nmile
4.新版《北京市生活垃圾管理条例》规定，小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走，到达可回收垃圾桶，随后向北偏西方向走，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走( )
A. B. C. D.
5.某工厂的烟囱如图所示，底部为A，顶部为B，相距为l的点C，D与点A在同一水平线上，用高为h的测角工具在C，D位置测得烟囱顶部B在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在AB上，则烟囱的高( )
A. B. C. D.
6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得，，，在点B处测得塔顶T的仰角为，则塔高OT为( )
A. B. C. D.
7.2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.某校学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度约为，并从点P测得点A的仰角为.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得点A、点P的仰角分别为和（其中B，M，Q三点共线），则该学习小组利用这些数据估算赛道造型最高点A距离地面的高度约为( )
（参考数据：，）
A. B. C. D.
8.为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为OT，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶T处的仰角为；然后从A处向正西方向走140米后到达地面B处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高OT为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
9.（多选）某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，则x的值为
A. B. C.2 D.3
10.（多选）某货轮在A处看灯塔B，灯塔B在北偏东方向，距离为，在A处看灯塔C，灯塔C在北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B，灯塔B在南偏东方向，则( )
A.A处与D处之间的距离是
B.灯塔C与D处之间的距离是
C.灯塔C在D处的南偏西方向
D.D处在灯塔B的北偏西方向
11.《墨经 经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，，，则像高为____________.
12.如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为____________.
13.某数学建模兴趣小组参与数学建模活动，借助简易测角器和皮尺对国旗杆的高度进行测量.选定旗杆所处地面内的A，B两点，在旗杆的正南方向的A点用测角器测得旗杆顶部的仰角为，在旗杆北偏东方向的B点测得旗杆顶部的仰角为，用皮尺测得A，B两点间的距离为42米，测角器距离地面6米，则旗杆顶部距离地面的高度大约为___________米.（精确到0.01，参考数据：，，）
14.某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为.假设AB，CD和点M在同一铅垂面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为__________m.
15.如图，A，B是某海域位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/时.
（1）求B，C两点间的距离.
（2）该救援船前往营救渔船时应该沿怎样的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（角度精确到）
（参考数据：，）
答案以及解析
1.答案：D
解析：如图，由题意得，，，则，所以，所以，即B，C间的距离为.故选D.
2.答案：C
解析：在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由正弦定理得，.故选C.
3.答案：B
解析：由题意知，在中，，
，，根据余弦定理，得，
所以.故选B.
4.答案：A
解析：设自家楼下为点E处，可回收垃圾桶为点F处，有害垃圾桶为点G处，由题意，在中，，，，由余弦定理得.
5.答案：D
解析：如图，在中，，由正弦定理可得，所以，从而，故，故选D.
6.答案：A
解析：依题意，，在中，，即，解得.在中，，即.故选A.
7.答案：A
解析：由题意得，，所以，，.在中，.在中，由正弦定理得，即，所以.在中，.
8.答案：C
解析：设山OT的高度为h，在中，，，
在中，，，
在中，，
由余弦定理得，；
即，化简得；
又，所以解得；
即山OT的高度为(米).
故选：C
9.答案：AB
解析：如图所示，在中，，，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故选AB.
10.答案：AC
解析：如图，由题意可知，，，，，所以.在中，由正弦定理，得，所以，故A正确.在中，由余弦定理，得，则，故B错误.因为，所以，所以灯塔C在D处的南偏西方向，故C正确.显然D错误.故选AC.
11.答案：
解析：由，则，又，则，即.又物距：像距，则，即像高为，故答案为.
12.答案：
解析：在中，，，则.在中，，，则.在中，由余弦定理得，解得，所以步行速度为.故答案为.
13.答案：21.88
解析：如图所示，设旗杆高度为h，，
则，，，，.
所以，，由余弦定理，有，
即，解得.所以旗杆的高度.故答案为21.88.
14.答案：30
解析：在中，有，在中，，，，
由正弦定理得，
故.
在中，，
又
，
则.
15.答案：（1）30海里
（2）救援船前往营救渔船时应该沿南偏东方向航行，到达C处需要1.75小时
解析：（1）在中，，，则，
，
由正弦定理，得
，
故B，C两点间的距离为30海里.
（2）在中，，
由余弦定理得
，
则，
所以救援船到达C处需要的时间（时）.
由余弦定理可得.
又D为锐角，所以，所以.
故救援船前往营救渔船时应该沿南偏东方向航行，到达C处需要1.75小时.

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