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第9章 矩形·菱形与正方形【培优】
一、单选题
1．（2024八下·广东期末）下列命题中，假命题是（　　）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
2．（2023·息烽模拟） 如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·沙坪坝期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边的中点，连接，若，，则菱形的周长为（　　）
A． B． C．16 D．
4．（2024九上·罗湖月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．（2024八下·临颍期末）如图，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·恩平期中）如图，已知菱形，，，则菱形的周长等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八下·拱墅期中）如图，四边形的四个顶点分别在矩形的边和对角线上，已知，下列条件能使四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·宿豫期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．平行四边形是特殊的矩形 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角相等 D．正方形的4条边相等
9．（2024八下·绵竹月考）给出下列命题：
①在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②的三边满足，则；
③中，若，则是直角三角形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形．
其中，假命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八下·恩施月考）如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是（1，3），则AB的长为（　　）
A．3 B． C． D．
二、填空题
11．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 　 　．
12．（2023九上·薛城月考）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是　 　形．
13．（2024八下·安溪期末）如图，点E是正方形对角线上一点，且，连接，则　 　度．
14．（2024九下·菏泽模拟）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为　 　时，这个菱形就是正方形．
15．（2024九下·盱眙模拟）如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，长方形的两个顶点分别落在边，上，设点C，D为长方形的格点，连接，恰好经过格点D，则的长为　 　．
16．（2023·百色模拟）如图，在正方形ABCD中， ，对角线 相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作 ，分别交 于点F、G，连接BF，交AC于点H，将 沿EF翻折，点H的对应点 恰好落在BD上，得到 若点F为CD的中点，则 的周长是　 　.
三、计算题
17．（2023九上·英德期中）如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为．
计算：
（1）对角线的长度．
（2）菱形的面积．
18．（2024八上·姑苏期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．
（1）求点的“倾斜系数”的值；
（2）已知点的“倾斜系数”，且，求的长；
（3）如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______．
19．（2024八下·江阴月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，直线与y轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点E是射线上一动点，过点E作轴，交直线于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
20．（2023九上·洋县月考）已知菱形中，与相交点，若，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积．
21．（2024八下·中江月考）如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．
22．如图，点分别在正方形的边上，且．把绕点沿顺时针旋转得到．
（1）求证：．
（2）若，求正方形的边长．
23．（2023九上·温岭期中）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
2．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的判定；真命题与假命题
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
11．【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
12．【答案】菱
【知识点】菱形的判定
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
14．【答案】1
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
17．【答案】（1）；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】解分式方程；勾股定理；正方形的性质
19．【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
20．【答案】菱形的面积为平方厘米
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
21．【答案】（1）4；（2）当秒或时，AP=5cm；（3）t=．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质
22．【答案】（1）证明：∵绕点沿顺时针旋转得到 ，
，
．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=45°，
又∵∠MAN=45°，
，
，
又
．
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，∠C=90°.
设，则CM=x－3，CN=x-2，MN=5
∴在Rt△MNC中，25=(x-2)2+(x-3)2，
解得x=6或-1(舍去)，
正方形的边长为6.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】1）；；（2）；（3）存在，2 或 或 或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平移的性质
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