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2024-2025学年九年级数学下册题型专练
专题08用二次函数解决问题
【题型1运动类（1）落地模型】
【题型2 运动类（2）最值模型】
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
【题型5 面积类】
【题型6 拱桥类】
【题型1 运动类（1）落地模型】
1．2014年在某市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（　　）
A．1米 B．3米 C．5米 D．米
2．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度y（m）与飞行时间x（s）满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s，则足球最大的飞行高度是（　　）
A．1.22m B．2.745m C．3.66m D．1.5m
3．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+k，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点A的坐标为（0，），则实心球飞行的水平距离OB的长度为（　　）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
4．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　）
A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　）
A．球不会过网
B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界
D．无法确定
【题型2 运动类（2）最值模型】
6．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
7．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（　　）
A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4
8．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
9．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动到最高点所需的时间是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．5s
10．飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位，秒）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，最后6秒滑行的距离为（　　）米．
A．24 B．36 C．48 D．54
11．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是　　米．
12．学校航模组设计制作的火箭升空高度n（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面　　m处打开．
13．飞机着陆后滑行的距离w（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是w＝60t﹣t2飞机着陆后滑行停下来，滑行的时间是　　s．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
14．农经公司以每千克30元的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量n（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50
日销售量n（千克） 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用学过的一次函数、二次函数的知识确定n与x之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为　　．
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（0＜a＜10）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）
15．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
（1）根据图象求出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．
16．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件） 50 60 70
周销售量y（件） 80 60 40
周销售利润w（元） 800 1200 1200
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求该商品的进价和周销售的最大利润；
（3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值．
17．直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元）（x≥10）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140kg时，求W的最大值．
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
18．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？
19．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
20．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？
21．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
【题型5 面积类】
25．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
26．如图，计划利用长为a米的篱笆，再借助外墙围成一个矩形栅栏．设矩形ABCD的边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）若a＝80，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，矩形ABCD的面积能达到800平方米吗？说明理由；
（3）当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？
27．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是　　m2，花卉B的种植面积是　　m2，花卉C的种植面积是　　m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【题型6 拱桥类】
28．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为　米．（结果保留根号）
29．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为　　米．
30．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
31．2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8米．
（1）求抛物线解析式；
（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
32．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
33．足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．
34．如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
