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2025高考数学考二轮专题复习-第七讲-直线与圆（三大考向）-专项训练
一：考情分析
命题解读 考向 考查统计
1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。 2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。 3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。 直线与圆的位置关系 2023·新高考Ⅰ卷，6 2022·新高考Ⅱ卷，15 2023·新高考Ⅱ卷，15 2024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）
圆与圆的位置关系 2022·新高考Ⅰ卷，14
直线的斜率 2022·新高考Ⅱ卷，3
二：2024高考命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
三：试题精讲
一、多选题
1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
高考真题练
一、单选题
1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
二、填空题
3．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
4．（2022新高考Ⅱ卷·15）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
知识点总结
一、直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
2、求曲线（或直线）方程的方法
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
3、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
4、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在．
四、三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
五、圆
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
六、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
七、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【直线与圆常用结论】
一、直线
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
二、圆
1、圆的参数方程
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
名校模拟练
一、单选题
1．（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·四川成都·三模）已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ）
A．1 或 B． 或 C． 或 D． 或
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·重庆·二模）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·北京·三模）已知直线，圆，下列说法错误的是（ ）
A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点；
B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为；
C．对任意实数，圆不关于直线对称；
D．存在实数，使得直线与圆相切．
10．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1
C．直线与圆可能相切
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
14．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
15．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
16．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
三、填空题
17．（2024·广东汕头·三模）已知圆经过，，三点，
（i）则圆的标准方程为 ；
（ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 .
18．（2024·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ．
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
20．（2024·湖南·二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可）
21．（2024·浙江·三模）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可）
22．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是
参考答案与详细解析
一：考情分析
命题解读 考向 考查统计
1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。 2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。 3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。 直线与圆的位置关系 2023·新高考Ⅰ卷，6 2022·新高考Ⅱ卷，15 2023·新高考Ⅱ卷，15 2024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）
圆与圆的位置关系 2022·新高考Ⅰ卷，14
直线的斜率 2022·新高考Ⅱ卷，3
二：2024高考命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
三：试题精讲
一、多选题
1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
高考真题练
一、单选题
1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
二、填空题
3．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
4．（2022新高考Ⅱ卷·15）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
知识点总结
一、直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
二、直线的方程
1、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于轴的直线
斜截式 不含垂直于轴的直线
两点式 不含直线和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
2、求曲线（或直线）方程的方法
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
3、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
4、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在．
四、三种距离
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
五、圆
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径
（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是
2、点与圆的位置关系判断
（1）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
（2）点与圆的位置关系：
①点P在圆外；
②点P在圆上；
③点P在圆内．
六、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
七、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【直线与圆常用结论】
一、直线
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
6、过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
8、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
二、圆
1、圆的参数方程
①的参数方程为（为参数）；
②的参数方程为（为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
名校模拟练
一、单选题
1．（2024·江西新余·二模）已知直线交圆C：于M，N两点，则“为正三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出圆的圆心及半径后，结合正三角形的性质可计算出当为正三角形时的值，结合充分条件与必要条件定义即可判断.
【详解】由C：可得其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
若为正三角形，则有，即，
即，解得或，
故“为正三角形”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在圆外即可求解.
【详解】圆，即圆，则，解得．
过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得．
故．
故选：C
3．（2024·北京·三模）已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先确定的轨迹以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值.
【详解】由可得点的轨迹为以线段为直线的圆，圆心为，半径为，
又直线，其过定点，
故距离的最大值为.
故答案为：C
4．（2024·四川成都·三模）已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（ ）
A．1 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】根据题意是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】根据题意，圆的圆心，半径，易知是等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，则，解得，
所以或.
故选：A.
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1，
则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
因为，且，
当最小时，则最大，可得最大，即最大，
又因为的最小值即为圆心到直线的距离为，
此时，所以取得最大值．
故选：C．
6．（2024·重庆·二模）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】设，可得，进而可得，求解即可.
【详解】由，可得圆心，半径，
设，
则，
，
则有
，
解得，即.
故选：C.
7．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由知点的轨迹方程是以位直径的圆，可得，即可求出的取值范围.
【详解】说明在以为直径的圆上，
而又在圆上，因此两圆有公共点，
则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，
所以，即，又，解得.
故选：B
8．（2024·山东烟台·三模）若圆与轴没有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出圆心坐标利用几何法得到不等式，解出即可.
【详解】即，
，解得或，
且其圆心坐标为，若该圆与轴没有交点，
则，解得
故选：C.
9．（2024·北京·三模）已知直线，圆，下列说法错误的是（ ）
A．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点；
B．当且仅当时，直线被圆所截弦长为；
C．对任意实数，圆不关于直线对称；
D．存在实数，使得直线与圆相切．
【答案】D
【分析】求出直线所过的定点，并判断该定点与圆的位置关系，再逐项分析判断即可得解.
【详解】直线，由，解得，即直线恒过定点，
圆的半径，，即点在圆内，
对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点，A正确，D错误；
直线不过圆的圆心，因此对任意实数，圆不关于直线对称，C正确；
直线的斜率，当时，直线的斜率为，因此直线
此时直线被圆所截弦是过点的最短弦，最短弦长为，
因此当且仅当时，直线被圆所截弦长为，B正确.
