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2025届高三二轮复习 数学中的创新题型训练
一、 新定义题型
1．[2024·湖南邵阳模拟]我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：1,3,7,13,21,31, ，后项与前项的差值为2,4,6,8,10, ，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1,3,7,13,21,31， 为“二阶等差数列”.
（1） 若数列的通项公式为，试判断数列是不是“二阶等差数列”，并说明理由；
（2） 若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”的首项为1，公差为3，求的通项公式；
（3） 若“三阶等差数列”的前4项依次为1,4,10,20，其前项和为，求.
2．[2024·辽宁葫芦岛一模]大数据环境下数据量巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据中所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，若运用合适的算法则会事半功倍.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作，删去一个无穷非减正整数数列中除以的余数为的项，并将剩下的项按原来的位置排好，形成一个新的无穷非减正整数数列.已知数列的通项公式为，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设的前项和为.
（1） 求；
（2） 是否存在不同的实数,,，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3） 设，，对数列进行操作后得到，将数列中下标除以4的余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大的顺序排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇数的平方都是中某相邻两项的和.
3．[2024·广西南宁一模]若无穷数列满足,，则称数列为 数列，若 数列满足，则称数列为 数列.
（1） 若数列为 数列，,，证明：当时，数列为递增数列的充要条件是；
（2） 若数列为 数列，，记，且对任意的，都有，求数列的通项公式.
4．[2024·福建泉州模拟]已知表示正整数，的最大公约数，若,, ,,2, ,，且,, ,，，则将的最大值记为，例如：，.
（1） 求，，；
（2） 已知时，.
（ⅰ） 求；
（ⅱ） 设，数列的前项和为，证明：.
5．[2024·安徽三模]定义1：若数列满足，,，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足，，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1） 若，求的前项和；
（2） 设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
（3） 求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
6．[2024·重庆一中模拟]对于数列，定义，满足,，记，称是由数列生成的“函数”.
（1） 试写出“函数”的解析式，并求的值；
（2） 若，求的最大值；
（3） 记函数，其导函数为，证明：.
二、 交汇创新题型
1．[2024·河北沧州模拟]某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，已知当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36，60和24.
（1） 若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率；
（2） 记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为，否则该组标为，记询问的某组被标为的概率为.
（i） 试用含的代数式表示；
（ii） 若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.
2．[2024·安徽阜阳模拟]篮球运动深受青少年的喜爱，为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100人进行调查，得到列联表如下：
单位：人
性别 是否喜爱篮球运动 合计
喜爱 不喜爱
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
（1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2） 某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i） 证明：数列是等比数列；
（ii） 判断甲第24次与第25次触球的概率的大小.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3．[2024·河北沧州三模]已知数列满足，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，数列的前项和为，求证：.
4．[2024·浙江温州模拟]已知椭圆，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
（1） 若椭圆的离心率为，求的值；
（2） 若，求的取值范围；
（3） 若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中,,），使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明，若不存在，说明理由.
5．[2024·山东济南二模]在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在第1秒末，粒子会等可能地出现在,,,四点处.
（1） 设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2） 记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i） 已知，求,以及；
（ii） 令，记为数列的前项和，若对任意的正实数，都存在，使得，则称粒子是常返的，已知，证明：该粒子是常返的.
6．[2024·安徽合肥模拟]在数学中，把只能被自己和1整除的大于1的自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中的分布规律的公式有“费马数”，还有“欧拉质数多项式”，其具体形式通常为二次多项式，例如：.现有一项利用素数的数据加密技术数据加密技术，其流程如下：将一个最简分数的分子、分母分别乘同一个素数，比如分数的分子、分母分别乘同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
（1） 数列中,,经数据加密技术加密后依次变为,,，求,,的值；
（2） 依据（1）中,,的数值写出数列的通项公式，并求数列的前项和；
（3） 为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数, , 是方程的两个根，且 ,是的导函数，设,，证明：对任意的正整数，都有 .2025届高三二轮复习 数学中的创新题型训练
一、 新定义题型
1．[2024·湖南邵阳模拟]我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”.定义：若数列是“阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”.例如：1,3,7,13,21,31, ，后项与前项的差值为2,4,6,8,10, ，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1,3,7,13,21,31， 为“二阶等差数列”.
（1） 若数列的通项公式为，试判断数列是不是“二阶等差数列”，并说明理由；
（2） 若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”的首项为1，公差为3，求的通项公式；
（3） 若“三阶等差数列”的前4项依次为1,4,10,20，其前项和为，求.
