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2025年广州市初中学业水平考试数学备考练习卷
试卷共25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 . 2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，中最低的气温是（ ）
A． B．0 C．1 D．﹣1
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 某次数学测试共有5道题目，下面是901班30名同学的答对题数情况统计：
答对题数（道） 0 1 2 3 4 5
人数（人） 1 2 4 9 11 3
同学答对题数的众数和中位数分别是（ ）
A．4道，4道 B．11道，3道
C．4道，3道 D．11道，11道
6. 若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
7. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，
此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，
点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
9 .如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10 . 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 已知，则 ．
12. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，
折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，
则的度数是 ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，
则点B的横坐标是 ．
14. 如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形．
若，则 ．
如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，
反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为 ．
16 . 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是 ．
解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.计算：
(1)；
(2)．
18. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F．
求证：；
若，，求线段的长．
19. （1）化简：
（2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20.在平行四边形中，于点．

尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2) 求证：四边形是矩形．
为了更好的学习如何阻止新冠肺炎传播知识，某校举行“新冠肺炎疫情防控”答题活动．
甲、乙两班各选出名学生参加答题，其答题成绩满分为分如下表所示：
甲班 号 号 号 号 号
分 分 分 分 分
乙班 号 号 号 号 号
分 分 分 分 分
(1)甲、乙两个班这名学生答题成绩的中位数是______，众数是______．
(2)求出乙班学生答题成绩的平均数．
(3)若从甲、乙两班答题成绩“分”的名学生中随机抽取名参加全县知识答题，
求这名学生恰好来自同一个班的概率．
22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，
安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
真空管上端B到水平线AD的距离．
求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
23 .如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），
反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，
求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
24. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
25 .约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年广州市初中学业水平考试数学备考练习卷解答
试卷共25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 . 2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，中最低的气温是（ ）
A． B．0 C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则成为解题的关键．
根据两个负数比较，绝对值大的反而小，比较和的大小，然后再根据正数大于0，0大于负数即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵正数大于0，0大于负数，
∴，
∴最小的数是，
∴最低的气温是．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除，积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
4. 已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜3，
故选D．
5. 某次数学测试共有5道题目，下面是901班30名同学的答对题数情况统计：
答对题数（道） 0 1 2 3 4 5
人数（人） 1 2 4 9 11 3
同学答对题数的众数和中位数分别是（ ）
A．4道，4道 B．11道，3道
C．4道，3道 D．11道，11道
【答案】C
【分析】根据众数：出现次数最多的数据，中位数：排序后中间一位或中间两位数据的平均数，进行求解即可．
【详解】解：有11人答对4道，数量最多，故众数为4道；
中位数为第15个和第16个数据的平均数：道；
故选C．
6. 若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴；
∴函数值最小的是；
故选C．
7. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，
它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，
其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，
站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（ ）

A．80米 B．米 C．160米 D．米
【答案】B
【分析】
过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴米，
在中，米．
即该主塔的高度是米．
故选：
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴是直径，
根据同弧对的圆周角相等得，
∵，
∴，
∴，即圆的半径为2，
∴
．
故选C．
9 .如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
10 . 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段，
此时，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11.已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值，由得到，根据，将整体代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
将整体代入得，
故答案为：．
12.如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是 ．
【答案】/65度
【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出，，再根据两直线平行、内错角相等，推出，，即可求解．
【详解】解：，，
，，
由题意知：，
，，
，
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，
则点B的横坐标是 ．
【答案】6
【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．
【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得
得
点B的横坐标是6．
故答案为6．
14. 如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形．
若，则 ．
【答案】
【分析】设与相交于点，先证明四边形是菱形，再根据，可判断是等边三角形，可得，再利用勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求得．
【详解】解：如图，设与相交于点，
原来四边形为正方形，
四条边相等，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
15. 如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，根据正方形，，得,设，则，根据反比例函数的图象经过点C、E，得到，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，
∵正方形，，，
∴,
设，则，
根据反比例函数的图象经过点C、E，
∴，
解得．
故答案为：．
16 . 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝xcm，则CE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE
∵四边形ABCD为矩形
∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵
∴
由勾股定理得（cm）
∴AD＝BC＝10（cm）
∴CF＝BC﹣BF＝4（cm）
设EF＝DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm
在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2
解得：x＝5
∴DE＝5cm
在Rt△ADE中，由勾股定理得（cm）
故答案为：cm．
解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，零指数幂，特殊的三角函数值，乘方，然后进行加减运算即可；
（2）先通分，因式分解，然后进行化简即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
18. 如图，E是正方形的边上的点，过点E作交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见详解；
(2)；
【分析】（1）根据正方形得到，从而得到，结合可得，即可得到，即可得到证明；
（2）根据可得，结合，与正方形性质即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，，，
∴，
∴，
∴．
19. （1）化简：
（2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】此题考查了分式的化简和一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式的运算法则和一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
（1）先计算括号内的减法，再计算除法即可；
（2）根据根的情况列出关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）
（2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得且
20.在平行四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过D作，交于F即可；
（2）证明，可得，，证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图：点即为所求；

（2）由作图得：，
，
，
，
，
在中，，，，，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
为了更好的学习如何阻止新冠肺炎传播知识，某校举行“新冠肺炎疫情防控”答题活动．
甲、乙两班各选出名学生参加答题，其答题成绩满分为分如下表所示：
甲班 号 号 号 号 号
分 分 分 分 分
乙班 号 号 号 号 号
分 分 分 分 分
(1)甲、乙两个班这名学生答题成绩的中位数是______，众数是______．
(2)求出乙班学生答题成绩的平均数．
(3)若从甲、乙两班答题成绩“分”的名学生中随机抽取名参加全县知识答题，
求这名学生恰好来自同一个班的概率．
【答案】(1)分、分
(2)分
(3)
【分析】（1）（2）根据中位数、众数、平均数定义求解即可；（3）用树状图或列表法求解．
【详解】解：将这个数据重新排列为：、、、、、、、、、，
所以甲、乙两个班这名学生答题成绩的中位数是分，众数为分，
故答案为：分，分；
乙班学生答题成绩的平均数为分；
甲、乙两班竞赛成绩“分”的名学生中甲班名学生分别记为、，乙班名学生分别记为、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中这名学生恰好来自同一个班的结果有种，即、、、，
这名学生恰好来自同一个班的概率为．
22. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，
安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
真空管上端B到水平线AD的距离．
求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
【答案】(1)1.8米
(2)0.9米
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD AF计算即可．
【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），
反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，
求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【详解】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
24. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
解：（1）将、代入，
可得，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
可得，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的坐标为，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示，
∵点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴此时周长取最小值，
当时，，
∴此时点的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，
周长的最小值为；
过点作轴交轴于点，交直线于点，
过点作轴交轴于点，如图所示，
设点的坐标为，则点，点，
∴，，
∴，
∵点，
∴点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
25 .约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．

如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，

∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，

由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，

∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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