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【押题密卷】2025年中考数学（南通卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　）
A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元
2．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（　　）
A．0.2022×1014 B．20.22×1012
C．2.022×1013 D．2.022×1014
3．下列运算中正确的是（　　）
A．2 B．3 C． D．（）2＝4
4．一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（　　）
A．6 B．12 C．12 D．124
5．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）
A．29° B．32° C．42° D．58°
6．某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2800（1+x）2＝9800
B．2800（1+x%）2＝9800
C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
8．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为（　　）
A．13 B．19 C．25 D．169
9．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：
①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；
②乙用了4个小时到达目的地；
③乙比甲先出发1小时；
④甲在出发4小时后被乙追上．
在这些说法中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，点P是矩形ABCD对角线AC上异于A、C一动点，PB绕点P顺时针旋转90°交射线DC于E，以PE、PB为邻边作矩形BPEF，PH垂直射线DC于H，反向延长交AB于G，当AD＝3，AB＝4时，下列结论：
①△PGB∽△EHP；
②；
③矩形BPEF的面积的最小值为；
④当△PCE是以PC为底的等腰三角形时，AP．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11~12 题每小题 3 分，第 13~18 题每小题 4 分，共 30分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　 　．
12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　 　°．
13．若ac＜0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　 　．
14．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为　 　km．
15．菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为 　 　．
16．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　 　．
I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝3，则AC的长等于　 　．
18．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共8 小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：﹣4x2（3x+1）；
（2）解方程：1．
20．（10分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
成绩等级 分数（单位：分） 学生数
D级 60≤x≤70 a
C级 70＜x≤80 9
B级 80＜x≤90 b
A级 90＜x≤100 2
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
年级 平均数 中位数 优秀率
八年级 77 c 25%
九年级 78.5 82.5 50%
（1）根据题目信息填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 　 　更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
21．（10分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，∠C+∠ABE＝180°，BE＝AC，连接DE，试说明：BC∥DE．
22．（10分）如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
23．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积．
24．（12分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？
25．（13分）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数），
（1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　 　；
（2）若该函数经过点（1，﹣6）；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值；
（3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．
26．（13分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
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【押题密卷】2025年中考数学（南通卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（　　）
A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元
【答案】D
【解析】解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元．
故选：D．
2．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（　　）
A．0.2022×1014 B．20.22×1012
C．2.022×1013 D．2.022×1014
【答案】C
【解析】解：100亿＝1010，
1010×2022＝2.022×1013，
故选：C．
3．下列运算中正确的是（　　）
A．2 B．3 C． D．（）2＝4
【答案】C
【解析】解：A、原式＝4，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式＝2，故D不符合题意．
故选：C．
4．一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（　　）
A．6 B．12 C．12 D．124
【答案】A
【解析】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且边长为，高为3，
这个几何体的体积，
故选：A．
5．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）
A．29° B．32° C．42° D．58°
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DAD′＝58°，
又∵矩形纸片ABCD沿AC折叠，
∴∠2＝∠CAD′，
又∵∠DAD′＝∠2+∠CAD′＝2∠2＝58°，
∴∠2＝29°．
故选：A．
6．某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2800（1+x）2＝9800
B．2800（1+x%）2＝9800
C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
【答案】D
【解析】解：设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800．
故选：D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
【答案】C
【解析】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），
∴y＝a（x+2）2﹣1，
把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1，
∴a＝﹣2，
∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1，
故选：C．
8．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为（　　）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【解析】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab
＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和
＝13+（13﹣1）
＝25，
故选：C．
9．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：
①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；
②乙用了4个小时到达目的地；
③乙比甲先出发1小时；
④甲在出发4小时后被乙追上．
在这些说法中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】解：由图象可得，
甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故①正确；
乙用了3个小时到达目的地，故②错误；
乙比甲晚出发1小时，故③错误；
甲在出发4小时后被乙超过，故④错误；
由上可得，正确的是①，
故选：A．
10．如图，点P是矩形ABCD对角线AC上异于A、C一动点，PB绕点P顺时针旋转90°交射线DC于E，以PE、PB为邻边作矩形BPEF，PH垂直射线DC于H，反向延长交AB于G，当AD＝3，AB＝4时，下列结论：
①△PGB∽△EHP；
②；
③矩形BPEF的面积的最小值为；
④当△PCE是以PC为底的等腰三角形时，AP．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】①证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，
∴∠PBG＝∠EPH，
∴△PGB∽△EHP；
②解：连接BE，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCE+∠BPE＝180°，
∴P，B，E，C四点共圆，
∴∠PBE＝∠PCE，
在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BPE＝90°，∠ACD＝∠PBE，
∴Rt△BPE∽Rt△ADC，
∴，
即；
③解：设AP的长为x．
∵AD＝3，AB＝4，
∴由勾股定理得到：AC5
∵cos∠GAP，
∴AGAPx．
同理，sin∠GAP．则GPx．
在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4x）2+（x）2＝x2x+16，
∵．
∴PEPB，
∴S矩形BPEF＝PB PEPB2（x2x+16）（x）2，
∵0＜x＜5，
∴x时，S有最小值；
④当PE＝CE，则∠EPC＝∠ECP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC．
过点B作BF⊥AC于点F，则PF＝CF．
∵cos∠FCB，
∴，
∴FC，
∴PF，
∴AP＝AC﹣PC＝5．
正确结论①②③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共 8 小题，第 11~12 题每小题 3 分，第 13~18 题每小题 4 分，共 30分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　a（a﹣3b）（a+3b）　．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 　90　°．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得，
