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集合与常用逻辑用语
一、集合
集合的含义及表示
例1　(1)(2023·秦皇岛模拟)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，则下列结论中元素与集合的关系正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B
(3)(2024·广东实验中学月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A. B. C．0 D．0或
集合间的基本关系
例2　(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2]
(2)已知集合A＝{x|y＝＋2}，B＝，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A B
C．B A D．AB
(3)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
①若B A，则实数a的取值范围为________；
②若A B，则实数a的取值范围为________．
集合的基本运算
例3　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
例4　(1)(2024·无锡模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
C．(0，3] D．(0，3)
(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a例5　(2023·青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．
充分条件与必要条件
充分、必要条件的判断
例1　(1)(2024·济南模拟)“x>y”的一个充分条件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2 C.>1 D．xt2>yt2
(2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
(3)(2023·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
根据充分、必要条件求参数的范围
例2　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
全称量词与存在量词
全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例1　(1)(2023·沈阳东北育才学校模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若 RQ? RP，则下列结论正确的是(　　)
A． x∈Q，x∈P B． x∈ RP，x∈ RQ
C． x Q，x∈P D． x∈ RP，x∈ RQ
(2)(多选)(2024·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，＜ B． x∈(0，1)，logx＞logx
C． x∈(0，＋∞)，＞logx D． x∈，＜logx
含有一个量词的命题的否定
例2　(1)(2023·潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马定理的否定为(　　)
A．对任意正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解
B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
(2)(2023·德州调研)命题“ x∈R，1A． x∈R，1C． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
由命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)(2023·南通模拟)若“ x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
(2)(2024·运城期末)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，若 x1∈[－1，2]， x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是________．集合与常用逻辑用语
一、集合
集合的含义及表示
例1　(1)(2023·秦皇岛模拟)已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}中所含元素的个数为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　C
解析　因为A＝{1，2，3}，根据x∈A，y∈A，|x－y|∈A可知，B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含有6个元素．故选C.
(2)已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)，则下列结论中元素与集合的关系正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B
答案　C
解析　由x2≥0，得x2＋1≥1，所以A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，所以2∈A，(1，2) A，(3，10) A；B＝{(x，y)|y＝x2＋1}中的元素是函数y＝x2＋1图象上的点构成的集合，所以2 B，因为y＝12＋1＝2，y＝32＋1＝10，所以(1，2)∈B，(3，10)∈B.
(3)(2024·广东实验中学月考)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A. B. C．0 D．0或
答案　D
解析　集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝，集合A中只有一个元素为；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝.故选D.
集合间的基本关系
例2　(1)(2023·茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2]
答案　A
解析　由已知得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝，若A B，则＞1，所以a＞2.
(2)已知集合A＝{x|y＝＋2}，B＝，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A B
C．B A D．AB
答案　C
解析　因为A＝{x|y＝＋2}＝{x|x≥1}，B＝＝{x|x≥2}，所以B A.
(3)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
①若B A，则实数a的取值范围为________；
②若A B，则实数a的取值范围为________．
答案　①{a|a≤－1或a＝1}　②{1}
解析　由题意，得A＝{－4，0}．①∵B A，∴B＝ 或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．当B＝ 时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1；当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件；当B＝{－4，0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则解得a＝1.综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a＝1}．②∵A B，∴B＝{－4，0}．由①知a＝1.
集合的基本运算
例3　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
答案　C
解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
答案　A
解析　由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确； UM＝{x|x≥1}，则N∪ UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1例4　(1)(2024·无锡模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
C．(0，3] D．(0，3)
答案　C
解析　由集合A＝{x∈Z|－1(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a答案　
解析　A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝，①若B＝ ，则2a≥a＋3，解得a≥3，符合题意；②若B≠ ，则或解得a≤－或≤a<3，所以实数a的取值范围是.
例5　(2023·青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．
答案　0或1或4
解析　因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝ ，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0，则B＝＝.若A与B构成“全食”或“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.
充分条件与必要条件
充分、必要条件的判断
例1　(1)(2024·济南模拟)“x>y”的一个充分条件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2 C.>1 D．xt2>yt2
答案　D
解析　因为由xt2>yt2，可得x>y，所以“xt2>yt2”是“x>y”的充分条件，所以D符合题意．由2 x－y >＝2－1，得x－y>－1，当x＝1，y＝时成立，所以由2 x－y >不能推出x>y；由x2>y2，可得|x|>|y|，不一定能推出x>y，例如当x＝－3，y＝2时，x2>y2成立，但x>y不成立；若>1，当y<0时，可得x(2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
答案　B
解析　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.
(3)(2023·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由已知条件可知甲乙 丙丁，所以甲 丁，丁甲，即甲是丁的充分不必要条件．故选A.
根据充分、必要条件求参数的范围
例2　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为________．
答案　(1)[0，3]　(2)[9，＋∞)
解析　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．
(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则S P，∴解得0≤m≤3，故m的取值范围为[0，3]．
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P?S，∴或∴m≥9，则m的取值范围为[9，＋∞)．
全称量词与存在量词
全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例1　(1)(2023·沈阳东北育才学校模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若 RQ? RP，则下列结论正确的是(　　)
A． x∈Q，x∈P B． x∈ RP，x∈ RQ
C． x Q，x∈P D． x∈ RP，x∈ RQ
答案　B
解析　因为 RQ? RP，所以P?Q，如图，对于A，由题意知P是Q的真子集，故 x∈Q，x P，故A不正确；对于B，由 RQ是 RP的真子集且 RQ， RP都不是空集知， x∈ RP，x∈ RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知， x Q，x P，故C不正确；对于D， RQ是 RP的真子集，故 x∈ RP，x RQ，故D不正确．故选B.
(2)(多选)(2024·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题的是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，＜ B． x∈(0，1)，logx＞logx
C． x∈(0，＋∞)，＞logx D． x∈，＜logx
答案　BD
解析　当x＞0时，y＝的图象永远在y＝的图象上方，因此A是假命题；当0＜x＜1时，y＝logx的图象永远在y＝logx的图象上方，因此B是真命题；当x＝时， ＜1＝log，因此C是假命题；当0＜x＜时，logx＞1＞，因此D是真命题．故选BD.
含有一个量词的命题的否定
例2　(1)(2023·潍坊二模)十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马定理的否定为(　　)
A．对任意正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解
B．对任意正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
答案　D
解析　命题为全称量词命题，则命题的否定为“存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解”．故选D.
(2)(2023·德州调研)命题“ x∈R，1A． x∈R，1C． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D． x∈R，f(x)≤1或f(x)>2
答案　D
解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定为“ x∈R，f(x)≤1或f(x)>2”．故选D.
由命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)(2023·南通模拟)若“ x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
答案　A
解析　依题意知，命题“ x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则“ x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．故选A.
(2)(2024·运城期末)函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，若 x1∈[－1，2]， x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是________．
答案　
解析　由题意可知，只需g(x)的值域为f(x)值域的子集．因为f(x)＝x2－2x，x∈[－1，2]的值域为[－1，3]，g(x)＝ax＋2(a>0)，x∈[－1，2]的值域为[2－a，2＋2a]，所以解得0

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