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漫话一元二次方程
追问求根公式
1阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：
方法一：教材中方法 方法二：
∵ ax2＋bx＋c＝0，
∴ 4a2x2＋4abx＋4ac＝0，
配方可得： ∴ (2ax＋b)2＝b2－4ac．
当 b2－4ac≥0时，
2ax＋b＝±，
∴ 2ax＝－b±．
当 b2－4ac≥0时， ∴ x＝．
请回答下列问题：
（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？（2）说说你有什么感想？
判别式----一元二次方程的检测器
2对于任意实数，若要求（1）写出一元二次方程，（2）方程以为判别式，则下述回答中：
，
，
，
，（为任意的非0实数），
完全满足要求的方程个数为（ ）．
（A）恰有1个 （B）恰有2个 （C）恰有3个 （D）4个全是
3.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ B ）
A.＞ B.＞且 C.＜ D.且
4. 如图，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a,b间的关系一定满足【D 】
a≥b
B．a≥b
C. a≥b
D．a≥2b
例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：
x+z=2y．
　　分析与解 (1)展开原式有
z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，
　　合并、配方得
(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，
　　即 (x+z-2y)2=0，
　　所以 x+z＝2y．
　　(2)如果看已知条件：
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，
　　很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程
(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由
(x-y)+(z-x)+(y-z)=0
　　可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知
　　所以 x+z=2y．
配方法---数学中的重要方法
5．对任意的实数，作代数式，则的最小值为（ C ）．
（A） （B） （C） （D）0
6用配方法解方程：．
7已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．
8．设、均为实数，代数式的最小值为 3 ．
活力非凡的韦达定理
8已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且— —=115
(1)求k的值；（2）求++8的值。
1）∵x，x是方程x-6x+k=0的两个根
∴x+ x=6 x x=k
∵——=115
∴k—6=115
解得k=11，k=-11
当k=11时=36—4k=36—44＜0 ，∴k=11不合题意
当k=-11时=36—4k=36+44＞0∴k=-11符合题意
∴k的值为—11
（2）x+x=6，xx=-11
而x+x+8=（x+x）—2xx+8=36+2×11+8=66
9．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.
10 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有
a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，
　　
　　分析与解 由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有
　　　
　　3．设，是方程的两个实数根，则=（ B ）
(A)－29 (B) －19 (C) －15 (D) －9
16.设是方程的两个实根，当为何值时，有最小值？并求这个最小值。
16.由题意知方程有实根，Δ≥0.　有≥0，则≤.
又由根与系数关系，得.
.从而，.
于是，当时，取得最小值，且最小值为.
15义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆．己知
2005年底全市汽车拥有量为72983辆．请解答如下问题：
（1）2005年底至2007年底我市汽车拥有量的年平均增长率？（结果精确到0.1％）
（2）为保护城市环境，要求我市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4％，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）
（1）设年平均增长率为，根据题意得：
解得， (不合题意，舍去)
∴所求的年平均增长率约为.
（2）设每年新增汽车为辆，根据题意得：
解得
∴每年新增汽车最多不超过辆.

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