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11.2 平面的基本事实与推论
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.下列条件一定能确定一个平面的是( )
A.空间三个点 B.空间一条直线和一个点
C.两条相互垂直的直线 D.两条相互平行的直线
2.在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设，，，为空间中的四个不同点，则“，，，中有三点在同一条直线上”是“，，，在同一个平面上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是( )
A. B.
C. D.
5.在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是( )
A.直线EH与FG一定平行 B.直线EH与FG一定相交
C.直线EH与FG可能异面 D.直线EH与FG一定共面
6.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面内的是( )
A.A，C，， B.D，E，G，F C.A，E，F， D.G，E，，
8.如图，在正方体中，M为棱的中点.设AM与平面的交点为O，则( )
A.，O，B三点共线，且
B.，O，B三点不共线，且
C.，O，B三点共线，且
D.，O，B三点不共线，且
9.（多选）下列命题正确的是( ).
A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面
10.（多选）下列说法错误的是( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行
11.三个平面最多可以将空间分为______部分．
12.若平面，直线，直线，则点M与l的位置关系为____________.
13.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作_________个.
14.给出下列说法：①与直线a都相交的两条直线与a在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面.
其中说法正确的是__________（填序号）.
15.如图，已知在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E，F分别是BC，PC的中点，点G在PD上，且.证明：A，E，F，G四点共面.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.故选D.
2.答案：C
解析：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图，PA，PB，PC相交于一点P，且PA，PB，PC不共面，则PA，PB确定平面PAB，PB，PC确定平面PBC，PA，PC确定平面PAC.故选C.
3.答案：A
解析：由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，可得若，，，中有三点在同一条直线上，则，，，在同一个平面上，故充分性成立；由推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面，可得当，，，，时，，，，在同一个平面上，但，，，中无三点共线，故必要性不成立.故选A.
4.答案：D
解析：在A图中，连接PS，QR（图略），易证，P，Q，R，S四点共面；
在B图中，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图所示，P，Q，R，S四点共面；
在C图中，连接PQ，RS（图略），易证，P，Q，R，S四点共面；
在D图中，连接PS，RQ（图略），易证PS与RQ不相交也不平行，P，Q，R，S四点不共面.故选D.
5.答案：D
解析：由于，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；
只有当，时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确；
只有当但时，此时四边形EFGH为梯形，此时EH，GF相交于一点，故B不正确.
故选：D.
6.答案：B
解析：已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面内，则m，n，l两两相交或m，n，l有两条平行，另外一条直线与它们相交或三条直线两两平行，故充分性不成立.
若m，n，l两两相交，则m，n，l在同一平面内，故必要性成立.
故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件.故选B.
7.答案：B
解析：选项A中，因为是的中点，所以在平面内；选项B中，因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面；选项C中，由已知可得，所以A，E，F，四点共面；选项D中，连接并延长，交于点H，则H为的中点，连接，则，所以G，E，，四点共面.
8.答案：A
解析：在正方体中，连接，，，如图，
又，则A，B，，四点共面，且平面平面.因为M为棱的中点，所以平面，又平面，所以平面.因为，所以平面.
因为AM与平面的交点为O，所以平面，于是得，即，O，B三点共线.显然且，于是得，即，所以三点，O，B共线，且.故选A.
9.答案：BD
解析：平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
10.答案：ABC
解析：对于A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A错；
对于B，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故B错；
对于C，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C错；
对于D，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D对.
11.答案：8
解析：如图所示，空间中三个平面最多可以将空间分为8部分.
故答案为：8.
12.答案：
解析：因为，
所以直线a，直线b，
因为直线，直线，
所以平面，平面，
又平面，
所以.
故答案为：.
13.答案：0或1
解析：当两点在平面同侧且到平面的距离相等时，过这两点的直线与该平面平行，此时可作一个平面与该平面平行；当两点到平面的距离不相等时，两点确定的直线与该平面不平行，此时无法作出与该平面平行的平面；当两点在平面异侧时，过这两点的直线与该平面相交，此时无法作出与该平面平行的平面.
14.答案：④
解析：如图①，在正方体中，，，但是，异面，故①错误.又，，交于点，但，，不共面，故②错误.
如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，那么这两个平面可以相交，故③错误.如图②，因为，所以a，b共面于.因为，，，故，，，故，即，而，故，故，即，即a，b，c，d共面，故④正确.故答案为④.
15.答案：证明见解析
解析：证明：在平面ABCD内，连接AE并延长交DC的延长线于点M，则有.
在平面PCD内，连接GF并延长交DC于点.
取GD的中点N，连接CN，则由可知，.
点F为PC的中点，在中，有，即，
在中，，点M与点重合，即AE与GF相交于点M，
A，E，F，G四点共面.

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