故选：D
10．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.
【详解】易知直线恒过定点，
直线恒过定点，
且，易知直线与互相垂直，即可得，
所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为；
可得点轨迹方程为；
又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点，
当两圆内切（圆在外）时，取得最大值；
此时满足，解得.
故选：D
二、多选题
11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1
C．直线与圆可能相切
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
【答案】AD
【分析】本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值.
【详解】由直线，得 ，
因为，则满足 ，解得 ，
所以直线恒过定点 ，故选项A正确.
因为当时，直线为:，
则圆心 到直线的距离为 ，
则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离，
所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误.
因为直线过定点 ，又 ，
所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误.
由圆的方程 可得，，
所以圆心为 ，半径为 ，
因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，
则 ，解得 ，故选项正确.
故选：AD.
12．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BCD
【分析】由已知得出点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，得出的范围，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出范围，进而判断出答案．
【详解】因为，
所以，
因为是中点，所以，
所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设为点，则，
所以，
又，两点关于点对称，
所以为直角三角形，且为斜边中点，则，
所以，
故选：BCD．
13．（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
【答案】ACD
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离即可判断A，利用特殊值判断B，根据抛物线的定义判断C，求出以为直径的圆的方程，即可判断两圆相交，从而判断D.
【详解】圆即，圆心为，半径；
对于A：若，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，故A正确；
对于B：当，时满足，此时直线方程为，
则圆心到直线的距离为，显然直线与圆相交，故B错误；
对于C：当时直线，则直线与直线平行，
且两平行线间的距离，
依题意动圆圆心到直线的距离与到的距离相等，
且点不在直线上，
根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；
对于D：不妨令，，的中点为，又，
所以以为直径的圆的方程为，
又，所以圆与圆相交，
所以圆上存在点满足，故D正确.
故选：ACD
14．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD

15．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10 B．2 C． D．
【答案】BD
【分析】
根据题意，由条件可得弦所在的直线方程，然后将转化为圆心到直线的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得弦所在的直线方程为，
因为圆，圆心，
圆，圆心，
设圆心与圆心到直线的距离分别为，
因为，即，
所以，又，
即，化简可得，
即，解得或.
故选：BD
16．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
【答案】ABC
【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误.
【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内，
对于A中，由，根据圆的性质，可得，
即，即，
所以的最大值为，所以A正确；
对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，
如图所示，可得时，可得，
时，可得，所以B正确；
对于C中，设的外接圆的圆心为，则，
则有，可得，
即，所以C正确；
对于D中，设的重心为点，则，
由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为，
且点为的中点，即，所以，
即，即，所以D错误.
故选：ABC.
三、填空题
17．（2024·广东汕头·三模）已知圆经过，，三点，
（i）则圆的标准方程为 ；
（ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】空1：设圆的一般方程，再代入三个点得到方程组，解出即可；空2：首先求出直线的方程，再求出其对称方程，根据直线与圆的位置关系得到不等式，解出即可.
【详解】根据题意可设圆的方程为，其中，
则，解得，
圆的方程为，
即圆的标准方程为；
由题意知，直线的斜率为，
直线方程为，与的交点为，
所以直线关于对称的直线的斜率为，
故对称直线的方程为，即，
由知，圆心为，半径为2，
因为对称直线与圆有公共点，
所以，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：；.
18．（2024·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】先求得直线过定点，圆的半径最大时，即为圆心和点的距离，即可求得半径，进而求得圆的标准方程.
【详解】直线，可化为，
所以，解得，所以直线过定点，
当与直线垂直时，圆的半径最大，半径为，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围．
【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，
因为在圆的内部，
所以，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
20．（2024·湖南·二模）已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是 .（写出一个满足条件的即可）
【答案】（写出一个满足条件的即可）
【分析】当时设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，若经过的中点，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得解.
【详解】若，此时的斜率为.
设的方程为，则点到的距离，解得，
因此的方程为或.
若经过的中点，
当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切；
当的斜率存在时，设其方程为，
则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为.
故答案为：（写出一个满足条件的即可）.
21．（2024·浙江·三模）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可）
【答案】或或（写出一条即可）
【分析】由圆的弦长公式求出，再利用三角形面积公式求出面积最大时的，然后由圆心到直线的距离分别等于半径列方程组，解出即可.
【详解】
设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；
设到直线的距离为，则，，
则，
所以当时，的面积最大，
当直线的斜率不存在时，满足题意，
当直线的斜率存在时，设：，
则由题意可得，①
化简可得，
即或，
代入①可解得或，
所以满足条件的切线方程为或或，
故答案为：或或.（写出一条即可）
22．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】作出示意图，分别为的半径，圆可得，求得圆关于直线的对称圆的方程为，数形结合可求.
【详解】作出示意图如图所示：
由，可得圆心，半径，
由，可得圆心，半径，
由题意可得，
易得圆关于直线的对称圆的方程为，
，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以.
故答案为：.

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