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11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.过长方体一个顶点的三条棱长的比是，体对角线的长是，则这个长方体的体积是( )
A.6 B.12 C.24 D.48
2.如图所示的几何体是一个奖杯，该几何体由( )
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长方体、一个棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
3.将一个上底为2，下底为5，高为2的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
4.一只会飞行的昆虫被长为的细绳子绑在一个封闭的正方体空盒子内一角（忽略捆绑长度），若盒子的棱长为，则飞虫活动范围的体积为( )
A. B. C. D.
5.设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且内切球的半径为1，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.中国度量衡的发展大约始于父系氏族社会末期.公元前221年，秦始皇统一六国后，颁布了统一度量衡的诏书并监制了成套的计量标准器.如图，这是古代的两种度量工具“斗”（无盖，不计厚度），可近似看作相同高度的正四棱台（左）和圆柱（右）.若圆柱的底面圆既是正四棱台上底面的外接圆，又是下底面的内切圆，则此正四棱台与圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
8.现有一个杯口和杯底的内径分别为，的圆台形的杯子，往杯中注入一部分水，测得水面离杯底的高为，该高度恰好是杯子高度的一半，则杯中水的体积为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知的三边长分别是，，，则( )
A.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为
D.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
10.（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为，则下列说法正确的是( )
A.正方体的外接球的表面积为 B.正方体的内切球的体积为
C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为
11.揽月阁位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，高约99米，可近似视为一个正四棱台，塔底宽约36米，塔顶宽约25米.据此估算揽月阁体积约为__________立方米.
12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为________.
13.如图，在上底面与下底面对应边的比为的三棱台中，过作一个平行于棱的平面，与棱AC交于点F，与棱BC交于点E，这个平面把三棱台分成两部分，设体积小的部分的体积为，体积大的部分的体积为，则__________.
14.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________.
15.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为，得，解得.所以三条棱长分别为2，4，6.所以.
2.答案：B
解析：由题图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选B.
3.答案：C
解析：由题意可知该几何体是一个上底面半径为2，下底面半径为5，高为2的圆台，
则该几何体的体积为.故选C.
4.答案：B
解析：根据题意可知，飞虫的活动范围是半径的球的，球的体积，故飞虫活动范围的体积.故选B.
5.答案：B
解析：过圆锥的顶点作轴截面，的内切圆为，外接圆为，由题知两圆同圆心，则的内心与外心重合，易得为正三角形，又的半径为，的边长为，圆锥的底面半径为，高为3，.
6.答案：D
解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，所以，，所以.故选D.
7.答案：B
解析：因为球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，所以圆锥的高为.设球O的半径为r，则，解得，故球O的体积.故选B.
8.答案：C
解析：由题可得，杯底面积为，杯口面积为，
圆台中截面面积，又溶液高度为，
则杯中水溶液的体积.
故选：C.
9.答案：AD
解析：以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，
母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为，体积为，故A正确，B错误;
以AB所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长分别为3和4的两个圆锥组合体，
表面积为，体积为，故C错误，D正确．
故选：AD．
10.答案：ABC
解析：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，为，内切球半径为棱长的一半，为.M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，，解得，正方体的棱长为2，C正确.
正方体的外接球的表面积为，A正确.
正方体的内切球的体积为，B正确.
线段MN的最大值为，D错误.故选ABC.
11.答案：93093
解析：依题意，揽月阁近似视为一个正四棱台，其体积（立方米）.
12.答案：
解析：由球的截面圆性质可知球的半径，
则该球的体积为.
故答案为：.
13.答案：
解析：设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，，，.
14.答案：
解析：如图，外接球的体积，圆柱的底面直径，故底面半径.故圆柱体积.故球的体积与圆柱的体积的比值为.故答案为.
15.答案：/
解析：设圆锥的母线长为l，
所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以，所以圆锥的高.
故圆锥的体积为：.
