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北京市西城区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了年全国可再生能源消费量达到吨标煤以上等系列目标．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.如图，点，在数轴上表示的数分别是，若，互为相反数，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列图形中可以作为一个长方体的展开图的是( )
A. B.
C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一个角的补角比它大，则这个角的度数为( )
A. B. C. D.
7.下列问题中的两个量成反比例关系的是( )
A. 每天阅读半小时，阅读的总时长与天数 B. 米短跑测试，跑步的平均速度与时间
C. 圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 D. 长方形的周长一定，长方形相邻两边的长
8.对任意两个有理数如下运算：有下列四个结论：
；；；若，则．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是 号．
零件编号
长度
10.如图，已知点与直线，用适当的语句表述图中点与直线的关系： ．
11.写出一个次数是的单项式，这个单项式可以是 写出一个即可．
12.若是关于的方程的解，则的值为 ．
13.如图，，，，则的度数为
14.如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为 用含的式子表示．
15.在一次劳动课上，有名同学在甲处劳动，有名同学在乙处劳动．现在另调人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ．
16.如图，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是，，，，，，，，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于将，，，，，，，这八个数分别填入图的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，，已填入如图所示的位置．
图中，表示的这两个数的和为 ；
将，表示的数以及剩余的三个数填入图中填出一种即可，从上往下依次为 ，___，___．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
；
；
．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19.本小题分
如图，已知线段，，点，．
使用直尺和圆规，完成以下作图保留作图痕迹；
作直线；
在射线上作线段，使；
作线段，使点是线段的中点．
若，，则中线段的长为________．
20.本小题分
解下列方程：
；
．
21.本小题分
甲、乙、丙、丁四位志愿者参加某公益组织举办的义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的售卖．下表记录了他们售出商品的数量和总销售额的部分信息．
志愿者 帆布袋个 冰箱贴个 徽章个 总销售额元
甲
乙
丙
丁
直接写出帆布袋、冰箱贴、徽章的单价；
如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的倍还多个，那么丁售出冰箱贴和徽章各多少个？
22.本小题分
学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“”形赛道阴影部分，并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图中赛道的内圈长为线段，，的和．
用含的式子表示：图中，的长为_______，赛道的内圈长为______；
小明想到可以调整“”形赛道的开口方向，如图，他在场地长为的边上截取线段，且他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“”形赛道．
请在图中补全小明设计的赛道图形；
对于图的这种设计，在图和图两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由．
23.本小题分
如图，数轴上点，，分别表示数，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点后以每秒个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点到达点时，，两点都停止运动．设点运动的时间为秒．
当时，_______；当点与点重合时，_______；
当点在点左侧，且时，______，点表示的数是_______；
当时，求的值．
24.本小题分
已知直线，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点，该锐角的两边分别记为射线，射线，且字母，，按顺时针方向排列射线，不与直线重合作射线平分，射线平分．
如图，若，，则_______；
如图，若，且与互余，求的度数；
将三角尺绕点旋转，使得射线，都在直线的下方，直接写出的度数的所有可能值．
25.本小题分
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数．
将转换为十进制数，结果是________；
对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论：
如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除；
如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除．
从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理．
26.本小题分
数轴上点，，分别表示数，，，如果，，满足，则称点，互为关于点的“平衡点”例如，当，，时，点，互为关于点的“平衡点”．
已知数轴上点表示数．
点，分别表示数，，且点，互为关于点的“平衡点”，则________用含的式子表示；
点，，分别表示数，，．
对点做如下操作：点关于点的“平衡点”为点，点关于点的“平衡点”为点，点关于点的“平衡点”为点，点关于点的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，，为正整数．
对点做如下操作：将点沿数轴负方向移动个单位长度得到点，点关于点的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动个单位长度得到点，点关于点的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，，．
求线段的长；
是否存在正整数，对于任意的正数，都有线段的长为？如果存在，直接写出的值；如果不存在，说明理由．
答案和解析
1.
【解析】根据绝对值的定义可知：．
故选：．
2.
【解析】
故选：．
3.
【解析】，
，
，互为相反数，
，
解方程组
可得：
的值为．
故选：．
4.
【解析】选项：两个底面在展开图的同一侧，折叠后左面缺一个面，故A选项不符合题意；
选项：两个底面在展开图的同一侧，另一个底面的位置缺一个面，故B选项不符合题意；
选项：展开图可以折叠成一个完整的长方体，故C选项符合题意；
选项：展开图的右面缺一个底面，故D选项不符合题意．
故选：．
5.
【解析】．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意．
故选：．
6.
【解析】设这个角为，
根据题意得，，
解得，
故选：．
7.
【解析】、每天阅读半小时，阅读的总时长与天数成正比例关系，故此选项不符合题意；
B、米短跑测试，跑步的平均速度与时间成反比例关系，故此选项符合题意；
C、圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系，故此选项不符合题意；
D、长方形的周长一定，长方形相邻两边的长不成比例关系，故此选项不符合题意；
故选：．
8.
【解析】，
错误；
，
错误；
，，
，
正确；
，
若，
则或，
错误；
正确结论的序号是；
故选：．
9.
【解析】各数的绝对值分别为，，，，
则绝对值最小的数是，
即最接近标准长度的是三号．
故答案为：．
10.点在直线外
【解析】由图知，点在直线外，
故答案为：点在直线外．
11.答案不唯一
【解析】根据题意可得，这个单项式可以为：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
12.
【解析】将代入方程，得，
解得．
故答案为：．
13.
【解析】，，
，
又，
，
故答案为．
14.
【解析】由所给图形可知，
第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：；
第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：；
第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：；
所以第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为个．
故答案为：．
15.
【解析】设调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，
由题意得：，
故答案为：．
16.


