资源简介

南安市 2024－2025 学年度上学期初中期末教学质量监测
初三年数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”
的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情
给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错
误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是 1分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B
6．C 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
3
11． 12．随机 13．2 10
2
14． 2 15．6 16．①③④
三、解答题（共 86 分）
17．（8 分）
3
解：原式＝ 2 3 2 3 ······························································· 6 分
2
3
＝ ················································································ 8 分
2
18．（8 分）
解： x2 2x 1 ················································································· 1分
x2 2x 1 2 ············································································· 2分
(x 1) 2 2 ··············································································· 4分
x 1 2 ··············································································· 6分
∴ x 1 2 或 x 1 2
解得 x1 2 1 , x2 2 1 ·························································· 8分
初三数学答案 第 1 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
19．（8 分）
解：由题可得：
........................................................ 5 分
共有 12 种等可能的结果 ······························································ 6 分
其中抽出的卡片中有“胜”的结果有 6 种 ········································ 7 分
6 1
∴P (抽出卡片中有“胜”) ． ··············································· 8 分
12 2
20．（8 分）
解：（1）如图所示，△ A1B1C1即为所求．
a 1 4 3
............................................................ 5 分
∴点 A 1, 3
（2）△ A1B1C1的面积为 12． ························································ 8 分
21．（8 分）
解：设每箱芦柑降低 x 元，则每箱芦柑的销售利润为 ( 50 x 40)元，平均每天可
售出 ( 20 5x )箱 ········································································· 1 分
根据题意得：
(50 x 40)(20 5x) 240 ···························································· 4 分
整理得： x2 6x 8 0
解得： x1 2， x2 4， ······························································· 6 分
初三数学答案 第 2 页 （共 9 页 ）
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∵尽可能让顾客得到实惠
∴ x 4 ···················································································· 7 分
答：应将售价降低 4 元． ····························································· 8 分
22．（10 分）
解：（1）∵2a b c 0
∴b 2a c ······································································· 1 分
∴ =b2 4ac ( 2a c) 2 4ac 4a2 c2 ···································· 2 分
∵ax2 bx c 0是关于 x的一元二次方程
∴ a 0 ·············································································· 3 分
∴ a2 0，
又 c2 0
∴ =4a2 c2 0 ·································································· 4 分
∴方程总有两个不相等的实数根． ··········································· 5 分
（2）∵方程ax2 bx c 0的两实根为 x1； x2 ，
b c
∴ x x ， x x ， ····················································· 6 分 1 2 1 2
a a
又∵ x21 x
2
2 x1x2 10，
∴ (x1 x2)
2 3x1x2 10， ······················································· 7 分
b 2 3c∴ ( ) 10 ································································· 8 分
a a
∵c b 2a
b 3( b 2a)
∴ ( ) 2 10 ，
a a
b
整理得： ( ) 2
b
3 4 0
a a
b b
∴ 1或 4
a a