35．如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l1：y＝．小明在离A点3m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线l2：y＝，落在山坡的点D处，测得点D离y轴的距离为12m．
（1）求点D的坐标；
（2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．
参考答案
【题型1 运动类（1）落地模型】
1．C
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1（舍去），∴球落地点A到O点的距离是5米．故选：C．
2．B
【解答】解：设y关于x的函数解析式为y＝ax2+bx（a≠0）．
依题可知：当x＝1时，y＝2.44，当x＝3时，y＝0．
∴a+b＝2.44，9a+3b＝0，
解得a＝﹣1.22，b＝3.66，
∴y＝﹣1.22x2+3.66x（0≤x≤3）．
∴该函数的顶点坐标为（1.5，2.745），
∴足球最大的飞行高度是2.745m．
故选：B．
3．C
【解答】解：把A（0，）代入y＝﹣（x﹣3）2+k得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
4．A
【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝2×1.6＝3.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，
当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，
解得x＝0（舍）或x＝3.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，
故选：A．
5．C
【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故会出界．
故选：C．
【题型2 运动类（2）最值模型】
6．B
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
7．B
【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，
∴t的取值范围是0≤t≤2，
故选：B．
8．C
【解答】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
9．B
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45．
故选：B．
10．D
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝﹣1.5t2+60t＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝20﹣6＝14时，y＝546，
所以600﹣546＝54（米）
故选：D．
11．14．
【解答】解：∵y＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣2）2+14，
∴当x＝2时，y有最大值，最大值为14，
∴水珠的最大离地高度是14米，
故答案为：14．
12．170．
【解答】解：h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170
∵a＝﹣1＜0，
∴点火升空的最高点距地面170m，
故答案为：170．
13．45．
【解答】解：∵w＝60t﹣t2＝﹣（t﹣45）2+1350，
∴当t＝45时，飞机停下来并滑行1350m，
故答案为：45．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
14．（1）n＝﹣30x+1500；
（2）这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）a的值为2．
【解答】解：（1）假设n与x成一次函数关系，设n与x之间的函数表达式为n＝kx+b，
将（30，600），40，300）代入，得：
，
解得：，
∴n＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35时，n＝450；当x＝45，n＝4150；当x＝50，n＝0，表中数据均符合上述一次函数解析式，
故答案为：n＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润为w元，由题意得：
w＝n（x﹣30）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
＝﹣30x2+2400x﹣45000
＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵a＝﹣30＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝40时，w有最大值3000．
∴这批农产品的销售价格定为40元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）设日获利为W元，由题意得：
W＝n（x﹣30﹣a）
＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a）
＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x＝﹣＝40+a．
①若a≥10，则当x＝45时，W有最大值，最大值为：
W＝﹣30×452+（2400+30×a）×45﹣（1500a+45000）
＝2250﹣150a＜2430，
∴x＝45不符合题意，舍去；
②若a＜10，则当x＝40+a时，W有最大值，将x＝40+a代入，得：
W＝30（a2﹣10a+100），
当W＝2430时，
2430＝30（a2﹣10a+100），
解得a1＝2，a2＝38（舍），
综上所述，a的值为2．
15．（1）y＝﹣x+180；
（2）w＝﹣x2+200x﹣3600，当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元；
（3）40≤x≤160．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（30，150）；（80，100）分别代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）由题意得：
w＝（x﹣20）（﹣x+180）
＝﹣x2+200x﹣3600，
∴w＝﹣x2+200x﹣3600（30≤x≤80）；
∵w＝﹣x2+200x﹣3600
＝﹣（x﹣100）2+6400，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝100，
∴当x＜100时，w随x的增大而增大，
∴当x＝80时，w有最大值，此时w＝6000，
∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元；
（3）由题意：（x﹣20）（﹣x+180）≥2800，
整理得x2﹣200x+6400≤0，
∴（x﹣40）（x﹣160）≤0，
∴40≤x≤160．
16．见试题解答内容
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（50，80），（60，60）分别代入得，
，
解得：，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x+180；
（2）设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，
可得：80（50﹣a）＝800，
解得：a＝40，
即该商品的进价为40元/件；
依题意有w＝（﹣2x+180）（x﹣40）
＝﹣2x2+260x﹣7200
＝﹣2（x﹣65）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝65时，w有最大值为1250，
即售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元；
（3）依题意有w＝（﹣2x+180）（x﹣40﹣m）
＝﹣2x2+（260+2m）x﹣7200﹣180m，
∵m＞0，
∴对称轴＞65，
∵﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵x≤60，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w有最大值
