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19.3矩形，菱形，正方形
一、单选题
1．将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．16 B．25 C．55 D．146
4．如图，菱形的对角线与相交于点于点，则的长为（　　）
A．6 B．8 C．9.6 D．10
5．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
二、填空题
6．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则　 　cm．
7．如图，，点是的中点，则的度数是　 　．
8．如图，在四边形中，，，．分别是对角线，的中点，则　 　．
9．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为　 　．
10．如图，正方形边长为4，点在边上一点（点与点、重合），过点作，垂足为，与边相交于点，连接、，如果的面积为，则的长　 　．
11．如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为　 　．
三、计算题
12．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，直线与y轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点E是射线上一动点，过点E作轴，交直线于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．R△ABC中，∠BAC=90°，
（1）如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S1，S2 ，S3
①若AB=5，AC=12，则S3= ▲ ；
②如图2，将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上， 且点M是GO中点时，求S1：S2：S3 ；
③如图3，无论R△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗 请说明理由；
（2）如图4，分别以AB， AC， BC为边向外作正三角形ABD， ACF， BCE， 再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB= 保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值.
四、解答题
15．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，于点E
（1）求菱形的面积，
（2）求的长度．
五、作图题
16．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，求作直线l，分别交AD、BC于 E、F，使得四边形BEDF为菱形.
六、综合题
17．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且EH∥AC．
（1）求证：EG=FH；
（2）若△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，F是AD的中点，AD=6，连接BF，求BF的长．
18． ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
19．《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）
其文如下：
问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？
答案：．
解：
（1）已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长．
（2）应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？
七、实践探究题
20．【问题背景】
如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图.
【问题探究】
（1） ______ ；
（2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；正方形的性质
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
6．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
10．【答案】3或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；正方形的性质
11．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
12．【答案】线段的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
13．【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
14．【答案】（1）解：①169
②设正方形ABGF的边长为a，则AB=BF=AG=FG=a，
∵正方形ABGF，正方形AHPC，∠BAC=90°，
∴∠AGO=∠GAH=∠AHO=90°
∴四边形AGOH是矩形，
∴∠F=∠NOM=90°，OG=AH
∵将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M
∴BM=MN，∠BMN=90°
∴∠BMF+∠NMO=90°，∠NMO+∠MNO=90°
∴∠BMF=∠MNO
在△BFM和△MON中
∴△BFM≌△MON（AAS）
∴OM=BF=a
∵点G是GO的中点，
∴OG=AH=2OM=2a，
∴正方形AHPC的边长为2a，
AB2+AC2=BC2
∴S12+S22=S32
∴S32=a2+4a2=5a2
∴ S1：S2：S3 =a2：4a2：5a2=1：4：5；
③过点M作MQ⊥HB于点Q，
∵正方形BCNM
∴BM=BC，∠BAC=∠MQB=90°，
∵∠MBQ+∠BMQ=90°，∠MBQ+∠ABC=90°，
∴∠BMQ=∠ABC
在△MBQ和△BCA中
∴△MBQ≌△BCA（AAS）
∴MQ=BA，
∵正方形ABFG，
∴AB=BF=AG，
∴FB=GA=MQ
∵BF∥AG∥MQ
∴点F、G、M三点共线即点M一定落在直线FG上.
（2）AP值会改变，AP最小值为
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
15．【答案】（1）24
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
16．【答案】解：如图所示，EF 为所求直线；四边形BEDF为菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．
∵AC∥EH，∴四边形ACHF是平行四边形，四边形ACGE是平行四边形，∴AC=HF，AC=EG，∴FH=EG，∴EG=FH
（2）解：连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=90°，AF=DF，∴CF⊥AD，CF= AD．
∵AD∥BC，∴CF⊥BC，∴∠BCF=90°，
∵BC=AD=6，CF= AD=3，∴BF= =3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
【知识点】矩形的判定
19．【答案】（1）正方形边长为；
（2）该正方形花圃的边长为．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定与性质
20．【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
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