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第十八章 平行四边形
一、选择题
1．下列说法错误的是（　　）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．四个角都相等的四边形是矩形
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
3．如图，在平行四边形中，点E在线段的延长线上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
5．如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（　　）
A．20° B．40° C．80° D．100°
6．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点处，B交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
7．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE．若CE⊥AD，AE＝3，DE＝2，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．20
9．如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 (　　)
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
二、填空题
11．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为　 　．
12．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　．
13．如图，在 ABCD 中，若∠A=2∠B，则∠D=　 　°.
14．如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为　 　．
15．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点A'处，得到折痕与相交于点N，若直线交直线于点O，，则的长为　 　．
16．如图，正方形的边长为2，E为边的中点，点F在边上，点B关于直线的对称点记为，连接．当点F在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为　 　．
三、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.
18．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
19．如图，在 中，对角线、相交于点，且，，．
（1）求的度数：
（2）求 的面积．
20．如图，已知四边形是平行四边形，对角线、交于点，是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
21．如图，正方形的边长为，是的中点，是上一点，且．
（1）求证：；
（2）计算的面积．
22．在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点．
（1）若时，求的度数：
（2）设，
①当时，求的长；
②用含的代数式表示．
23．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求t的值；
（2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________；
（3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．D
解：A. 对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
B. 对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
C. 对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故正确；
5．C
6．B
7．A
解：四边形是菱形，，
，，
菱形的面积为，
∴，
，
，
，
为边中点，
，
8．A
9．C
解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
10．D
解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
11．30
12．（答案不唯一）
解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，平行四边形是菱形；
13．60
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A +∠B=180°，∠B=∠D.
又∵∠A=2∠B， ∴3∠B=180°，
∴∠D=∠B=60°.
14．15
15．
16．
17．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
又∵BD∥CE，
四边形DCEB是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
19．（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
；
（2） 的面积
20．（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
是等边三角形，
，则，
．
21．（1）证明：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
，
即，
，
，
，
即，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
（2）解：正方形的边长为，
，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
在中，由勾股定理得，
由知，
的面积．
22．（1）解：∵由题意得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴AD=AB，
∴，
又∵，
∴=∠ABD，
设=，
∵∠AEB是三角形ADE的一个外角，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE=2x，
而在△ABE中，
，
∴，
解得，
∴=.
（2）解：①过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，，
，
又∵，BM⊥AE，
，
在Rt△中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
，
的长为；
②过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
．
23．（1）解：根据题意，得AP=t，CQ=3t，则BP=18-t，
∵四边形是平行四边形，
∴BP=CQ，即18-t=3t，
解得：t=4.5，
∴当四边形是平行四边形时，t的值为4.5；
（2）7，4
（3）解：解：如图，
由（1）（2）得AP=t，BP=18-t，DQ=28-3t，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴ 若四边形能够成为菱形， 则AD的长为12cm.
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