∴ a,b之间的数量关系为b a或b 4a ． ······························· 10 分
初三数学答案 第 3 页 （共 9 页 ）
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23．（10 分）
解：（1）如图 2，作CN GH 于点 N ，作DM CN 于点M ，
∴MN DE 4， CDM 150 90 60 ， 1 分
CM
在Rt △CDM 中， sin CDM ，
CD
3
∴CM CD sin 60 20 10 3 cm， 2 分
2
∴CN CM MN （10 3 4）cm， 3 分
∴支点C 离桌面GH 的高度为 (10 3 4 ) cm； ···························· 4 分
（2）当面板 AB 与桌面夹角 从30 变化到70 的过程中，面板上端 A离桌面
GH 的高度随之增加，增加了 8 cm，理由如下：
如图 3，延长 AB 交GH 于点 I ，
AIN ，过 A作 AJ GH 于
点 J ，
AB =24cm， BC =6cm，
AC 18cm，
图3
CN
①当 30 时，在Rt △CNI 中， sin ，
CI
10 3 4
∴ sin 30 ，
CI
∴CI 2(10 3 4) (20 3 8) cm， ········································· 5 分
∴ AI CI AC 20 3 8 18 (20 3 26) cm，
AJ
在Rt △ AIJ 中， sin30 ，
AI
1
∴ AJ (20 3 26) 10 3 13 30.3cm， ······························· 6 分
2
CN
②当 70 时，在Rt △CNI 中， sin ，
CI
10 3 4
∴ sin 70 ，
CI
∴CI (10 3 4) 0.94 22.66cm， ········································· 7 分
初三数学答案 第 4 页 （共 9 页 ）
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∴ AI CI AC 22.66 18 40.66cm，
AJ
在Rt △ AIJ 中， sin 70 ，
AI
∴ AJ 40.66 0.94 38.22 cm， ·············································· 8 分
∴38.22 30.3 7.92 8cm， ·················································· 9 分
答：当面板与桌面夹角 从30 变化到70 的过程中，面板上端 A离
桌面GH 的高度随之增加，增加了8 cm． ···························· 10 分
24．（12 分）
（1）△ AFD是 等腰直角 三角形 ··············································· 3 分
（2）①如图 4，过点F 作FM AD于点M ，
在 Rt△ ACD中， AC AD2 CD2 10 ································ 4 分
由△ ABE 沿 AE 折叠得到△ AFE ，
则△ ABE ≌△ AFE
∴ AF AB 6 ································································· 5 分
∵FM ∥CD
∴△ AFM ∽△ ACD
FM AM AF FM AM 3
∴ ，即
CD AD AC 6 8 5
18 24
∴FM , AM
5 5 图 4
16
∴DM AD AM ······················································· 6 分
5
2 145
在 Rt△FMD中，DF FM 2 DM 2 ． ····················· 7 分
5
②当 E ，F ，D三点共线时，如图 5，
由△ ABE 沿 AE 折叠得到△ AFE ，
则△ ABE ≌△ AFE
∴ EFA B 90
AEB AEF ，EF BE ··············································· 8 分
初三数学答案 第 5 页 （共 9 页 ）
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设BE x,CE y
∵BC ∥ AD
∴ AEB EAD
∴ AED EAD
∴DE AD BC x y， 图 5
DF DE EF y ·························································· 9 分
∵BC ∥ AD
∴△CEF ∽△ ADF
CE EF
∴ ·································································· 10 分
AD DF
y x
即
x y y
x 5 1 5 1
解得 或 （舍去） ····································· 11 分
y 2 2
EF x 5 1
在 Rt△CEF 中，sin ACB ． ···················· 12 分
CE y 2
25.（14 分）
（1）证明：如图 1，在 Rt△ ABC 中， A 90
AB
∵tan ADB 3， AB 3
AD
∴ AD 1，CD AC AD 3 ··········································· 1 分
由旋转的特征，得：DB DE
ADB ABD ADB CDE 90
∴ ABD CDE ······························ 2 分
在△ ABD和△CDE中
AB CD

ABD CDE

DB DE
∴△ ABD≌△CDE ························································ 3 分
初三数学答案 第 6 页 （共 9 页 ）
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∴ DCE BAD 90
∴ AC CE ··································································· 4 分
（2）解：如图 2，过点D作DG∥ AB 交BC 于点G
∴△CDG∽△CAB
DG CD
∴ ，
AB CA
DG 3
即
3 4
9
∴DG ····································································· 5 分
4
由（1）知CE∥ AB ，CE AD 1
∴DG∥CE
∴△CEF ∽△GDF ························································ 6 分
EF CE
∴
DF DG
EF 1 4
即
DF 9 9
4
EF EF 4
