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第六章 圆周运动
第3节 向心加速度
1．知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。
2．了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
3．能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
学习目标
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目录 /CONTENTS
匀速圆周运动加速度的方向
匀速圆周运动向心加速度大小
新课引入
我们可以将地球绕着太阳公转看成是匀速圆周运动，这是因为地球受到什么力的作用？这个力方向如何？
太阳的引力，时刻指向圆心
光滑桌面上小球在细绳的牵引作用下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，细绳被拉紧。是什么保证了小球做匀速圆周运动？这个力方向如何？
绳子的拉力，时刻指向圆心
由牛顿第二定律知，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
一、匀速圆周运动加速度的方向
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心
5.说明：匀速圆周运动加速度的方向时刻改变，
所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是变加速运动。
1.产生：由向心力产生
3.说明：匀速圆周运动的向心加速度大小不变。
你是否可以尝试推到以下向心加速度的计算公式呢？
你还记得向心力的计算公式吗？
根据牛顿第二定律：
2.向心力的大小：
二、匀速圆周运动加速度的大小
从几何角度推到向心信加速度的大小：
如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在 A、B 两点的速度分别为 vA、vB，可以分四步确定物体运动的加速度方向。
第一步，根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过 A、B 两点时的速度方向，分别用 vA、vB 表示，如图甲所示。
第二步，平移 vA 至 B 点，如图乙所示。
二、匀速圆周运动加速度的大小
第三步，根据矢量运算法则，做出物体由 A 点到 B 点的速度变化量 Δv，其方向由 vA 的箭头位置指向 vB 的箭头位置，如图丙所示。由于物体做匀速圆周运动，vA、vB 的大小相等，所以，Δv与 vA、vB 构成等腰三角形。
第四步，假设由 A 点到 B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定的情况下，A 点到 B 点的距离将非常小，作出此时的 Δv，如图丁所示。
二、匀速圆周运动加速度的大小
仔细观察图丁，可以发现，此时，Δv与vA、vB都几乎垂直，因此Δv的方向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度a与Δv的方向是一致的，所以从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。
二、匀速圆周运动加速度的大小
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
∴ = = = v
AB
Δl
Δt
Δt
AB
Δt
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= ω2r = vω
当△t 很小很小时，AB=AB=Δl
∴ an = =
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
二、匀速圆周运动加速度的大小
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从 看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
当ω一定时，a与r成正比
当v一定时，a与r成反比
二、匀速圆周运动加速度的大小
如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少
试通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
【分析】 由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度 ω 与夹角 θ 之间的关系。
二、匀速圆周运动加速度的大小
二、匀速圆周运动加速度的大小
课堂小结
1.定义：匀速圆周运动的加速度
2.意义：描述速度方向变化的快慢
3.大小：
4.方向：始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
向心加速度
课堂小结
1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( 　)
A． 它描述的是线速度大小变化的快慢
B． 它描述的是线速度方向变化的快慢
C． 它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D． 它描述的是角速度变化的快慢
A
课堂小结
2.如右图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( 　)
A． 质点P的线速度大小不变
B． 质点P的角速度大小不变
C． 质点Q的角速度大小不变
D． 质点Q的线速度大小不变
AC
课堂小结
3.如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的1/3．当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？
答案：4 m/s2　24 m/s2

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