即：（﹣2×60+180）（60﹣40﹣m）＝1080，
解得：m＝2，
∴当m＝2时，周销售最大利润是1080元．
17．（1）W与x之间的函数关系式为W＝；
（2）W最大值为3500元．
【解答】解：（1）当10≤x≤20，y＝200，
W＝（x﹣10）y＝200（x﹣10）＝200x﹣2000；
当x＞20，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（20，200），（25，180）在该函数图象上，
∴，
解得，
y与x的关系式为y＝﹣4x+280，
∴W＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣4x+280）＝﹣4x2+320x﹣2800．
综上所述，W与x之间的函数关系式为W＝；
（2）根据题意得：，
解得15≤x≤35，
①当15≤x≤20时，W＝200x﹣2000，
∴当x＝20时，W有最大值，最大值为2000元；
②当20＜x≤35时，W＝﹣4x2+320x﹣2800，
对称轴为x＝﹣＝40，
∴当x≤40时，W随x的增大而增大，
∴当x＝35时，W有最大值，最大值为3500元，
综上，W最大值为3500元．
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
18．（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数；
（2）每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；
（3）每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000，
∵每件售价不能高于240元，
∴130+x≤240，
∴x≤110，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数；
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000，
∴当x＝100时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；
（3）令y＝41800，得：﹣2x2+400x+25000＝41800，
解得：x1＝60，x2＝140，
∵0＜x≤110，
∴x＝60，即每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
∴每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当60≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
19．（1）售价为11元；
（2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【解答】解：（1）设每千克售价x元时，所得日均总利润为700元，
由题意可得：（x﹣6）[160﹣20×（x﹣10）]＝700，
解得x1＝11，x2＝13，
当x1＝11时，160﹣20×（x﹣10）＝160﹣20×（11﹣10）＝140，
当x2＝13时，160﹣20×（x﹣10）＝160﹣20×（13﹣10）＝100，
∵为了尽快减少库存，
∴售价为11元；
（2）解：设利润为W元，
由题意可得：W＝（x﹣6）[160﹣20（x﹣10）]＝（x﹣6）（360﹣20x）＝﹣20x2+480x﹣2160，
∵﹣20＜0，
∴当时，利润W取得最大值，此时W＝720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
20．（1）y＝﹣30x+1050；（2）x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
【解答】解：（1）由题意得：y＝300+30（25﹣x）＝﹣30x+1050；
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1050；
（2）设最大利润额为W，
由题意得：W＝（x﹣5）（﹣30x+1050）
＝﹣30x2+1200x﹣5250
＝﹣30（x﹣20）2+6750，
∴x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
答：x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
21．（1）w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）；（2）商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；（3）当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
【解答】解：（1）w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000，
∵﹣10x+500≥0，
∴x≤50，
∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（25≤x≤50）；
（2）当w＝2000时，
得﹣10x2+700x﹣10000＝2000，
解得：x1＝30，x2＝40，
∴销售单价应定为30元或40元，
答：商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为30元或40元；
（3）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，wmax＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的利润最大，最大利润为2250元．
22．（1）50元；
（2）每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润450元．
【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元；
（2）（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
x2﹣110x+3000＝0，
（x﹣55）2﹣3025+3000＝0，
（x﹣55）2＝25，
每件售价定为55元时，每件的销售利润为55﹣40＝15（元），日销售利润＝15×（140﹣2×55）＝450（元）．
23．（1）y＝﹣10x+740；
（2）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝300﹣（x﹣44）×10＝﹣10x+740，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+740；
（2）由题意可得，
（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（不合题意，舍去），
答：当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；
（3）由题意可得，
w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w取得最大值，此时w＝2640，
答：将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．
24．（1）y＝﹣2x2+20x+400；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为120元；
（3）当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【解答】解：（1）由题意可得：销售量＝（20+2x）套，
则y＝（20+2x）（140﹣x﹣100）
＝（2x+20）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x2+60x+800；
（2）由题意可得：当y＝1200时，即﹣2x2+60x+800＝1200，
解得：x1＝10（舍去），x2＝20，
∴140﹣20＝120（元），
答：若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为120元；
（3）由（1）可知：y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，y有最大值，最大值为1250，
此时，售价＝140﹣15＝125（元），
