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18.2.1 矩形的性质
一、单选题：
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行且相等
2．如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
3．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若，，则图中阴影部分图形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若EF＝6cm，则AC的长是( )
A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm
6．如图，在长方形中，，．将沿折叠，使点的对应点落在上，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
二、填空题：
8．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使，若，则________．
9．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____．
10．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E在BC上且BE=2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为__________．
11．如图，在中，是高，E，F分别是的中点．若四边形的周长为24，，则_____．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝________．
13．如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的度数是_________．
14．如图，在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD=12．若点E 在线段BC上，BE=5，EF⊥AE交CD于点F，沿EF折叠C落在处，当 为等腰三角形时，BC=________．
三、解答题：
15．已知：如图，在矩形中，，．对角线的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．
17．已知：如图，分别是的中点，求证：．
18．如图，矩形中，的平分线交于点，为对角线和交点，且．
（1）证明为等边三角形；
（2）求的度数．
19．如图，折叠矩形ABCD的顶点D所在角，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．
(1)若∠DAE＝26°，求∠EFC的大小；
(2)若AB＝8，BC＝10，求EC的长．
20．如图，等腰的直角顶点是矩形对角线的交点，与边交于点．
(1)如图1，当与在同一条直线上时，求证：．
(2)如图2，当与在同一条直线上时，若，，求的长．.
答案
一、单选题：
1．C
【分析】由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；它们的对边都具有平行且相等的性质，
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：C．
2．C
【分析】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．
【详解】∵，
∴和是直角三角形，
又∵，
∴，
∴
∵
∴是直角三角形，
∴．
故选：C
3．C
【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，
∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，
∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，
∴阴影部分的面积＝×矩形的面积，
∵，，
∴AB＝2，
∴阴影部分的面积＝，
故选：C．
4．C
【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确；
故选：C．
5．C
【分析】根据三角形中位线定理可得EF=DO，再根据矩形的对角线的性质可得AC长．
【详解】解：∵点E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF=DO，
∵EF=6cm，
∴DO=12cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2DO=24(cm)，
故选：C．
6．D
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
折叠
，，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选D．
7．D
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=BE，证明△AOB是等边三角形，得出∠ABO=60°，OB=AB，得出OB=BE，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∵∠DAO=30°，
∴∠EAO=15°，
∴∠BAO=45°+15°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB，
∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE，
∴∠BEO=×（180°-30°）=75°．
故选：D．
二、填空题：
8．
【分析】连接，交于点，先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．5
【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长．
【详解】如图，连接OB，
∵B的坐标为（4，3），
∴
∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=5
故答案为：5．
10．
【分析】根据三角形中位线定理，先求出的取值范围，进而求出的取值范围．
【详解】解：连接，
∵M，N分别是AE，PE的中点，
∴，
由题意可知：当点与点重合时，最长，
此时：，
，
当当点与点重合时，最短，
此时：，
，
∴；
故答案为：．
11．9
【分析】根据线段中点的概念得到根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据四边形的周长公式得到，进而求出．
【详解】∵E，F分别是的中点，
∴
∵是高，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形的周长，
∵四边形的周长为24，
∴，
∵，
∴，
故答案为：9．
12．2.4
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．
【详解】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP
=OA PE+OB PF
=OA（PE+PF）
=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故答案为：2.4．
13．15°
【分析】根据矩形的性质有DO=OA=OB=OC，结合OG⊥AC，可知OG是AC的垂直平分线，即有∠COG=90°，AG=CG，则有∠OAG=∠OCG，根据∠BOG=15°，可得∠COB=75°，进而有∠OCB、∠OBC的度数，则可得∠OCD=∠BCD-∠OCB=，即问题得解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且AC、BD相互平分，，
∴DO=OA=OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OG⊥AC，
∴OG是AC的垂直平分线，∠COG=90°，
∴AG=CG，
∴∠OAG=∠OCG，
∵，
∴∠OAG=∠OCD，
∵∠BOG=15°，∠COG=90°，
∴∠COB=75°，
∵∠OCB=∠OBC，
∴在△OBC中有∠OCB=∠OBC=，
∵在矩形ABCD中∠BCD=90°，
∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=，
∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=，
∴∠BCG=∠BCD-∠OCD-∠OCG=，
故答案为：15°．
14．18或15或21.9
三、解答题：
15．解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则 ，
在中，
即
解得：，
∴
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE=2，DE=6，
∴BD=8，
∴OB=4，
∴BE=EO=2，
∵AE⊥BD于E，
∴AE是线段OB的垂直平分线，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴AB=OB=4，
∴AD==4．
17．证明：如图所示，连接，
，
是的中点．
Rt中，，
Rt中，，
，
又是的中点，
；
综上所述，．
18．（1）证明：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=45°
∵∠CAE=15°
∴∠BAC=60°
∵AO=BO
∴△AOB是等边三角形
（2）解：∵△AOB是等边三角形
∴AB=BO
∵AB=BE
∴BE=BO
∴∠BOE=∠BEO
∵∠OBE=90°－60°=30°
∴∠BOE=∠BEO=（180°－30°）÷2=75°
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°
19.（1）∵四边形是矩形，∴，，由折叠可知：△ADE≌△AFE，∴，，∴，∴；
（2）∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴．
20.（1）证明：连接，
四边形是矩形，
，，，
是直角三角形，
，
是的垂直平分线，
，
在中，，
；
（2）解：连接，
由（1）可知，，
设，则，
在菱形中，，，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
．

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