2π×3，
解得n＝90．
故答案为：90．
13．若ac＜0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　有两个不相等的实数根　．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由题意可知：a≠0，
∵Δ＝b2﹣4ac，ac＜0，
∴Δ＞0，
故答案为：有两个不相等的实数根．
14．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为　（2+2）　km．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：如图所示，延长AB，过点C作CD垂直于AB延长线，垂足为D，
由题意知∠CBD＝45°，∠A＝30°，AB＝2km，
设BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，由tanA可得，
解得x＝1，即CD＝1，
则AC＝2CD＝2+2（km），
故答案为：（2+2）．
15．菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为 　24cm2　．
【答案】24cm2．
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
∴菱形面积6×8＝24（cm2），
故答案为：24cm2．
16．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝　12　．
I/A 10 2.4 2 1.2
R/Ω a 50 60 100
【答案】12．
【解析】解：设电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I，
∵当I＝2时，R＝60，
∴2，
解得k＝120，
∴I，
当I＝10时，10，
解得R＝12，
故答案为：12．
17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝3，则AC的长等于　　．
【答案】．
【解析】解：设AD，BE交于点G，过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABG＝∠DBG，
又∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝∠DGB＝90°，
在△ABG和△DBG中，
，
∴△ABG≌△DBG（AAS），
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴．
故答案为：．
18．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x0；
设x2﹣2x0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn；
m﹣n；
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即1＜2；
∴，解得3＜k≤4．
三、解答题（本大题共8 小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：﹣4x2（3x+1）；
（2）解方程：1．
【答案】（1）﹣12x3﹣4x2；
（2）x．
【解析】解：（1）﹣4x2（3x+1）
＝﹣4x2 3x﹣4x2 1
＝﹣12x3﹣4x2；
（2）1，
1，
方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1），
3x＝2x+3x+3，
3x﹣2x﹣3x＝3，
﹣2x＝3，
x，
检验：当x时，3（x+1）≠0，
所以分式方程的解是x．
20．（10分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
成绩等级 分数（单位：分） 学生数
D级 60≤x≤70 a
C级 70＜x≤80 9
B级 80＜x≤90 b
A级 90＜x≤100 2
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
年级 平均数 中位数 优秀率
八年级 77 c 25%
九年级 78.5 82.5 50%
（1）根据题目信息填空：a＝　6　，b＝　3　，c＝　77.5　；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名 　小明　更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据频数统计的方法可得，
成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6，
成绩在80≤x≤90的有3人，即b＝3，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为77.5（分），因此中位数是77.5，即c＝77.5，
故答案为：6，3，77.5；
（2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是77．（5分），而九年级学生成绩的中位数是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此八年级的小明排名靠前；
故答案为：小明；
（3）700×50%＝350（人），
答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人．
21．（10分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，∠C+∠ABE＝180°，BE＝AC，连接DE，试说明：BC∥DE．
【答案】见解析．
【解析】解：∵∠C+∠ABE＝180°，∠DBE+∠ABE＝180°，
∴∠C＝∠DBE，
在△ABC与△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD（SAS），
∴∠ABC＝∠D，
∴BC∥DE．
22．（10分）如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：列表得：
A1 B1 C1
A AA1 AB1 AC1
B BA1 BB1 BC1
C CA1 CB1 CC1
由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果，
∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为．
23．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）π．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠CBD＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）解：连接DE、OD、OF，如图，
∵AB＝8，E是AO的中点，
∴AE＝OE＝OB，
在Rt△AOD中，DEOE，
∴DE＝OD＝OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∵OD∥BC，
∴∠FBO＝∠DOE＝60°，
∵OF＝OB，
∴△FBO为等边三角形，
∴∠BOF＝60°，
∴S扇形BOFπ．
24．（12分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．
（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？
【答案】（1）A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
（2）茶具店老板最多能购进A种茶具30套．
【解析】解：（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
（2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套，
由题意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240，
解得：m≤30，
答：茶具店老板最多能购进A种茶具30套．
25．（13分）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数），
（1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为 　（t，3t）　；
（2）若该函数经过点（1，﹣6）；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值；
（3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．
【答案】（1）（t，3t）；
（2）①函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；
②M﹣N的值为；
（3）﹣4≤c≤5．
【解析】解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t），
故答案为：（t，3t）；
（2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c，
解得：c＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣x﹣4，
将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4，
解得：t1＝t2＝﹣2，
∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；
②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x）2，
∴M，
当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10，
当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，
∴N＝﹣10，
∴M﹣N（﹣10）；
（3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，
解得：c≥﹣4；
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9≥﹣6+c，
解得：c≤﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3≥﹣2+c，
解得：c≤5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5．
26．（13分）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝9，AC＝12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由见解析部分；
（2）①结论：AM＝BE．理由见解析部分；
②．
【解析】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°，
∵∠ABE＝∠A，
∴AC∥BE，
∴∠CGE＝∠BED＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC＝BE．
∴矩形BCGE为正方形；
（2）①结论：AM＝BE．
理由：∵∠ABE＝∠BAC，
∴AN＝BN，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴，
∵AN＝BN，
∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，
∴AM＝BE．
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE＝BC＝9，DE＝AC＝12，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠DBM，
∵∠CBE＝∠BAC，
∴∠D＝∠BAC，
∴MD＝MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得 ，
∴，
∵，
∴DM，即 ，
∴，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH＝∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴，
∴，即AH的长为 ．
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