故答案为：.11.1.3 多面体与棱柱
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.已知集合为正四棱柱}，为直平行六面体}，为长方体}，为正方体}，则这四个集合之间的关系是( )
A. B.
C. D.
2.下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A.棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形
B.棱柱的一条侧棱是该棱柱的高
C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
3.下列几何体为棱柱的是( )
A. B. C.D.
4.观察下面的几何体，哪些是棱柱？( )
A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5) C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)
5.某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是( )
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
6.给出下列说法：
①正四棱柱是正多面体；
②正四棱柱是简单多面体；
③简单多面体是凸多面体；
④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体.
其中正确的说法个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.下列几何体中是棱柱的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B. C. D.
9.（多选）下列命题中为假命题的是( )
A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体
10.（多选）如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，则下列结论中正确的是( )
A.点H与点C重合 B.点D，M，R重合
C.点B与点Q重合 D.点A与点S重合
11.长方体是______.（写出所有正确选项的序号）
①直四棱柱；②正四棱柱；③正方体；④直棱柱.
12.正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为__________.
13.如图①是一个小正方体的侧面展开图,小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格,这时小正方体朝上面的字是___________.
14.如图，M是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是__________.
15.在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为______．
答案以及解析
1.答案：C
解析：直平行六面体是底面为平行四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱；长方体是底面为矩形的直平行六面体；正四棱柱是底面为正方形的直平行六面体；正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱.分析可知.故选C.
2.答案：D
解析：
A × 由棱柱的定义知，长方体为棱柱，长方体的侧面是矩形.
B × 当棱柱为直棱柱时，侧棱才为棱柱的高.
C × 正四棱柱的相对侧面互相平行.
D √ 由棱柱的定义可知，棱柱的上、下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行.
3.答案：B
解析：根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体;根据棱柱的概念可得选项B为棱柱;根据棱台的定义知选项C为棱台;根据棱锥的概念知选项D为棱锥.故选B.
4.答案：A
解析：根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有(1)(3)(5).故选：A.
5.答案：B
解析：根据题图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确.故选B.
6.答案：B
解析：①正四棱柱是正多面体，是错误的，因为正四棱柱的底面是正方形，侧棱长不一定等于正方形的边长；②正四棱柱是简单多面体，是正确的，符合简单多面体的定义；③简单多面体是凸多面体，是错误的，凸多面体是简单多面体，简单多面体并不都是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体，是正确的.故选B.
7.答案：C
解析：棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个.故选C.
8.答案：B
解析：所求八面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和.
如图，四棱锥的侧棱长.
以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积.故选B.
9.答案：AC
解析：对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A为假命题；
对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B为真命题；
对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C为假命题；D选项，正四棱柱是平行六面体，D为真命题.故选AC.
10.答案：BD
解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”.按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合.故BD正确，AC错误.
11.答案：①④
解析：长方体是底面为长方形的直四棱柱，所以长方体是直四棱柱，也属于直棱柱.
故答案为：①④.
12.答案：
解析：设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，由，解得，所以侧面积为.
13.答案：路
解析：由图①可知,“国”和“兴”相对,“梦”和“中”相对,“复”和“路”相对;由图②可得,第1,2,3,4,5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”,所以到第5格时,小正方体朝上面的字是“路”.
14.答案：
解析：若以BC为轴展开，如图①，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故A，M两点之间的距离是.
若以为轴展开，如图②，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为，，故A，M两点之间的距离是.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是.
15.答案：
解析：
根据题意，在正方体中，AB，三条棱与平面所成角均相等，
又由AD，AB，三条棱与水平面所成角均相等，
则平面与水平面平行，
而水平面恰好经过的中点，则水平面截正方体所得截面为如图过棱的中点的正六边形，
由于，则该正六边形的边长为，其面积．
故答案为：．11.1.4 棱锥与棱台
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.四棱柱 D.平行六面体
2.一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
3.下列说法正确的是( )
A.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
4.如图①②③中的平面图形沿虚线折叠还原后的几何体分别是( )
A.棱锥、棱柱、棱台 B.棱柱、棱锥、棱台
C.棱台、棱锥、棱柱 D.棱台、棱柱、棱锥
5.下列叙述中正确的是( )
A.由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B.由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
C.仅有一组对面平行的五面体是棱台
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
6.在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为( )
A.16个 B.12个 C.10个 D.8个
7.有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图，在三棱锥中，，，为锐角，侧棱，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为( )
A. B. C. D.
9.（多选）下列说法正确的是( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱互相平行
D.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的空间图形是棱锥
10.（多选）下列说法中，错误的为( )
A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥
11.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的斜高为___________.
