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2.6.2菱形的判定
一、单选题
1．如图，O是矩形对角线的交点，作，，连结．有下列说法：①四边形为菱形；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
2．如图，在平行四边形ABCD中，，，以点A为圆心AB长为半径画弧交边AD于点F：以点B为圆心AB长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，BF和EF．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(　　)
A． B． C． D．
4．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
5．如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 　 　．
7．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是　 　（限填序号）．
8．要使 ABCD 是菱形， 你添加的条件是　 　.（写出一种即可）
9．在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为　 　．
10．如图，在菱形中，点在对角线上，，若则　 　．
11．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：　 　，使得平行四边形ABCD为菱形．
三、计算题
12．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．
（1）求证： ；
（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）
四、解答题
13．如图，菱形的对角线交于点O．已知，求菱形的高线长．
五、作图题
14．如图，在 ABCD中，已知.
（1）作的平分线交BC于点E，在AD上截取，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）直接写出四边形ABEF的形状.
六、综合题
15．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，分别以点E，F为圆心，以AF，AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF.
（1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
（2）若AE＝AF，请判断此四边形的形状，并说明理由.
16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
17．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
七、实践探究题
18．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
7．【答案】①
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
8．【答案】AD=AB (答案不唯一)
【知识点】菱形的判定
9．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
10．【答案】2
【知识点】菱形的判定与性质
11．【答案】AD=DC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
12．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴
在△ABE和△CDF中 ，
∴ ．
（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
14．【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：四边形ABEF是菱形.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
15．【答案】（1）解：根据题意可得：ED＝AF，AE＝DF
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：ED＝AF，AE＝DF
∵AE＝AF
∴AE＝AF＝ED＝DF
∴四边形AEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）解：由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC= AC= ×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO= = =4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD= ×AC×BD=24．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
18．【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
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