【解析】
（1） ,，是公差为2的等差数列，则数列是“二阶等差数列”.
（2） 由题意得，是对应的“一阶等差数列”，的首项为1，公差为3.，,，又满足上式，.
（3） 是“三阶等差数列”，是“二阶等差数列”，设,则是“一阶等差数列”.由题意得,,， 等差数列的首项为,公差为，，,，又满足上式，,，，,，又满足上式，,， .
2．[2024·辽宁葫芦岛一模]大数据环境下数据量巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据中所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，若运用合适的算法则会事半功倍.现有一个“数据漏斗”软件，其功能为：通过操作，删去一个无穷非减正整数数列中除以的余数为的项，并将剩下的项按原来的位置排好，形成一个新的无穷非减正整数数列.已知数列的通项公式为，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设的前项和为.
（1） 求；
（2） 是否存在不同的实数,,，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3） 设，，对数列进行操作后得到，将数列中下标除以4的余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大的顺序排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇数的平方都是中某相邻两项的和.
【解析】
（1） 当时，，当时，，，，，则，.
（2） 假设存在，由（1）知单调递增，不妨设，则，，，，，，，，，，与“，且，”矛盾，故不存在.
（3） 证明：由（1）知，，则，，，， 进行操作后保留，，则，，，,,,，，将，删去，得到，则，，，，，，.记，下面证明：，.当时,,,，;当时,,,，;当时,,,，;当时，，，，.综上，对任意的，都有，原命题得证.
3．[2024·广西南宁一模]若无穷数列满足,，则称数列为 数列，若 数列满足，则称数列为 数列.
（1） 若数列为 数列，,，证明：当时，数列为递增数列的充要条件是；
（2） 若数列为 数列，，记，且对任意的，都有，求数列的通项公式.
【解析】
（1） 先证必要性：依题意得，，又数列是递增数列，所以，故数列是首项为0，公差为1的等差数列，故.再证充分性：由，得，故，当且仅当时取等号.又，所以，故数列是递增数列.原命题得证.
（2） 由，知数列是递增数列，因为，所以数列的偶数项构成递增数列，因为数列为 数列,,所以,,.由,得,又,所以.由，得或,又，所以或.当时，由，得或,当时，由，得或，又，且，所以,.故当时，.下面证明数列中相邻两项不可能同时为非负数.假设数列中存在,同时为非负数，由题意知，若，则有，与条件矛盾；若，则有，与条件矛盾，即假设不成立，即对任意的正整数,,中至少有一个小于0.又当时，，故当时，，，即,，故,，故，即,，即,.又,，也满足上式，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以.
4．[2024·福建泉州模拟]已知表示正整数，的最大公约数，若,, ,,2, ,，且,, ,，，则将的最大值记为，例如：，.
（1） 求，，；
（2） 已知时，.
（ⅰ） 求；
（ⅱ） 设，数列的前项和为，证明：.
【解析】
（1） 依题可得，表示所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数.因为与2互质的数为1，所以；因为与3互质的数为1，2，所以；因为与6互质的数为1，5，所以.
（2） （ⅰ） 因为中与互质的正整数只有奇数，所以中与互质的正整数的个数为，所以，又因为中与互质的正整数只有与，所以中与互质的正整数的个数为，所以，所以.
（ⅱ） 证法一：由知，所以，所以，令，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以数列的前项和为，所以，又因为，所以.证法二：由知，所以，所以 ，所以，所以，所以，因为，所以.
5．[2024·安徽三模]定义1：若数列满足，,，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足，，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
（1） 若，求的前项和；
（2） 设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
（3） 求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
【解析】
（1） 依题意得故因为，所以，当为奇数时，，当为偶数时，，即的奇数项、偶数项分别成公比为2的等比数列，则可得到所以当为偶数时，.当为奇数时，.综上所述，
（2） 先判断充分性：因为，所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，故充分性成立.再判断必要性：假设为等比数列，且不为常数列，则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，则，所以，则等比数列的公比为.又，所以等比数列的公比为，与式矛盾，所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，故必要性成立.综上可知，是的充要条件.
（3） 当,时，；当,时，；当,时，；当,时，.综上所述，将，分别代入上述四种情况中，可得或或.由题意可知，所以，所以，故的最大值为，此时的通项公式可以是
6．[2024·重庆一中模拟]对于数列，定义，满足,，记，称是由数列生成的“函数”.