12.已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则它的侧面积为__________.
13.下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
14.底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为___________，斜高为___________.
15.如图所示的是一个三棱台，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别可以是__________.
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥；故选：B.
2.答案：B
解析：由题意得，该正四棱锥的斜高为，所以该正四棱锥的表面积为.故选B.
3.答案：D
解析：选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.故选：D
4.答案：B
解析：由几何体展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，把展开图沿虚线折叠还原后的几何体，分別为棱柱、棱锥、棱台.故选B.
5.答案：B
解析：A中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，不正确；B中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，是正确的；C中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，不正确；D中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，如图中的几何体，满足条件，但并不是棱锥.所以选B.
6.答案：C
解析：如图，以A为顶点，可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有8个;
可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有2个;
其余情况均不合题意，所以符合条件的正三棱锥的个数为.
故选:C.
7.答案：B
解析：对于①，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②③，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于④，由棱台结构特征知，侧棱延长后必交于一点，④正确.故选B.
8.答案：D
解析：根据题意，在三棱锥中，，，则有，可得，又为锐角，所以.
因为，所以，将三棱锥沿侧棱PA展开，如图，根据余弦定理，所求最短距离为，故选D.
9.答案：AB
解析：易知A，B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的各个侧面都是三角形，且有一个公共顶点，故D错误.
10.答案：ABC
解析：对于A，有一个面是多边形，
其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫棱锥，
而有一个面是多边形，
其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误，
对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，
而有两个面互相平行，
其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，
对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误，
对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，
则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，
若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确，
故选：ABC
11.答案：
解析：依题意，得该正四棱台的斜高为.
12.答案：
解析：正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则其侧高为5，故正三棱台的侧面积.
13.答案：①②
解析：①正确，棱台的侧面定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
14.答案：；3
解析：如图，正三棱锥中，O为底面的中心，D为AB的中点，正三棱锥的侧面为等腰直角三角形，，斜高，，，正三棱锥的高.
15.答案：（1），，（答案不唯一）
（2）两个三棱台（或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个四棱锥等，答案不唯一）
解析：（1）如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是，，.（答案不唯一）
（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台；也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示；也可以截成一个三棱锥和一个四棱锥，如图③所示.（答案不唯一）11.1.5 旋转体
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
A.①和⑤ B.① C.③和④ D.①和④
2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )
A.是圆台 B.是棱台
C.是棱锥 D.不是棱柱
4.如果一个棱长为a的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则( )
A.1 B. C. D.
5.如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为，则此圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
6.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长（注：1丈约等于10尺）( )
A.37尺 B.39尺 C.41尺 D.43尺
7.在直三棱柱中，，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得的图形是( )
A. B.
C. D.
9.（多选）已知A，B，C三点均在球O的球面上，，且球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，则下列结论正确的是( )
A.球O的半径为 B.球O的表面积为
C.球O的内接正方体的棱长为 D.球O的外切正方体的棱长为
10.（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，，，则下列说法正确的有( )
A.该圆台的高为
B.该圆台轴截面面积为
C.该圆台轴截面面积为
D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为
11.一个半径为2的半球，现过半球底面的中心作一个与底面成的截面，则此截面的面积为____________.
12.如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为___________.
13.用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为___________.
14.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为___________.
15.已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则___________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体.
2.答案：C
解析：设圆锥的母线长为l，则，解得，则该圆锥的表面积为.故选C.
3.答案：C
解析：A图不是由棱锥截来的，所以A图不是棱台；B图上、下两个面不平行，所以B不是圆台；C图是棱锥；D图有两个面平行，其余面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以D是棱柱.故选C.
4.答案：D
解析：因为正方体的体对角线为其外接球的直径，且其棱长为a，设其外接球半径为R，所以.由题意可知正方体的外接球的表面积为，则，所以（负值舍去）.故选D.
5.答案：B
解析：将圆锥侧面展开成一个扇形，如图所示，设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角.
