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第十章 三角形的有关证明
5 角平分线
第2课时角平分线的性质与判定的综合应用
知识梳理
三角形的三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离__________.
当堂达标
1.如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A.△ABC 三条中线的交点 B.△ABC 三条角平分线的交点
C.△ABC 三条高所在直线的交点 D.△ABC 三边的垂直平分线的交点
第1题图 第2题图
2.如图是一个风筝骨架，为使风筝平衡，须使我们已知 OB,那么 PC 和PD 应满足___________,才能保证OP 为 的平分线.
3.如图所示，BD 平分 点 P在BD 上, 点 M,N 为垂足.求证：
4.如图，已知 AE,BE 分别平分和 点 E 在线段CD 上.
(1)求 的度数.
(2)求证:
5.如图, ∥DB 平分 CE 平分交AB 于点 E,交 BD 于点O.求证:点O到EB 与ED的距离相等.
参考答案
知识梳理
相等
当堂达标
1. B 2. PC＝PD
3.证明:在△ABD 和△CBD 中, ∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB ＝∠CDB.又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
4.(1)解:∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°.
∵AE平分
同理可得∠EBA= ∠ABD,∴∠EAB+∠EBA=90°.∴∠AEB=90°.
(2)证明:如图,在 AB 上截取 AF=AC,连接EF.
在△ACE 和△AFE 中. ，△AFE(SAS),
∴ CE = FE,∠CEA = ∠FEA.
∵∠CEA+∠DEB=90°,∠FEA +∠FEB =90°.∴∠DEB - ∠FEB.
在 △DEB 和 △FEB 中,，∴△DEB≌△FEB（ASA）.
∴ED=EF,∴ED=CE.
5.证明:∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°.
∵DB平分∠ADC. CE平分∠BCD.∴∠ODC|∠OCD=90°.∴∠DOC=90°.
又∵CE 平分∠BCD,∴∠DCO=∠BCO.
又∵OC-OC.∠DOC--∠BOC - 90°.∴△DOC≌△BOC(ASA).∴CD=CB.
∵∠DCE=∠BCE,EC=EC,∴△DCE≌△BCE(SAS),∴∠DEO-∠BEO.
∴EC 平分∠BED.∴点O到EB与ED 的距离相等.
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