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2025年广东省中考数学模拟练习试卷
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要另正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，
则分别叫做正数与负数．若向东走记作，则表示（ ）
A．向南走 B．向西走 C．向东走 D．向北走
下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，
约秒后，神舟十八号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，
将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，
把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：
每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．22
语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．
小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，
则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A． B． C． D．
4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
已知点都在反比例函数的图象上，
则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
12．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，
已知点，，，则点C的坐标为 ．
如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，
石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，
动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，
至少要将杠杆的C点向下压 ．
14．如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．

15 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
三、解答题（一）：本大题共三大题，每题7分，共21分.
16．计算：．
17 .在平行四边形中，于点．

尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
求证：四边形是矩形．
如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，
面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，
支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角．
求端点C到底座的高度；
为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，
问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数）
（参考数据：，，，）
四、解答题（二）：本大题共三大题，每题9分，共27分.
19．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，
王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、
乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，
选择最合适的景区，并说明理由．
20．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，
学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．
已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，
购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．
如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
21．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
求证：；
如图2，延长相交于点，连接．
① 已知，求的长；
② 记与的交点为，若，当时，求的值．
五、解答题（三）：本大题共2大题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
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2025年广东省中考数学模拟练习试卷解答
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要另正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，
则分别叫做正数与负数．若向东走记作，则表示（ ）
A．向南走 B．向西走 C．向东走 D．向北走
【答案】B
【分析】根据正负数表示的是相反意义的两个量求解即可．
【详解】解：若向东走记作，则表示向西走，
故选：B．
下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．掌握轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，
约秒后，神舟十八号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，
将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，
把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】利用平行线的性质求出∠CBA即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵l1l2，
∴∠2+∠CBA＝180°，
∵∠2＝∠1＝130°，
∴∠CBA＝180°－∠2＝50°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°，
故选：B．
某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛，每组一共30个抢答题规则：
每道题答对得5分，答错或不答扣2分，晓红最后得分80分，则晓红答对题目的道数是（ ）

A．18 B．19 C．20 D．22
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．设晓红答对的个数为x个，根据抢答题一共30个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设晓红答对题的个数为x个，则答错个，根据题意得：
解得：，
所以，晓红答对题的个数为20个．
故选C．
语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．
小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，
则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
小明小颖
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A．
4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
【答案】D
【分析】本题主要考查了求中位数和求众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵阅读量为7本的人数最多，
∴众数为7；
把阅读量按照从低到高排列，处在第10名和第11名的阅读量分别为7本，7本，
∴中位数为，
故选：D．
已知点都在反比例函数的图象上，
则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小，当时，图象的两个分支在第二、四象限变化，且在每一个象限内随的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小，然后再根据点的横坐标得点在第三象限内，点在第一象限内，进而可判断，最后再根据得，据此即可得出答案．
【详解】解：∵
∴函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小，
∵点
∴点在第三象限内，点在第一象限内，
∴
∵
∴
∴
故选：D．
港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】
过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：B
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，点A、B的对应点分别是点C、D，
已知点，，，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键．由、连点坐标可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标．
【详解】解：由，可知，线段的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，
，
对应点的坐标为即，
故答案为：．
如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上撬起，
石头就被撬动了．在图②中，杠杆的D端被向上撬起的距离，
动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），要把这块石头撬起，
至少要将杠杆的C点向下压 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得：，
故答案：．
14．如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．

【答案】
【分析】本题考查多边形内角和，以及正方形性质，根据边形内角和为，求出正六边形的内角和，算出，再结合正方形性质根据，即可解题．
【详解】解：正六边形的内角和为，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
15 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共三大题，每题7分，共21分.
16．计算：．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识即可完成本题的计算．
【详解】原式
17 .在平行四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过D作，交于F即可；
（2）证明，可得，，证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图：点即为所求；