则的长度即为绳子的最短长度.在中，
，则，所以，所以圆锥的表面积.故选B.
6.答案：A
解析：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，一条直角边长（即圆木的高）为（尺），另一条直角边长为（尺），故葛藤长为（尺）.故选A.
7.答案：C
解析：三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，可将棱柱补成长方体，且长方体的长、宽、高分别为4，3，12.
长方体的体对角线长为，即为球的直径.
球的半径，球的表面积.故选C.
8.答案：D
解析：设正方体的棱长等于a.的中点到旋转轴的距离等于，而A，两点到旋转轴的距离等于，的中点旋转一周，得到的圆较小，则所得旋转体的中间圆小，上、下底面圆较大.由此可得A，C项不符合题意.又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线与旋转轴不共面，B项不符合题意，只有D项符合题意.故选D.
9.答案：BD
解析：设球O的半径为R，的外接圆圆心为，半径为r，可得.
因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，
所以，得，选项A不正确；
则球O的表面积，选项B正确；
球O的内接正方体的棱长a满足，得，选项C不正确；
球O的外切正方体的棱长b满足，得，选项D正确.故选BD.
10.答案：CD
解析：如图①，作交CD于E，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B错误，C正确；
将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为AD的中点，将圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形COD，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角，连接CP，可得，，，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为，故D正确.故选CD.
11.答案：
解析：过半球底面的中心作一个与底面成的截面，截面是半圆面，半径为2，所以其面积为.
12.答案：
解析：如图，将圆柱侧面展开，，则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度.
13.答案：
解析：当围成的圆柱底面周长为4，高为2时，设圆柱底面圆的半径为r，则，所以，所以轴截面是长为2，宽为的矩形，所以轴截面的面积为.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，轴截面的面积也为.
14.答案：
解析：由圆柱的轴截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，则圆柱的底面半径为，母线长，所以该圆柱的表面积.
15.答案：
解析：作出圆锥及其内切球的轴截面，如图所示.
设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，所以，故，则圆锥的轴截面为正三角形.又，所以，即，故.11.1.2 构成空间几何体的基本元素
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.下列不属于构成空间几何体的基本元素的是( )
A.点 B.直线
C.曲面 D.多边形（不包括内部的点）
2.点M在直线l上，l在平面外，下列用符号表示正确的是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.给出下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图所示，用符号语言可表达为( )
A.，，，
B.，，，
C.，，
D.，，
5.给出下列四种说法（其中A，B表示点，a表示直线，表示平面）：
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
其中正确说法的序号是( )
A.①④ B.②③ C.④ D.③
6.若直线l不平行于平面，且，则下列结论成立的是( )
A.内的所有直线与l都是异面直线
B.内的所有直线与l都相交
C.内存在唯一一条直线与l相交
D.内存在无数条直线与l相交
7.若平面和直线a，b满足，，则a与b的位置关系一定是( )
A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面
8.已知在两个平面内各有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对
9.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多一个
C.有一个或无数个 D.不存在
10.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列说法正确的是( )
A.三条交线为异面直线
B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点
D.二条交线两两平行或交于一点
11.如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A.直线与直线是异面直线
B.直线与直线AE是共面直线
C.直线AE与直线是异面直线
D.直线AE与直线是共面直线
12.若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.48 B.36 C.24 D.18
答案以及解析
1.答案：D
解析：空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形（不包括内部的点）不属于构成空间几何体的基本元素，故选D.
2.答案：B
解析：点与线的位置关系用“”或“”表示，线与面的位置关系用“”或“”表示，故选B.
3.答案：B
解析：球只有一个曲面，故①错，②对，③对.由于几何体是空间图形，故一定有面，④错.
4.答案：C
解析：结合图形可以得出平面，相交于一条直线m，直线n在平面内，直线m，n相交于点A，
结合选项可得C正确；
故选：C.
5.答案：C
解析：①错，应写为，；②错，应写为；③错，推理错误，有可能；④推理与表述都正确.
6.答案：D
解析：由已知得直线l与平面相交，设交点为P，则平面内过点P的所有直线都与l相交，不过点P的直线都与l异面，只有D正确.故选D.
