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8.1.3 向量数量积的坐标运算
——高一数学人教B版（2019）必修第三册同步课时作业
1.在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为( )
A.15 B. C.5 D.10
2.已知向量，，若，则( )
A. B.2 C.5 D.
3.已知向量，满足，，且，则，的夹角大小为( )
A. B. C. D.
4.已知，，若，则( )
A.2 B. C. D.
5.已知向量，，若，则a在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，若，则( )
A.或 B.或 C.或 D.或
8.已知菱形ABCD中，，，点E为CD上一点，且，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知向量，，其中，则下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.若a与b的夹角为锐角，则
C.若，则a在b上的投影向量为b
D.若，则
10.（多选）在中，，，，点D为线段AB上靠近A点的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. B.与的夹角的余弦值为
C. D.的面积为2
11.已知向量，.若，则__________.
12.已知，.若，则__________.
13.已知，.若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是__________.
14.已知点和向量.若，则点B的坐标为_________.
15.在菱形ABCD中，，E为BC的中点，记，，若，则实数的值为___________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，故.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积.
2.答案：C
解析：由向量，，得.因为，所以，解得，所以，所以.故选C.
3.答案：C
解析：由题意，向量，满足，，因为，可得，解得，设，的夹角大小为，所以.因为，所以.故选C.
4.答案：C
解析：依题意，，因为，所以，解得，故选C.
5.答案：C
解析：由，得，解得，，，在上的投影向量为，故选C.
6.答案：D
解析：设.，，①，②，
又与向量的夹角为钝角，③.
由①②③解得，故选D.
7.答案：B
解析：法一：因为，，所以，.由，得，即，整理得，解得或.故选B.
法二：因为，所以，即，所以，即，解得或.故选B.
8.答案：D
解析：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则点，，，
，，
则，故选D.
9.答案：ACD
解析：若，则，解得，A正确；若a与b的夹角为锐角，则，解得，当，即时，，即a与b的夹角为0，B错误；若，则，因为a在b方向上的投影数量为，且b的单位向量为，所以a在b上的投影向量为，C正确；若，则a与b同向，此时，D正确.故选ACD.
10.答案：AC
解析：在中，，，，故以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，所以，，，，.对于A，，故A正确；对于B，，，，与的夹角的余弦值，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，的面积为，故D错误.故选AC.
11.答案：
解析：，，解得.
12.答案：2
解析：因为，，，所以，解得，故，，所以，所以.
13.答案：
解析：设a与b的夹角为，则，所以且a，b不共线，所以解得且.
14.答案：
解析：设O为坐标原点，因为，，所以，故点B的坐标为.
15.答案：
解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨令，则，，，，，，
故，，.由，得，解得.8.1.1 向量数量积的概念+8.1.2 向量数量积的运算律
——高一数学人教B版（2019）必修第三册同步课时作业
1.若，，，的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.2
2.已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知，是单位向量，若，则( )
A. B. C.8 D.
5.在中，，则的形状一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.已知，，a，b的夹角为.如图，若，，且D为BC的中点，则的长度为( )
A. B. C.7 D.8
7.在中，M是BC的中点，，点P在AM上，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.在中，点D满足.若，，，则( )
A.4 B. C. D.
9.（多选）已知是边长为2的等边三角形，向量a，b满足，，则( )
A. B. C. D.
10.（多选）向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则( )
A.
B.与的夹角为
C.
D.在上的投影向量为
11.设向量a，b的夹角的余弦值为，且，，则__________.
12.已知a，b均为非零向量，若，则a与b的夹角为___________.
13.已知，，点E是边上一点，若，则____________.
14.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则__________.
15.已知向量a，b满足，，则___________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，，，的夹角为，所以.故选B.
2.答案：B
解析：因为点E，F分别为，的中点，
则，且在方向上的投影数量为2，所以.故选B.
3.答案：A
解析：因为，即，解得，所以，夹角的余弦值为.故选A.
4.答案：B
解析：，，即，，，故选B.
5.答案：A
解析：，，为直角三角形，故选A.
6.答案：A
解析：由题得，
.
故选A.
7.答案：C
解析：因为，点P在AM上，且满足，所以，.
因为M是BC的中点，所以，所以.故选C.
8.答案：C
解析：方法一：如图，在中，记，，则.
，.在中，，又，，，.故选C.
方法二：在中，，，，由余弦定理得.又，A，D，B三点共线，且，.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，解得，即.故选C.
9.答案：ACD
解析：因为，所以，故A正确；因为，所以，因为，所以，故B错误，C正确；因为，故D正确.故选ACD.
10.答案：BC
解析：，，，解得，故A错误；
，由于，与的夹角为，故B正确；
，故C正确；
在上的投影向量为，故D错误，故选BC.
11.答案：11
解析：.
12.答案：
解析：由，得，即，得，因为，所以，又，所以.
13.答案：
解析：由题意，，
所以
.
故答案为：.
14.答案：1
解析：在边长为2的等边三角形ABC中，BD为中线，则，所以
.
15.答案：
解析：解法一：因为，所以，则，又，所以，所以.
解法二：设，则，，，
由题意可得，则，
整理得，即.

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