（2）由作图得：，
，
，
，
，
在中，，，，，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，
面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，
支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角．
(1)求端点C到底座的高度；
(2)为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，
问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数）
（参考数据：，，，）
【答案】(1)cm
(2)cm
【分析】本题主要考查含的直角三角形的性质，勾股定理，三角函数值求高等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得C到的高度；
（2）利用三角函数值求出旋转后点C离底座的高度，即可求出降低了多少．
【详解】（1）解：如图设点C到底座的高度为；
∵，；
∴；
∴端点C到底座的高度为：．
（2）如图为旋转后的图形；
∵，；
∴；
∵，；
在中；
；
∵；
∴；
∴旋转后端点C离底座的高度；
∴端点C离底座的高度降低了．
四、解答题（二）：本大题共三大题，每题9分，共27分.
19．端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了选择一个最合适的景区，
王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、
乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如下表所示：
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
(1)若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
(2)如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
(3)如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，
选择最合适的景区，并说明理由．
【答案】(1)王先生会选择B景区去游玩
(2)王先生会选择A景区去游玩
(3)最合适的景区是B景区，理由见解析（不唯一）
【分析】本题主要考查了求平均数和求加权平均数：
（1）根据加权平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；
（2）根据平均数的计算方法分别计算出三个景区的得分即可得到答案；
（3）设计对应的权重，仿照（1）求解即可．
【详解】（1）解：A景区得分为分，
B景区得分为分，
C景区得分为分，
∵，
∴王先生会选择B景区去游玩；
（2）解：A景区得分分，
B景区得分分，
C景区得分分，
∵，
∴王先生会选择A景区去游玩；
（3）解：最合适的景区是B景区，理由如下：
设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为，
A景区得分为分，
B景区得分为分，
C景区得分为分，
∵，
∴王先生会选择B景区去游玩．
20．为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，
学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．
已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，
购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．
如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
【答案】(1)科技类图书每本28元，文学类图书每本25元
(2)科技类图书最多能买166本
【分析】（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
（2）设购买科技类图书a本，结合资金不超过8000元，列出一元一次不等式，解出最大值.
【详解】（1）解：设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元．
依题意，得，
①×2－②，得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解为，
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．
（2）解：设购买科技类图书a本．
依题意，得．
解得．
所以满足条件的最大整数为166．
答：科技类图书最多能买166本．
21．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长相交于点，连接．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；
（2）①证明，得出，代入数据求出结果即可；
②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可．
【详解】（1）证明：是直径，，
，
．
（2）解：①，，
∴，
，
，
．
②连接，
是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，平分，
，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，，
由（1）可知，
，
∴，
．
五、解答题（三）：本大题共2大题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22．利用以下素材解决问题．
探索货船通过拱桥的方案
素材1 图1中有一座对称石拱桥，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物，据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式
素材3 本次探索成员对石桥桥拱的形状产生了争议，根据争论结果分成了两个小组，小组1认为桥拱为圆弧一部分，小组2认为桥拱为抛物线一部分
问题解决
任务1 根据小组1的结论，求圆形桥拱的半径．
任务2 根据小组1的结论探索方案 根据小组1的结论，根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？（最终结果四舍五入保留整数，参考数据：）
任务3 根据小组2的结论探索方案 据小组2的结论，根据图3状态，货船能否通过抛物线拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】任务1：；任务2：货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物；任务3：货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，垂径定理的实际应用，勾股定理：
任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，先证明垂直平分，设圆O的半径为，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案；
任务2：当恰好为圆O的弦时，由垂径定理得到，则，可得，则货船能通过圆形拱桥，进而得到，则，则货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，设桥拱所在的抛物线解析式为，由勾股定理得，则，利用待定系数法求出桥拱所在的抛物线解析式为，在中，当时，，由于，则货船不能通过抛物线拱桥，根据，得到，则货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
【详解】解：任务1：设拱桥所在圆的圆心为O，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴O、C、D三点共线，
设圆O的半径为，则，
由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴圆形桥拱的半径为
任务2：当恰好为圆O的弦时，
∵，，
∴（垂足为M），
∴，
∴，
∴，
∴货船能通过圆形拱桥，
∵，
∴，
∴最多还能卸载19吨货物，
∴货船能通过圆形拱桥，最多还能卸载19吨货物．
任务3：如图所示，以D为原点，所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
设桥拱所在的抛物线解析式为，
由勾股定理得，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴桥拱所在的抛物线解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴货船不能通过抛物线拱桥，
∵，
∴，
∴至少要增加20吨货物才能通过
∴货船不能通过抛物线拱桥，至少要增加20吨货物才能通过．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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