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20.2 数据的波动程度
一、单选题：
1．在一次数学测试中，王蕊的成绩是78分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．一组数据2，2，2，3，4，8，12，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
3．2024年的绵阳体育中考的总分为80分，也是我市首次采用必考项目智能化测试设备．在此次体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图所示，则对这组数据的说法中错误的是（ ）
A．方差为1 B．中位数为78
C．众数为78 D．极差为2
4．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表:
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强已经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A． B． C．1 D．
5．甲组数据，，…，的方差是3，那么乙组数据，，…，的方差是（ ）
A．3 B．9 C．27 D．无法确定
6．已知一组数据的方差计算公式为：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是3 B．众数是3 C．平均数是3.5 D．方差是0.5
7．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们亩产量的平均数分别是千克，千克，方差分别是，．则关于这两种小麦推广种植的合理决策是（ ）
A．乙的平均亩产量较高，应推广乙
B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C．甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲
D．乙的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广乙
二、填空题：
8．若一数组，，，……，的平均数为5，方差为8，则另一数组，，，……，的平均数和方差分别是 ___________和 ___________．
9．山西省是全国马铃薯主产区之一，在“十四五”期间，我省围绕“品种提高单产，品质提升效益”的思路，实施具有山西特色的“优薯计划”．因为鲜食马铃薯适宜储藏温度为了心－5℃，所以整个储藏期间冷库的温度要求稳定，波动不超过＋1℃．如图是根据甲、乙两个马铃薯储藏冷库5次温度检测制作的折线统计图，你认为_______马铃薯储藏冷库的温度更稳定．（填”甲”或“乙”）
10．下表是甲，乙两名同学近五次测试成绩统计表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 98 93 96 91 97
乙 96 97 93 95 94
根据上表数据可知，成绩最稳定的同学是____．
11．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛．在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数/环 9.5 9.5 9.5 9.5
方差/环2 5.1 4.7 4.5 5.1
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是________．
12．为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛,在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验,成绩如下:(单位:分)
回答下列问题:
(1)甲同学成绩的众数是____分,乙同学成绩的中位数是____分;
(2)若甲同学成绩的平均数为,乙同学成绩的平均数为,则与的大小关系是____;
(3)经计算知:=13.2,=26.36,____,这表明____.(用简明的文字语言表述)
13．一组有n个数据的样本的平均数为x，它的方差为，则＝_____．
三、解答题：
14．张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如下图所示：
利用图中提供的信息，解答下列问题：
(1)完成下表：
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
张明 80 80
王成 85 90
(2)如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，那么优秀率高的同学是　　　　　．
(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．
15．甲、乙两名队员参加射击选拔赛，射击成绩见下列统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
队员 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 方差（）
甲 7.9 4.09
乙 7 7 d
(1)直接写出表格中，，的值；
(2)求出d的值；
(3)若从甲、乙两名队员中选派其中一名队员参赛，你认为应选哪名队员？请结合表中的四个统计量，作出简要分析．
16．某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：
(1)请根据以上信息，完成下列问题：
①七年级身高在的学生有__________人；
②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由；
(2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由．
(3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示：
年级 七 八 九
那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么．
17．2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识，某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：
；；；
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91.4 93 b 45.04
八年级 92 c 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中_____年级成绩更稳定；
(2)直接写出上述的值：_____，_____，______；
(3)该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
18．近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入 千元 千元 千元 千元
人数个
根据以上信息，整理分析数据如表：
平均月收入千元 中位数 众数 方差
“滴滴”
“美团”
(1)填表：在表格的空白处填入相应的数据；
(2)杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？
19．甲、乙两名队员练习射击，每次射击的环数为整数，两人各射击10次，其成绩分别绘制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的折线统计图，两幅图均有部分被污染．
将两名队员10次的成绩整理后，得到下表：
姓名 平均数 中位数 众数 方差
甲 a 7 b 1.8
乙 7 c 8 4.2
请根据图表信息回答：
(1)你认为__________队员的发挥更稳定，理由是____________________．
(2)__________，__________，__________；
(3)乙队员补射一次后，成绩为m环，发现他11次射箭成绩的中位数比c小0.5，则m的最大值为__________．
答案
一、单选题：
1．B
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可．
【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是78分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数，
故选：B．
2．A
【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到结论．
