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2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考一数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.无数个
3.“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
6.若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，若，数列的前项和为，则（ ）
A.4956 B.4965 C.7000 D.8022
8.若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则向量的夹角是
10.已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ）
A.
B.函数在区间上单调递增
C.若，则的最小值为
D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为
11.已知，且.若，，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知，点是边上一点，若，则__________.
13.等比数列的前项和记为，若，则__________.
14.已知曲线，若曲线恰有一个交点，则实数的取值范围__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角的对边分别是，且.
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16.（15分）设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
17.（15分）在数列中，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列满足，求数列的前项和的最小值.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数，求函数极值点的个数；
（3）当时，若在上恒成立，求证：.
19.（17分）已知数列的首项为为数列的前项和，，其中.（1）若是和的等差中项，求数列的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记集合，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列为数列的前项和，求使得成立的的最小值.
2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考一数学答案
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.C
9.BD 10.ABD 11.AC
12. 13. 14.
15.解：（1）因为，所以，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
（2）由（1）可得，所以.
因为的面积为，所以，所以，则.
由余弦定理可得，即，
所以，则.故的周长为.
16.解：（1）当时，的定义域为，
，
令，则，解得，令，则，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则.
令，其中，
则.
令，解得，令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
又，函数在上有两个零点，
的取值范围是.
17.解：（1）证明：因为，
整理得，，通分，.
，
，而，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得，则，
，所以.
因为数列递增，则，所以数列的最小值为.
18.解：（1）的定义域为，
所以，所以曲线在处的切线方程为.
（2），
对于方程，
①当时，，此时没有极值点；
②当时，方程的两根为，不妨设，
则，当或时，，
当时，，此时是函数的两个极值点；
③当时，方程的两根为，且，
故，当时，，故没有极值点；
综上，当时，函数有两个极值点；
当时，函数没有极值点.
（3）证明：由在上恒成立，
得在上恒成立，
设
当时，在上单调递增，此时显然不恒成立.
当时，若，则在上单调递增，
若，则在上单调递减，
所以，
所以.
要证成立，因为，即证明.
因为，
令，令得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以，所以，所以成立.
19.解：（1）由①知，当时②，两式相减可得，
所以从第二项开始是公比为的等比数列，当时，代入可得，即，
所以是公比为的等比数列，又是和的等差中项，
所以，即，解得或（舍去），所以.
（2），
则新数列为，
由上可得规律：
1 新数列中元素2前只有1个元素，且到之间有1个元素，到之间有2个元素，到之间有4个元素，到之间有8个元素，到之间有16个元素，依次类推，
2 数列中.外，其它元素均来自集合，
由上，元素之前（含），新数列共有元素个数为38个，其中32个来自个来自，
则，
元素之前（含），新数列共有元素个数为21个，其中16个来自个来自，
则，
所以成立的的最小值出现在到之间的某个位置，
其中间元素有
则
而，
，
综上，，而，所以使得成立的的最小值为27.

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