7.答案：D
解析：当时，a与b相交；当时，a与b异面.故选D.
8.答案：C
解析：当两个平面相交或平行时，满足在这两个平面内各存在一条直线，使得这两条直线互相平行.故选C.
9.答案：B
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.
10.答案：D
解析：三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线可两两平行，如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是互相平行的.三条交线还可交于一点，如长方体的三个相邻的面两两相交，交线交于长方体的一个顶点.
11.答案：C
解析：由于与均在平面内，不是异面直线，故A错误；
平面，平面ABC，点C不在直线AE上，所以和AE是异面直线，故B错误；
平面，平面，点E不在直线上，所以AE与是异面直线，故C正确；
平面，平面，点E不在直线上，则AE与是异面直线，故D错误.故选C.
12.答案：B
解析：①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得2个“正交线面对”，正方体共12条棱，可得个“正交线面对”.
②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得1个“正交线面对”，正方体共12条面对角线，可得个“正交线面对”.
③不存在包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线垂直.
综上所述，共有个“正交线面对”.11.1.1 空间几何体与斜二测画法
——高一数学人教B版（2019）必修第四册同步课时作业
1.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为( )
A.6 B.32 C.12 D.62
2.如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为( )
A. B. C. D.
3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为( )
A.8 B. C.16 D.
4.用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为( )
A.1 B.2 C. D.
5.如图，是水平放置的的斜二测画法的直观图，其中，则是( )
A.钝角三角形 B.等腰三角形，但不是直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
6.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则( )
A.BC的长度大于AC的长度 B.的面积为4
C.的面积为2 D.
8.用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为( )．
A. B. C. D.
9.（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则( )
A.是钝角三角形 B.的周长为
C.的面积为4 D.的面积为2
10.（多选）如图，是水平放置的的直观图，，，则( )
A. B. C. D.
11.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到轴的距离为__________.
12.如图，三角形是三角形的直观图，则三角形的面积是_________.
13.如图，已知等腰直角三角形是一个水平放置的平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的周长是___________.
14.若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，，，则原四边形的面积为________.
15.画出各条棱长都相等的正六棱柱的直观图.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由斜二测画法特点得，为直角三角形，，故选:C.
2.答案：A
解析：平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形，故该图形的面积为.故选：A.
3.答案：C
解析：还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，，，所以，所以原图形的周长为．故选C.
4.答案：D
解析：因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高.
故选：D.
5.答案：C
解析：将其还原成原图，如图所示，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选C.
6.答案：A
解析：根据矩形是一个平面图形的直观图，其中，，
可得直观图的面积是，
由直观图的面积是原图的面积的倍，
原图形的面积是．
故选：A.
7.答案：B
解析：由题图知，，，，D为BC的中点，所以原如图所示，
所以，A错误；的面积，B正确；因为，，所以的边上的高为，所以的面积，C错误；，所以，D错误.故选B.
8.答案：D
解析：记四边形所对应的原四边形为四边形，
由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，
因为，四边形为等腰梯形，
所以，
所以，，，
因此，
所以原四边形的周长为.
故选：D
9.答案：BC
解析：作出如图所示.
由图可得是等腰直角三角形，，，所以的周长为，的面积为，的面积为.
10.答案：BD
解析：如图，在直观图中，过作于点.
，，，，又，，，.将直观图还原为原平面图形，如图.
易知，，，故B正确.又，，故A，C错误.，故D正确.故选BD.
11.答案：
解析：在直观图中，，，故点到轴的距离为.
12.答案：2
解析：由的特点可知：
三角形ABC的面积.
故答案为:2.
13.答案：
解析：，，，，，由此可知平面图形是如图所示的，其中，，，，故的周长为.
14.答案：
解析：在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，，
则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，，，，如图.
所以四边形的面积为.
故答案为：
15.答案：见解析
解析：画法：（1）画轴.画轴、轴、轴，使（或），.
（2）画底面.按轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
（3）画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，，，，，都等于棱AB的长.
（4）成图.顺次连接，，，，，，并加以整理（去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线），就得到所求作的正六棱柱的直观图.

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