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第二章 相交线与平行线
2.2 探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
学习目标
1.理解内错角、同旁内角的概念，能结合图形识别内错角、同旁内角。
2.会运用内错角、同旁内角判定两条直线平行。（重点、难点）
3.会用尺规过直线外一点作已知直线的平行线。
复习引入
我们已经学过的关于平行线的内容有哪些？
平行于同一条直线的两条直线平行。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
思考：还有其它判定两条直线平行的方法吗？
一、内错角、同旁内角的概念
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
探究1 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD内部
3
5
∠4和∠6
图中的内错角还有哪些？
内错角
变形：图中的∠1与∠2都是内错角。
特征：在形如“Z”的图形中有内错角。
1
2
1
1
1
2
2
2
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
探究2 观察∠4与∠5的位置关系:
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD内部
4
5
∠3和∠6
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角
变形：图中的∠1与∠2都是同旁内角。
特征：在形如“U”的图形中有同旁内角。　
1
1
1
1
2
2
2
2
如图,∠1与∠2是同旁内角吗？
看一看
名称 特征 基本图形 代表字母 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角
内错角
F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:内部
截线:两侧
被截线:内部
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线内部
这三类角都是没有公共顶点的
归纳总结
例1 如图，直线DE截AB ，AC构成8个角，指出这8个角中所有的同位角，内错角，同旁内角。
解：两条被截线是AB，AC，截线是DE，
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6和∠3；
内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；
同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6。
二、利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
问题1：内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
如图，由 3= 2，可推出a//b吗？如何推出的呢？
2
b
a
1
3
a//b(同位角相等，两直线平行）。
∵ 1= 3(对顶角相等），
3= 2（已知），
1= 2，
思考 交流
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
∵∠3=∠2(已知)，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。
应用格式：
2
b
a
1
3
问题2 ： 同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？
如图，如果 1+ 2=180° ，你能判定a//b吗
c
2
b
a
1
3
∵ 1+ 2=180°（已知），
1+ 3=180°（邻补角的性质），
2= 3（同角的补角相等），
a//b（同位角相等，两直线平行）。
思考 交流
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
应用格式：
2
b
a
1
3
∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明理由。
再找一组平行线。
观察 交流
例2
如图，如果∠MCA＝∠A，∠DEC＝∠B，那么DE∥MN吗？为什么？
DE∥MN.
理由：∵ ∠MCA＝∠A，
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）。∵ ∠DEC＝∠B，
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）。
∴ DE∥MN（平行于同一条直线的两条直线平行）。
解：
当图中各角满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行
(1) ∠1 = ∠4;
(2) ∠2 = ∠4;
(3) ∠1 + ∠3 =180 。
a
b
l
m
n
1
2
3
4
练一练
思考 交流
如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么？与同伴进行交流。
添加截线，用来形成三线八角，即为了出现同位角、内错角和同旁内角。
截线
三、用尺规过直线外一点作已知直线的平行线
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN，并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN 吗？
（1）过点P 的直线有多少条？
（2）满足什么条件的直线才能与AB平行？
C
O
A
尝试 思考
B
D
P
无数条
过点P的直线要与直线AB满足同位角相等，内错角相等，等。
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB。
A
B
P
M
作法：
1.在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。
O
C
D
2.以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
N
理由：同位角相等，两直线平行。
1.如图，下列说法中不正确的是(　　)
A．∠1和∠3是同旁内角
B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角
D．∠3和∠5是对顶角
随堂训练
2.如图，可以确定AB∥CE的条件是( )
A.∠2=∠B B. ∠1=∠A
C. ∠3=∠B D. ∠3=∠A
C
1
2
3
A
E
B
C
D
C
3.如图，下列说法错误的是(　　)
A．若∥b，b∥c，则∥c
B．若∠1＝∠2，则∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c
D．若∠3＋∠4＝180°，则∥c
C
4.如图，已知∠1=30°，∠2或∠3满足条件
，则a//b。
2
1
3
a
b
c
∠2＝150°或∠3＝30°
5、一弯形轨道的拐角°，那么当另一拐角° 时，。
D
C
B
A
60
6.如图，给出下列条件：①；
②③；
其中，一定能判定的条件有 (填写所有正确的序号)。
①③④
7.如图，MF⊥NF于点F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。
Q
解：AB∥CD。
则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ
＝90°－50°=40°，
所以AB∥FQ。
又因为∠1＝140°，
所以∠1＋∠NFQ＝180°，
所以CD∥FQ，所以AB∥CD。
理由：如图，过点F向左作FQ，
使∠MFQ＝∠2＝50°，
课堂小结
名称 特征 基本图形 代表字母 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角
内错角
F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:内部
截线:两侧
被截线:内部
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线内部
这三类角都是没有公共顶点的
同位角、内错角、同旁内角
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b
相等, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b
互补, 两直线平行 ∵ (已知) ∴a∥b
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
a
b
c
1
2
4
3

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