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临高县新盈中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
班级： 座位号： 姓名： 得分：
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
6．为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试．已知该校高一学生360人，高二学生300人，高三学生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（ ）
A．60 B．54 C．51 D．45
7．数据的第60百分位数是（ ）
A． B．
C． D．
8．柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分值，有选错的得0分．
9．已知角的终边经过点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设，是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件和是对立事件，则
B．若事件和是互斥事件，则
C．若事件和相互独立，则
D．若事件和相互独立，则
11．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．，则
C．若，，则
D．，则向量在向量上的投影向量的坐标为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．将120°化为弧度制为 ．
13．已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为，则圆柱的体积为 ．
14．在中，，，，，求 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某高校法学院学生利用暑假参与普法宣传志愿活动，开学后随机调查了其中100名学生在暑假期间的志愿服务时长（单位：小时），将所得数据分为5组：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求频率分布直方图中，的值；
(2)若每组中各学生的志愿服务时长用该组的中间值来估计（如的中间值为10），试估计该学院学生志愿服务的平均时长．
16．袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，其中有标记为的2个红球，标记为的2个白球和1个标记为的黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察球的颜色.
(1)写出试验的样本空间并计算；
(2)设事件为“一黑一白”，求.
17．设函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间.
18．已知向量，，且．
(1)求c的值；
(2)若与互相垂直，求实数k的值．
19．已知向量，，
(1)求的值；
(2)求；
(3)求的最小值.
答案
1．D
解析：因为，所以.
.
故选：D.
2．B
解析：由，，得.
故选：B.
3．C
解析：，
当且仅当取等号，
故选：C
4．A
解析：解：因为幂函数的图象经过点，设，，
所以幂函数的解析式为：，
则.
故选：A.
5．B
解析：对于A，一次函数在R上单调递增，A不是；
对于B，反比例函数在上单调递减，B是；
对于C，指数函数在R上单调递增，C不是；
对于D，对数函数在上单调递增，D不是.
故选：B
6．B
解析：，
所以应抽取高一学生人数为54人，
故选：B．
7．B
解析：将题给数据从小到大依次排列为，
由可得，
该组数据的第60百分位数为第3，4个数的平均数，
故选：B
8．C
解析：设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，
从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，共6种，
所以取出的鞋都是一只脚的概率是.
故选：C.
9．BC
解析：由角的终边经过点，得点到原点的距离，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
10．AD
解析：若，是对立事件，则事件，满足，所以A选项正确；
若事件，互斥，如：投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1}，{向上的点数是2}，则，互斥，，所以B选项错误；
只有当和互斥时，，所以C选项错误；
若和相互独立，则，所以D选项正确.
故选：AD
11．BD
解析：对于A：表示与共线的一个向量，
表示与共线的一个向量，故A错误；
对于B：若，则，即，
所以，则，故B正确；
对于C：因为,，所以，故C错误；
对于D，，
则向量在向量上的投影向量为，故D正确．
故选:BD.
12．
解析：因为
所以
所以
故答案为：
13．
解析：依题意，圆柱的底面圆半径，有，解得，则圆柱的高，
所以圆柱的体积.
故答案为：
14．##0.75
解析：，，，
,
,
.
故答案为：
15．(1)，
(2)
解析：（1）由题意，即，
又，所以，，.
（2）学院学生志愿服务的平均时长为
（小时）.
16．(1)答案见解析 ，
(2)
解析：（1）袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，从中不放回地依次摸出2个球，则该试验的样本空间可表示为，
.
（2）事件为“一黑一白”包含的样本点，共4个，
所以.
17．(1)
(2)
解析：（1）由可得，故函数的最小正周期为；
（2）由，得，
所以函数的单调递增区间是.
18．(1)
(2)
解析：（1），
所以，解得：；
（2）当时，
，
，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
当时，，
因为与互相垂直，
所以，解得：，
综上：.
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）因为，，
所以，
又因为，
所以.
（2）因为，，
所以.
（3）因为，，
所以，
所以，
当时，取得最小值，则最小值为.

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