【解析】，且个数分成一个大圆，一个小圆，
每个圆中的个数之和为，
，
，
故答案为：，
图中的填写的数字，从上往下依次为，，答案不唯一．
故答案为：，，答案不唯一．
17.
．
．
．
．

18.解：
，
当，时，
原式．

19.解：图形如图所示；
解：由题意，
点是的中点，
．
故答案为：．
20.解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．

21.解：帆布袋的单价为元．
设冰箱贴的单价为元，根据题意得：
，
解得：；
设徽章的单价为元，根据题意得：
，
解得：．
答：帆布袋的单价为元，冰箱贴的单价为元，徽章的单价为元；
解：设丁售出个冰箱贴，则有个徽章，根据题意得：
，
解得：．
所以，
答：丁售出个冰箱贴，个徽章．
22.解：图中：的长为，
赛道的内圈长为：，
故答案为：，；
解：小明设计的赛道图形如下图所示：
需要调整小明之前制定的比赛方案；
理由：赛到长为：，
由题意得：，
，
不在范围内，
需要调整小明之前制定的比赛方案．
23.解：当时，运动到表示的点，运动到的点，
；
当时，表示的数为，表示的数为，
点与点重合时，，
解得；
故答案为：，；
解：点在点左侧，表示的数为，表示的数为，
，
，
解得，
此时，
点表示的数是；
故答案为：，；
解：当时，表示的数为，表示的数为，
，
，
，
解得；
当时，表示的数为，表示的数为，
，，
，
，
解得或舍去，
综上所述，的值为或．
24.解：射线平分，射线平分，．
，，
，
，
；
解：由可设：，，
与互余，
，
，
，
，
，
由得：；
；
解：如图，由可设：，，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
当旋转到另外符合条件的位置时，如图，
同理可得：的可能值为或或．
综上：的可能值为或或．

25.解：，
故答案为：；
解：是正确结论，理由见下：
，
能被整除，
如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除．
26.解：由“平衡点”的定义可得：，
，
故答案为：；
解：点，分别表示数，，且点，互为关于点的“平衡点”，则，设点表示的数为，点表示的数为，则，，
点关于点的“平衡点”为点，则表示的数为：，
点关于点的“平衡点”为点，表示的数为：，
点关于点的“平衡点”为点，表示的数为：，
点关于点的“平衡点”为点，表示的数为：，
按此方式继续操作，当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：，
设点表示的数为，则，
将点沿数轴负方向移动个单位长度得到点，表示的数为：，
点关于点的“平衡点”为点，表示的数为：，
将点沿数轴负方向移动个单位长度得到点，表示的数为：，
点关于点的“平衡点”为点，表示的数为：，
是，，，四个数循环出现，即，，，四个数循环；
由规律可得表示的数为，表示的数为，
；
存在正整数，对于任意的正数，都有线段的长为，
线段的长与无关，
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得的解不是整数，舍去或不是整数舍去；
当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得或不是整数舍去；
综上所述，存在正整数，对于任意的正数，都有线段的长为．

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