【详解】解：A、原来数据的众数是2，加入一个整数后众数仍为2，符合题意，选项正确；
B、原来数据的平均数是，加入一个整数后，平均数一定变化，不符合题意，选项错误；
C、原来数据的中位数是3，加入一个整数后，如果，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；
D、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误，
故选A．
3．D
【分析】分别求出这组数据的方差、中位数、众数、极差，即可得出答案．
【详解】解：A、这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为：，正确，
故此选项不符合题意；
B、这组数据按从小到大排列，第3个数与第4个数都是78，
所以这组数据的中位数是78，正确，
故此选项不符合题意；
C、这组数据中78有3次，出现次数最多，所以这组数据的众数是78，正确，
故此选项不符合题意；
D、这组数据的极差为，所以极差是2错误，
故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【详解】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和=12×7=84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和=84-（11+12+13+12）=36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2=[（11-12）2+（12-12）2+（10-12）2+（13-12）2+（13-12）2+（13-12）2+（12-12）2]
= ，
故选：A．
5．C
【分析】根据方差的定义即可进行解答．
【详解】解：设甲组数据的平均数为，
∴，
∵，
∴乙组数据的平均数，
，
∴
，
故选：C．
6．C
【分析】根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据中位数，众数，平均数以及方差的概念求解即可．
【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为，故选项A不符题意．
众数为3，故选B不符合题意．
平均数为，故选项C符合题意．
方差为，故选项D不符题意，
故选C．
7．C
【分析】本题需先根据甲、乙亩产量的平均数得出甲、乙的平均亩产量相差不多，再根据甲、乙的平均亩产量的方差即可得出甲的亩产量比较稳定，从而求出正确答案．
【详解】解：∵=621千克，=622千克，
∴甲、乙的平均亩产量相差不多，
∵亩产量的方差分别是S甲2=2.6，S乙2=28.7．
∴甲的亩产量比较稳定．
综合以上两点知甲、乙的平均亩产量相差不多，但甲的亩产量比较稳定，应推广甲，
故选：C．
二、填空题：
8．
【分析】据平均数的变化规律可得出数据，，，……，的平均数是；先根据数据，，，……，的方差为8，求出数据，，，……，的方差，即可得出数据，，，……，的方差；
【详解】解：∵数据，，，……，的平均数为5，
∴数据，，，……，的平均数是；
∵数据，，，……，的方差为8，
∴数据，，，……，的方差，
∴数据，，，……，的方差是；
故答案为：，．
9．甲
【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．
【详解】解：甲的平均温度为，乙的平均温度为，
∴甲的方差为s甲2=0.8，
乙的方差为s乙2=1.8，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲的温度较稳定．
故答案为：甲．
10．乙
【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
【详解】解：甲同学的平均数是：(98+93+96+91+97)=95（分），
甲同学的方差是：[(98-95)2+(93-95)2+(96-95)2+(91-95)2+(97-95)2]=6.8，
乙同学的平均数是：(96+97+93+95+94)=95（分），
乙同学的方差是：[(96-95)2+(97-95)2+(93-95)2+(95-95)2+(94-95)2]=2，
∵6.8＞2，
∴方差小的为乙，
∴成绩比较稳定的同学是乙．
故答案为：乙．
11．丙
【详解】分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
详解：∵=5.1, =4.7, =4.5,=5.1，
∴=>>，
∴最合适的人选是丙.
故答案为丙.
12． 86， 83； >； <， 甲同学的成绩比乙的稳定．
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差、优秀率的概念计算．
【详解】（1）甲学生成绩中86分出现次数最多，所以众数为86分；
乙学生成绩从低到高排列为：74、79、79、80、82、84、85、89、89、91，则中位数为83；
（2）甲学生成绩的平均数84，乙学生成绩的平均数83.2，则甲乙；
（3）∵甲学生的方差更小，∴甲学生的成绩更稳定，所以答案为 <，甲同学的成绩比乙的稳定．．
13．0
【分析】根据方差的定义解答即可．
【详解】解：∵
∴这组数据分别为1、2、3、4、5，共5个，即n=5
∴x=（1+2+3+4+5）÷5=3
∴
∴．
故答案为0．
三、解答题：
14．（1）张明的平均成绩，
张明的成绩的方差，
王成的平均成绩，
王成的成绩的方差填表如下：
姓名 平均成绩 中位数 众数 方差
张明 80 80 80 60
王成 80 85 90 260
（2）如果将90分以上（含90分)的成绩视为优秀，
则张明的优秀率为：，
王成的优秀率为：，
∴优秀率较高的同学是王成，
故答案为：王成；
（3）王成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还需要加一把劲，提高优秀率．（建议合理即可，答案不唯一）
15．（1）解：根据射击成绩统计图所列数据可得：
平均数，
将甲的成绩按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，
∴中位数，
∵甲的成绩中出现次数最多的是，共三次
∴．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：因为，说明甲射击的平均水平高于乙；而，说明乙比甲的成绩稳定；但是，乙是在相对较低的水平上稳定．而且，甲的中位数和众数均大于乙，也说明甲的射击成绩更好．综合上述因素，甲参赛获得好成绩的可能性更大，若选派一名队员参加比赛，应该选择甲参赛．
16．（1）①总数，
则的频数．
故答案为：18
②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内；
故答案为：；
（2）；
故估计该校七年级身高偏矮的共有人．
（3）八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小．
17．（1）解：七年级成绩的方差为45.04，八年级成绩的方差为50.4，
八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差，
七年级成绩更平衡，更稳定，
故答案为：七；
（2）解：八年级学生成绩落在组人数所占百分比为，
，即；
七年级成绩出现最多的是96，
其众数，
八年级组人数共有（人），
八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
八年级成绩的中位数，
故答案为：40，96，93；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀的八年级学生人数是700人．
18．（1）解：“美团”的平均月收入为，众数为，
“滴滴”网约车司机收入的中位数为，
在表格的空白处填入相应的数据：
平均月收入千元 中位数 众数 方差
“滴滴”
“美团”
（2）解：选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定．
19.（1）解：∵，
∴甲队员的发挥更稳定，理由是方差越小稳定性越好，而甲的方差小于乙的方差，所以甲队员的发挥更稳定．
（2）解：由条形统计图可得成绩为7环的次数为（次），
∴平均数；且众数；
由折线统计图可得剩余两次的成绩和为，
∵众数为8，
∴剩余两次的成绩为7和8，
将乙的10次成绩从大到小依次排序为，
∴中位数，
∴．
（3）解：由题意知，乙队员11次射箭成绩的中位数为，
即乙的11次成绩从大到小依次排序中第6次成绩为7，
∴，
∴m的最大值为7．

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