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2025年广东省广州市中考数学模拟预测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1 . 在－3，－1，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A．－3 B．－1 C．0 D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 . 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5 . 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，
统计结果如下：
课外书数量（本） 1 2 3 4
人数 7 9 8 6
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2
如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点
轴，延长交轴于点．若，则的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：
在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，
改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．
实验数据记录如下表：
…… 10 15 20 25 30 ……
…… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
9 . 如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，
的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ）

A． B． C． D．
如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，
在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，
设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，
则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．已知，那么 ．
12．因式分解：= ．
13 .如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_________
14．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是
如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，
函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为 ．
三、解答题（共72分）
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
18．如图，在平行四边形中，，垂足分别为点E，F，求证：．
19．在平行四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点B．
求反比例函数的表达式；
(2) 若点C为线段上一点，过点C作轴交双曲线于点D，连接，，若的面积为，求点C的坐标．
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，
明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，
某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：
A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，
并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，
根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

本次接受抽样调查的总人数是　 　人；
(2) 请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3) 该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有　 人；
(4) 小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，
小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》
（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片
（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．
请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
22．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．
图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．
已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）．
求点P到地面的高度；
当挖掘机挖到地面上的点时，，求．
23．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
求两种羽毛球拍每副的进价；
(2) 若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．
一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，
这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
25 .问题背景：
如图1，，，，
图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角；
变式运用：
如图2，E为外一点，，，，
试探究线段之间的数量关系，说明理由；
拓展创新：
如图3，在菱形中，，，P为上的一动点，
将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点E，连接，
若，则________（直接写出结果），线段________．（直接写出结果）

21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年广东省广州市中考数学模拟预测试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1 . 在－3，－1，0，这四个数中，最小的数是（ ）
A．－3 B．－1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，再找出最小的数即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴在这四个数中，最小的数是，
故选：A．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3 . 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
5 . 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校七年级30名同学近1个月内每人阅读课外书的数量，
统计结果如下：
课外书数量（本） 1 2 3 4
人数 7 9 8 6
则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4 B．3，2 C．2，3 D．2，2
【答案】D
【分析】本题考查中位数和众数，理解中位数和众数的概念是解题的关键．
根据中位数和众数的概念求解即可．
【详解】∵，从低到高排序后，处于第号和第号的数都是，
∴这组数据的中位数，
∵每人阅读课外书是的人数有人，人数最多，
∴这组数据的众数是，
故选：D．
如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点
轴，延长交轴于点．若，则的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】设点，用含的代数式表示出点坐标，将、代入，即可求解，
本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是：表示出、的坐标．
【详解】解：∵，
设点，则，代入，得：，解得：，
故选：D．
《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：
“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．
问每只雀、燕的重量各为多少？”
解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：
在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，
改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．
实验数据记录如下表：
…… 10 15 20 25 30 ……
…… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
9 . 如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，
的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】，
故选：B．
如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，
点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，
在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，
设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，
则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-x，
同理可得，Q2P2=P2B=10-x，
，
因此当时，对应图像为，
其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．
二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.）
11．已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据比例的性质，设x＝5a，则y＝2a，代入原式即可求解.
【详解】解：∵，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么．
故答案为：．
12．因式分解：= ．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．
【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
13 .如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，则的度数为_________
【答案】85°
【分析】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可求出的度数．
由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为 85°
14．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是
【答案】
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF= =2x，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF==2x，
∴tan∠BDE== = ；
故答案为.
如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，
则圆锥的母线l为 ．

【答案】15
【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得．
故答案为：15．
如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，
函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C在函数的图象上，
∴，
∵与轴相切于点，
∴轴，
∴轴，
∴，
故答案为：5．
三、解答题（共72分）
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）3
（2）
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数的定义，特殊角的三角函数值计算即可得出答案；
（2）根据解不等式的法则分别解出两个不等式，再取公共部分的解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2） 解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
18．如图，在平行四边形中，，垂足分别为点E，F，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=CB，∠DAE=∠BCF，从而结合题意证明△ADE≌△BCF，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．
19．在平行四边形中，于点．

(1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过D作，交于F即可；
（2）证明，可得，，证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论．
【详解】（1）解：如图：点即为所求；