答：当每套书销售定价为125元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为1250元．
【题型5 面积类】
25．（1）S＝﹣2x2+24x，7≤x＜12；（2）9；（3）x＝7m，最大面积＝70m2．
【解答】解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣2x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣2x2+24x，
又∵0＜24﹣2x≤10，
∴7≤x＜12；
（2）由S＝54得，
﹣2x2+24x＝54，
整理，得
x2﹣12x+27＝0，
解得x1＝9，x2＝3，
∵7≤x＜12，
∴x＝9，
∴AB＝9；
（3）S＝24x﹣2x2＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵﹣2＜0，
当7≤x＜12，S随x的增大而减小，
∴x＝7m，最大面积＝70m2．
26．（1）y与x之间的关系为y＝﹣2x2+80x（15≤x＜40）；
（2）能，当x＝20米时，矩形ABCD的面积为800平方米；
（3）当x＝时，栅栏围出的面积最大，最大面积为平方米．
【解答】解：（1）当a＝80时，根据题意知AB＝x米，BC＝（80﹣2x）米，
∴y＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，
解得15≤x＜40，
∴y与x之间的关系为y＝﹣2x2+80x（15≤x＜40）；
（2）能，理由：
令y＝800，则﹣2x2+80x＝800，
解得x1＝x2＝20，
又∵15≤x＜40，
∴当x＝20米时，矩形ABCD的面积为800平方米；
（3）根据题意得：y＝x（a﹣2x）＝﹣2x2+ax＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为，
∴当x＝时，栅栏围出的面积最大，最大面积为平方米．
27．（1）（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）10m；
（3）168000元．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为xm，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【题型6 拱桥类】
28．6．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则抛物线顶点的坐标为（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
将A点坐标（﹣3，0）代入，
可得：0＝9a+3，
解得：a＝﹣，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+3，
将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，
解得：x＝±3，
所以水面宽度为6米，
故答案为：6．
29．3.5．
【解答】解：建直角坐标系，如图：
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案为：3.5．
30．（1）桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）桥拱最高点到水面的距离是16米．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，
由题意可得，点B（﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30，
∴，
解得，
即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y＝﹣0.01x2+0.6x；
（2）∵y＝﹣0.01x2+0.6x＝﹣0.01（x﹣30）2+9，
∴当x＝30时，y取得最大值9，
∵9+7＝16（米），
∴桥拱最高点到水面的距离是16米．
31．（1）抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8；
（2）抛物线解析式为y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求．
【解答】解：（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C（0，12.8），A（﹣8，0），
故设抛物线解析式为y＝ax2+12.8，
把A点坐标代入解析式得：64a+12.8＝0，
解得a＝﹣0.2，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2x2+12.8；
（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8m，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.2（x+2）2+9.8＝﹣0.2x2﹣0.8x+9；
（3）（2）中的建议不符合要求，理由：
令y＝﹣0.2x2﹣0.8x+9中的y＝0，
则﹣0.2x2﹣0.8x+9＝0，
整理得x2+4x﹣45＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣9，
∴|x2﹣x1|＝9+5＝14，
∵14＜15，
∴（2）中的建议不符合要求．
32．（1）此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过桥洞．理由见解析．
【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，，
解得x＝5或x＝15，
∵15﹣5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
33．（1）；
（2）能，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点O（30﹣14）＝16米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，
把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，
解得：，
故抛物线解析式为：，
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
∵守门员在球门前方距离球门线1米处，
∴x＝30﹣1＝29（米），
当x＝29时，，
∵
∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射．
34．（1）y＝﹣（x﹣6）2+4，第一次落地点B与守门员（点O）的距离为4+6；
（2）8米．
【解答】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+4，
∵点（0，1）在该函数图象上，
∴a（0﹣6）2+4＝1，
解得a＝﹣，
即足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣6）2+4，
解得x1＝4+6，x2＝﹣4+6（不符合题意，舍去），
∴第一次落地点B与守门员（点O）的距离为4+6；
（2）将y＝3代入y＝﹣（x﹣6）2+4，得x3＝2+6，x4＝﹣2+6，
∴BC＝（2+6）﹣（﹣2+6）＝4，
∴AC＝AB+BC＝（4+6﹣6）+4＝8，
即他应再向前跑8米．
35．（1）D的坐标是（12，3）；
（2）小球飞行过程中，离山坡的最大高度是m．
【解答】解：（1）∵点D离y轴的距离为12m，
∴xD＝12，
在y＝中，令x＝12得：
y＝﹣×122+×12+1＝3，
∴D的坐标是（12，3）；
（2）在y＝中，令x＝0得y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
∵AC＝3，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
把C（0，4），D（12，3）代入y＝得：
，
解得，
∴抛物线l2解析式为y＝﹣x2+x+4；
∵﹣x2+x+4﹣（﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣3）2+，
∴当x＝3时，小球离山坡的最大高度是m．

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