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18.1勾股定理
一、填空题
1．列方程解几何题是常用解题方法：如图 1，中，比长1，，求的长．
解：设为，则． 在中，，列方程得：　 　解得：　 　
2．在中，，，，，垂足为H，　 　．
3．如图，以直角三角形的三边为边长分别作三个正方形，其中两个正方形的面积标示在图中，则字母所在的正方形的面积是　 　 ．
4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为　 　.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC上一点，若BD＝5，则AD的长为　 　.
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到坐标原点的距离为　 　．
二、单选题
7．在中，所对边分别为，若，则面积为（　　）
A． B． C．3 D．
8．已知直角三角形的一条边长为10，另一边长为8，则第三边长为（　　）
A．6 B．8 C． D．6或
9．如图，图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）
图1 图2
A．6 B．5 C．4 D．3
10．已知直角三角形的两边长是3，5，那么斜边可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（　　）
A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积
三、解答题
12．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度．
四、计算题
13．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积得到等式：___________________．
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：________________（结果为最简）
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积=___________．
14．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，点，其中满足；
（1）求的值；
（2）点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正半轴运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点在上，点在延长线上，，当时，求点的坐标．
15．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
（1）求当x等于何值时，
（2）当时，求的长．
（3）利用图形求代数式的最小值．
五、作图题
16．在如图所示的 方格中， 每个小方格的边长都为 1 ．
（1）在图中画出长度为 与 的线段，要求线段的端点在格点上；
（2） 在图中画出一个三条边长分别为 3 ， 的三角形， 使它的顶点都在格点上．
六、综合题
17．川藏铁路是一条连接四川省与西藏自治区的快速铁路，是我国铁路建设工程的里程碑，在建设过程中，某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得长为，长为，长为，，．（A，B，C，D在同一水平面内）．
（1）求A，D两点之间的距离．
（2）求隧道的长度．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6， c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
19．为了把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一条笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条林荫小道与公路在点H处连接，且林荫小道和公路互相垂直，已知，，．
（1）求公路的长度．
（2）若修林荫小道每千米的费用是0.8万元，修建林荫小道需要多少元？
七、实践探究题
20．塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”，用来吊施工用的钢筋、木楞、混凝土、钢管等施工的原材料．如图1是塔吊实物图，图2是塔吊示意图，线段，表示钢丝绳，表示起重臂，，综合与实践小组向工人了解到如下信息：米，米，米．求钢丝绳的长度（参考数值：）
答案解析部分
1．【答案】；4
【知识点】勾股定理
2．【答案】
【知识点】勾股定理
3．【答案】7
【知识点】勾股定理
4．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
5．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
6．【答案】10
【知识点】勾股定理
7．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；含30°角的直角三角形；勾股定理
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理
9．【答案】A
【知识点】勾股定理
10．【答案】C
【知识点】勾股定理
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
12．【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
在中，根据勾股定理可得：，
解得， ，
答：旗杆的高度为12米．
【知识点】勾股定理
13．【答案】（1）；
（2）；
（3）①；②1．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；勾股定理
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】勾股定理
16．【答案】（1）解：如图所示， 线段，即为所求；
（2）解：如图所示，即为三条边长分别为的三角形．
【知识点】勾股定理
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的应用；含30°角的直角三角形；勾股定理
18．【答案】（1）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，b= =8
（2）解： 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9，c= =41
（3）解： 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15，a= =20
【知识点】勾股定理
19．【答案】（1）千米
（2）万元
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
20．【答案】36米
【知识点】勾股定理
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