∴ ····················································· 7 分
ED EF DF 13
∵BD ED
EF 4
∴ ··································································· 8 分
BD 13
（3）解：在 Rt△ ADB中，BD AD2 AB2 10
①当点 P 在点D下方时，
如图 3，连结PB，过点 P 作PM BD于点M
PM 1
在 Rt△PBM 中，tan DBP
BM 2
设PM a，则BM 2a
在 Rt△PDM 和 Rt△ ADB中
初三数学答案 第 7 页 （共 9 页 ）
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PM AB
tan ADB 3 ················································ 9 分
DM AD
1 1
∴DM PM a
3 3
∵BD DM BM
1
∴ 10 a 2a
3
3
解得： a 10
7
3
∴PM 10 ····························································· 10 分
7
AB 3 3
在 Rt△ ADB中，sin PDB 10
BD 10 10
PM
在 Rt△PDM 中，sin PDB
DP
PM 3
∴ 10
DP 10
10 10 3 10
∴DP PM 10
3 3 7 7
3
∴ AP DP AD ····················································· 11 分
7
②当点 P 在点D上方时，
如图 4，连结PB，
过点 P 作PN BD交BD的延长线于点 N
PN 1
在 Rt△PBN 中，tan DBP
BN 2
设PN b，则BN 2b
在 Rt△PDN 和 Rt△ ADB中
∵ ADB NDP
初三数学答案 第 8 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
∴ tan ADB tan NDP
PN AB
∴ 3 ··························································· 12 分
DN AD
1 1
∴DN PN b
3 3
1 5
∴BD BN DN 2b b b 10
3 3
3
∴PN b 10 ························································· 13 分
5
在 Rt△PDN 和 Rt△ ADB中
∵ ADB NDP
∴sin ADB sin NDP
PN AB 3
∴ 10
DP BD 10
10 10 3
∴DP PN 10 2
3 3 5
∴ AP DP AD 3
3
综上所述： AP 的长为 或3 ··················································· 14 分
7
初三数学答案 第 9 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}南安市 2024－2025 学年度上学期初中期末教学质量监测
初三年数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上.
学校 班级 姓名 考号
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是
1
A． 5 B． C． 12 D． 50
3
2．下列方程是一元二次方程的是
A． x 2 0 B． x2 4y 0 C． x2 5x 1 0 D．ax2 bx c 0
3．要使二次根式 x 3 有意义， x 的值可以是
A． 4 B．1 C．2 D．4
4．利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，以点O为
位似中心，设计“MATH”中字母“M ”美术字的一种
A B
方法．若OA 4，OA 5，则 的值为
AB
4 5 4 1
A． B． C． D．
5 4 9 4
5．将方程 x2 4x 2 0化成 (x 2)2 a的形式，则 a的值为
A． 2 B． 2 C．0 D．4
6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概
率”的试验：不透明袋子中有 4 个黑球、3 个白
球、2 个蓝球和 1 个红球，这些球除颜色外无其
他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色
的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最
有可能是
A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球
初三数学试题 第 1 页 （共 8 页 ）
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7．如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，
若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是
A．3 B． 2
3
C． D．1
2
8．中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，
比如《大戴礼·武王践祚·履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语·鲁语》
中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学
校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，
除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的
长为 32 米，宽为 20 米，种植面积为 570 平方米，
设劳动实践基地的道路宽为 x米，则可列方程
A．32 20 2 32x 20x 570 B． (20 2x)(32 x) 570
C． (32 x)(20 x) 570 D． (32 2x)(20 x) 570
9．在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求
一电线杆的高度．如图， AC 是电线杆 AB 的一根拉线，
用皮尺量得BC 4米，用测角仪测得 ACB 52 ，则
电线杆的高度 AB 为
4 4
A．4sin52 米 B． 4tan52 米 C． 米 D． 米
cos52 tan 52
10．已知 m 是关于 2x 的一元二次方程 x 3x a 2 0的一个实数根，且满足
m2 3m 1 a 1 4，则 a的值为
A． 3 B．1 C． 3或 1 D． 3或1
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