（2）由作图得：，
，
，
，
，
在中，，，，，
∴，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点C为线段上一点，过点C作轴交双曲线于点D，连接，，若的面积为，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)C的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设，，由的面积 ，即可求解．
【详解】（1）将代入直线，得，
∴，
将代入反比例函数，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）由轴，设，，
∴，
∴，
∴，
∴或4，
∴C的坐标为或．
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，
明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性为落实劳动教育，
某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动活动设置了四个爱心项目：
A．为家人做早饭，B．洗碗，C．打扫家，D．洗衣服．要求每个学生必须且只能选择一项参加，
并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，
根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

本次接受抽样调查的总人数是　 　人；
(2) 请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
(3) 该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有　 人；
(4) 小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，
小雯听说春节期间新上映的四部电影《流浪地球2》《满江红》《无名》《之伴我熊芯》
（依次记为a，b，c，d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片
（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片．
请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的概率．
【答案】(1)120
(2)见解析
(3)390
(4)
【分析】（1）用B组或D组的人数除以它们所占的百分比即可；
（2）先求出C组人数和A组所占百分比，再补全统计图即可；
（3）将A组所占百分比乘以参加活动的学生总数即可；
（4）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）∵B组45人，占百分比为37.5%，
∴接受抽样调查的总人数是：（人），
故答案为：120；
（2）C组人数为：（人），
A组人数所占百分比为：，
补全统计图如下：

（3）∵（人），
∴估计该校参加A项目的学生有390人，
故答案为：390；
（4）画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，
抽到的两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”的有2种可能的结果，
∴P（两张卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《满江红》”）．
22．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．
图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．
已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．
（参考数据：）．
求点P到地面的高度；
当挖掘机挖到地面上的点时，，求．
【答案】(1)点到地面的高度为；
(2)．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案；
（2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案．
【详解】（1）解：过点作于H，延长交于，
则四边形为矩形，
∴，，
则，
∴点到地面的高度：，
即点到地面的高度为；
（2）解：由（1）可知，四边形为矩形，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴．
23．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，
体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，
已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，
用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
求两种羽毛球拍每副的进价；
(2) 若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，
用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，
种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）解：设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元，
根据题意，得，
解得，且m为正整数，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．
一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，
这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得和，结合对称轴利用待定系数法即可求得解析式，
（2）根据题意得点的纵坐标为，即可求得点R的横坐标，结合题意得的横坐标，则有点的横坐标，即可求得；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意设直线的解析式为，联立方程组得，由于抛物线与直线相切，则有，解得m，即可求得．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，解得，
抛物线的函数解析式为：；
（2）∵，
∴点的纵坐标为，
将代入得，
解得，（舍），
的横坐标为1，
四边形是正方形，
的横坐标为，
点的横坐标为，
；
（3）如图，取最右侧光线与抛物线切点为，

设直线的解析式为，将点及点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
由得，即，
抛物线与直线相切，
该方程有两个相等的实数根，
，
解得，
直线的解析式为：，
令直线中的得，
即，
．
25 .问题背景：
如图1，，，，
图中存在一个三角形绕某点旋转得到另一个三角形，直接写出旋转中心和旋转角；
变式运用：
如图2，E为外一点，，，，
试探究线段之间的数量关系，说明理由；
拓展创新：
如图3，在菱形中，，，P为上的一动点，
将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点E，连接，
若，则________（直接写出结果），线段________．（直接写出结果）

【答案】（1）旋转中心为，旋转角为；（2），理由见解析；（3），
【分析】（1）根据旋转变换的性质判断即可；
（2）结论：．如图2中，作交于点．设交于点．证明，推出，，再证明四边形是平行四边形，推出，可得结论；
（3）如图3中，连接，过点作于点，设．利用勾股定理，构建方程求解即可．
【详解】解：（1），
，
在和中，
，
，
绕点逆时针旋转度，可得．
旋转中心为，旋转角为；
（2）结论：．
理由：如图2中，作交于点．设交于点．
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）如图3中，连接，过点作于点，设．
，，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
（负根已经舍去），
故答案为：，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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