（1） 试写出“函数”的解析式，并求的值；
（2） 若，求的最大值；
（3） 记函数，其导函数为，证明：.
【解析】
6．由定义及，得，则是公差为的等差数列，所以.因为，所以，所以，即.当时，有，，……，所以，即.
（1） 当时，，所以“函数”..
（2） 当时，，故“函数” .由，得.令，则，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以当时，，故的最大值为5.
（3） 证明： .由，得，所以，所以,，所以.
二、 交汇创新题型
1．[2024·河北沧州模拟]某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，已知当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36，60和24.
（1） 若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率；
（2） 记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为，否则该组标为，记询问的某组被标为的概率为.
（i） 试用含的代数式表示；
（ii） 若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.
【解析】
（1） 因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
（2） （i） 从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为的概率.
（ii） 由题意得，5组中恰有3组被标为的概率，，所以，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值，为.由，且，得.故5组中恰有3组被标为的概率的最大值为，此时.
2．[2024·安徽阜阳模拟]篮球运动深受青少年的喜爱，为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100人进行调查，得到列联表如下：
单位：人
性别 是否喜爱篮球运动 合计
喜爱 不喜爱
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
（1） 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2） 某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i） 证明：数列是等比数列；
（ii） 判断甲第24次与第25次触球的概率的大小.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】
（1） 零假设为喜爱篮球运动与性别无关.根据列联表数据，得，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.
（2） （i） 证明：由题意得，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii） 由得，所以，.故甲第25次触球的概率大.
3．[2024·河北沧州三模]已知数列满足，，.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 设，数列的前项和为，求证：.
【解析】
（1） ，，，，，当，时，由，得，又，，即.当，时，由，得，又，，即.综上所述，数列的通项公式为.
（2） 证明：由（1）知，，，，又，.
4．[2024·浙江温州模拟]已知椭圆，设过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
（1） 若椭圆的离心率为，求的值；
（2） 若，求的取值范围；
（3） 若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中,,），使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明，若不存在，说明理由.
【解析】
（1） 由题意知，，故，又离心率，故，于是.
（2） 设点，代入椭圆的方程可得，则 ，由，得，，，，，，，只需，又，故，的取值范围是.
（3） ，，或，，成等差数列，证明如下：若，则椭圆，设点，.①若直线的斜率为0，则点，不妨令点，，则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列.②若直线的斜率不为0，设直线，，，则点，由得，，故，，因为，，，所以 ，所以，，或，，成等差数列.综上所述，，，或，，成等差数列.
5．[2024·山东济南二模]在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在第1秒末，粒子会等可能地出现在,,,四点处.
（1） 设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2） 记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i） 已知，求,以及；
（ii） 令，记为数列的前项和，若对任意的正实数，都存在，使得，则称粒子是常返的，已知，证明：该粒子是常返的.
【解析】
（1） 粒子在第2秒末可能移动到点,,,,，,,，的位置，则的可能取值为,0,2，，，，所以的分布列为
X 0 2
P
.
（2） （i） 易知第奇数秒末粒子不可能回到原点，故.若第4秒末粒子回到原点，则分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右”“上上下下”，共有种情形.于是.若第秒末粒子回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，故 .
（ii） 证明：利用可知，则，令,，则，故在上单调递增，则，即，从而有，记为不超过的最大整数，则对任意的正实数，当时，，于是.故当时，成立，因此该粒子是常返的.
6．[2024·安徽合肥模拟]在数学中，把只能被自己和1整除的大于1的自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中的分布规律的公式有“费马数”，还有“欧拉质数多项式”，其具体形式通常为二次多项式，例如：.现有一项利用素数的数据加密技术数据加密技术，其流程如下：将一个最简分数的分子、分母分别乘同一个素数，比如分数的分子、分母分别乘同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
（1） 数列中,,经数据加密技术加密后依次变为,,，求,,的值；
（2） 依据（1）中,,的数值写出数列的通项公式，并求数列的前项和；
（3） 为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数, , 是方程的两个根，且 ,是的导函数，设,，证明：对任意的正整数，都有 .
【解析】
（1） 根据“费马数”，得,,，,，，,，，,，.
（2） 由（1）的数据可得数列的通项公式为，经检验，，，的数值均符合该公式.，
（3） 证明：由题意得，,，,， （基本不等式取等条件不成立）， ,又，故对任意的正整数都有 .

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