n 3 n
11．若 ，则 的值为 ．
m 5 m n
12．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的
事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
初三数学试题 第 2 页 （共 8 页 ）
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13．如图，已知传送带 AB 与地面 AC 所成坡面的坡度为
i 1:3，它把物体从地面点 A送到离地面 2 米高的点
B 处，则物体从 A到 B 所经过的路程为 米．
14．如果最简二次根式 3b 与 2b a 2 是同类二次
根式，则a b ．
15．如图，在△ ABC中，点G 是△ ABC的重心，连结
AG并延长交BC于点 E ，过点G 作GF / /AB交
BC于点 F ，如果EF=2，那么CE= ．
16．如图，正方形 ABCD中，点E 、N 分别是BC、AB 的
中点，CN与DE 交于点G ，连结BG 并延长交CD于
点 F ，CN 与对角线BD交于点H ，现有以下列结论：
① CNB BEG 180 ；② S正方形 6SABCD △ ； BNH
NG EG
③ ；④ NG EG 2BG；
CD CF
其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17．（8 分）计算： 12 2 6 2 cos30 ．
18．（8 分）解方程： x2 2x 1 0．
初三数学试题 第 3 页 （共 8 页 ）
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19．（8 分）有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”
“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方
法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的顶点均在网格格点上．
（1）以点O为位似中心，在第一象限画出△ ABC的位似图形△ A1B1C1，使
△ A1B1C1与△ ABC的相似比为2 :1；
（2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为 1，请直接写出△ A1B1C1的
面积．
初三数学试题 第 4 页 （共 8 页 ）
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21．（8 分）2024 年 11 月 16 日英都坂头芦柑园正式开园采摘，其果肉细腻柔软，
汁水丰盈，酸甜度恰到好处，既不过于甜腻，又非酸涩，具有独特的清新香
气，令人回味无穷，深受消费者喜爱．某水果店以批发价 40 元 / 箱的价格购
进一批坂头芦柑，若以 50 元 / 箱的零售价出售，则每天可售出 20 箱．为了更
好地促进乡村经济发展，该水果店决定降价销售．经调查发现，每箱的售价
每降价 1 元，每天可多售出 5 箱．该水果店想要每天通过销售坂头芦柑盈利
240 元，又要尽可能让顾客得到实惠，应将每箱芦柑的售价降低多少元？
22．（10 分）已知关于 x的一元二次方程ax2 bx c 0满足2a b c 0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为 2 2x ， x ，且 x1 x2 x1x2 101 2 ，请确定a,b之间
的数量关系．
初三数学试题 第 5 页 （共 8 页 ）
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23．（10 分）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图 1），将其放置在
水平桌面上的侧面示意图（图 2），测得面板长 AB 为24 cm，底座高DE 为4 cm，
CDE 150 ，支架CD为 20 cm，BC为6 cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C 离桌面GH 的高度（结果保留根号）；
（2）通过查阅资料，当面板 AB 绕点C 转动时，面板与桌面的夹角 满足
30 70 时，能保护视力．当 从30 变化到70 的过程中，问面板上
端 A离桌面GH 的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少 cm？请
说明理由．（结果精确到 1 cm，参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ，
sin70 0.94，cos70 0.34， tan70 2.75)
图2
D
图1 图2
初三数学试题 第 6 页 （共 8 页 ）
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24.（12 分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做30 角”
的探究活动，先将矩形纸片 ABCD按如图 1 上下对折，折痕为MN ；点E 是
线段BC 上的点，再把△ ABE按如图 2 沿 AE 折叠，使点 B 刚好落在MN 上的
F 点，连结 AF ，EF ，则 BAE EAF FAD 30 .活动后，老师鼓励同
学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题.
图 1 图 2
【活动猜想】（1）小华受此问题启发，将准备的一张 A4 纸（生活常识：一张
A4 纸宽为 21cm，长为 21 2 cm），按如图 3 的方式把△ ABE沿 AE 折叠得到
△ AFE ，经观察后得到猜想：当 E ，F ，D三点共线时，△ AFD是一个特殊
的三角形.请直接写出：△ AFD是_______________三角形；
【探究迁移】（2）如图 4，小明和小亮把△ ABE沿 AE 折叠，使点B 的对应点F
落在 AC 上，连结DF ，发现并提出新的探究点：
①若 AB 6， AD 8，求DF的长；
②当 E ， F ，D三点共线时，求 sin ACB 的值．
图 3 图 4 备用图
初三数学试题 第 7 页 （共 8 页 ）
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25.（14 分）如图，在 Rt△ ABC 中， A 90 ， AB 3， AC 4，D是线段 AC
上的点，且满足 tan ADB 3，将线段DB绕点D逆时针旋转90 得到DE，
连结CE .
（1）求证： AC CE ；
EF
（2）连结DE 交线段BC 于点 F ，求 的值；
BD
1
（3）点 P 在直线 AC 上，当 tan DBP 时，求 AP 的长.
2
初三数学试题 第 8 页 （共 8 页 ）
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