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第十章 三角形的有关证明
阶段性测试题
(考查泡围：第十章3~5节 时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A 所代表的正方形的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
第1题图 第2题图
2.如图是作线段AB 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是( )
A. AC=BC B. AE=EB C.∠B=45° D. AB⊥CD
3.下列命题的逆命题为真命题的是( )
A.对顶角相等 B.如果x=1,那么|x|=1
C.直角都相等 D.同位角相等，两直线平行
4.如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是( )
A.∠A=∠D B. AB=CD C. AE=EF D.∠B=∠C
第4题图 第6题图
5.在△ABC 中, 若∠B=55°,则∠C=( )
A.20° B.35° C.65° D.75°
6.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为 则 之间的关系是( )
7.如图，黄河社区是由 AB，AC，BC三条路围成的小型社区，现在越来越多的人选择购买电动汽车.为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动汽车充电点.现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形ABC 三条( )的交点处.
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.边的垂直平分线
第7题图 第8题图
8.如图,△ABC中,AB>AC>BC,边AB 上存在一点P，使得PA+PC=AB.下列描述正确的是( )
A. P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点
B. P是以点B 为圆心，AC长为半径的弧与边AB 的交点
C. P 是AC的垂直平分线与AB 的交点
D. P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点
二、填空题(每小题4分，共28分)
9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD 平分∠CAB 交BC 于点D,则BD=_____________.
第9题图 第10题图
10.如图,△ABC 和△ECD 中,∠ACB=∠D=90°，AB=EC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：____________________，使得△ABC 和△ECD 全等.(写出一个即可)
11.将命题“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”改成“如果……那么……”的形式为_____________________________________________
____________________.
12.如图，直线 ∥的平分线与 的平分线交于点 P，与CD 交于点M,若 则 的面积为___________.
第12题图 第13题图
13.如图,在 中，AC的垂直平分线PD与BC 的垂直平分线PE 交于点 P，垂足分别为点 D,E,连接 PA,PB,PC.若 45°,则
14.如图,在△ABC中, 点D 是BC上的点.若BD=2,DC=3,则 的值为_____________.
第14题图 第15题图
15.如图,在△ABC 中, 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点M，N，再分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线AP 交BC 于点D.若CD=1,AB=4,则△ABD 的面积是_________.
三、解答题(共40分)
16.(8分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F,且DE=DF.求证:Rt△BDE≌Rt△CDF.
17.(10分)在 中，所对的边分别为.已知 试判断 的形状，并说明理由.
18.(10分)如图,在△ABC中,D为BC 的中点,DE⊥BC 交∠BAC 的平分线于点 E, AB,交AB 于点F,EG⊥AC,交AC 的延长线于点G.试问：BF 与CG 的大小如何 证明你的结论.
19.(12分)如图,在 中，BD 是边AC 的高,BE 是∠CBD 的平分线, 且AD=DE. AO 为△ABC 的中线,延长AO到点F,使得 BF∥AC,连接EF 交BC 于点G.
(1)求证:BF=CD+DE.
(2)若 求证:BD=BG.
参考答案
1. D 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. A 8. D
9. 10. BC=CD(答案不唯一)
11.如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
12.12 [解析] ∵EM平分∠AEF,∴∠AEM=∠FEM.
∵AB∥CD,∴∠AEM-∠FME,∴∠FEM-∠FME,∴FE=FM.
∵FP 平分∠EFM,∴FP⊥EM,PM=PE=3.
在Rt△PEF中, PF=的面积 ×6×4=12.
故答案为12.
13. 45 14. 16 15. 2
16.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在Rt△BDE 与Rt△CDF中,∵∠BDE=∠CDF.∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
17.解：△ABC是直角三角形，理由如下：
c ,∴△ABC 是直角三角形.
18.解:相等.证明如下:
连接EB,EC.
∵AE 是∠BAC 的平分线,且EF⊥AB于点F,EG⊥AC 于点G,∴EF=EG.
∵ED⊥BC于点D. D是BC 的中点.∴EB=EC.
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(IIL),∴BF=CG.
19.证明:(1)∵BF∥AC,∴∠BFO=∠CAO,∠FBO=∠ACO.
又∵AO 为△ABC 的中线,∴BO=CO.
在△BOF与△COA中, ，≌△COA(AAS),∴BF=CA=CD+AD.
∵AD=DE,∴BF=CD+DE.
(2)∵BD 垂直平分AE.∴BA =BE,∠BAC =∠BEA.
又∵BF∥AC,∴∠BEA=∠EBF=∠BAC.
在△BAC 与△EBF中，，∴△BEG≌△BED(AAS).∴BD=BG.
∴∠BFE=∠C=45°.∴∠BGE=∠C+∠FEC=90°=∠BDE.
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