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第十章 三角形的有关证明
2 等腰三角形
第4课时 判定三角形的形状、反证法
知识梳理
反证法
(1)定义
先假设命题的________________，然后推导出与________________________相矛盾的结果，从而证明_____________________________________________.这种证明方法称为___________.
(2)证明步骤
①反设：假设结论的反面成立.
②归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾.
③结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
当堂达标
1.若△ABC 三个内角的关系为 则三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.用反证法证明“在四边形中至少有一个内角大于或等于 90°”时，应先假设( )
A.有一个内角小于 90° B.每一个内角都大于 90°
C.有一个内角小于或等于90° D.每一个内角都小于
3.用反证法证明“在△ABC 中，如果 那么 ”时，应假设( )
A. AB=AC
4.如图，已知 的面积为 18,BP 平分且 于点 P，则 的面积是____________.
5.如图,点 P,M,N 分别在等边△ABC 的各边上,且MP⊥AB 于点 P,MN⊥BC 于点 M,PN⊥AC 于点 N.
(1)求证:△PMN 是等边三角形.
(2)若AB=12cm,求CM 的长.
6.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为点 D,过点 D 作 DE∥AC,交AB 于点E.
(1)求证:△AED 是等腰三角形.
(2)求证:△BED 是等腰三角形.
参考答案
知识梳理
(1)结论不成立 定义、基本事实、已有定理或已知条件 命题的结论一定成立 反证法
当堂达标
1. A 2. D 3. A 4.9
5.(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =∠B=∠C.
∵MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC,∴∠MPB=∠NMC = ∠PNA = 90°.
∴∠PMB = ∠MNC =∠APN.∴∠NPM=∠PMN=∠MNP,∴△PMN是等边三角形.
(2)解：根据题意易证△PBM≌△MCN≌△NAP,
∴PA=BM=CN,PB=MC=AN,∴BM+PB=AB=12cm.
∵△ABC 是等边三角形.∴∠B=60°.∴∠BMP=30°,∴2PB=BM.
∴2PB+PB=12cm,∴PB=4cm,∴CM=4cm.
6.证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAC.
∵DE∥AC,∴∠DAC=∠ADE,∴∠ADE=∠EAD,∴ED=AE.∴△AED 是等腰三角形.
(2)由(1)知∠EAD=∠EDA.∵BD⊥AD.∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA,∴∠EBD=∠BDE,∴BE=DE.∴△BED是等腰三角形.
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