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第六章 几何图形初步
6.2.2 线段的比较与运算
【学习目标】
1.会使用尺规作图画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短；
2.了解线段中点、等分点的概念，理解两点间距离的定义，能够运用和、差、倍、分关系求线段的长度；
3.掌握“两点之间，线段最短”的基本事实，并能用它解释一些生活中的现象；
4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
【学习重难点】
重点：会画一条线段等于已知线段，并会比较两条线段的长短．
难点：线段的和、差的理解和运用．
【学习过程】
课程导入
同学们，已知一条线段AB，你能画出一条与AB一样长度的线段a吗？
新知探究
有两种方式可以画出来.
方法一：就是我们上面演示的，先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条线段a与线段AB的长度相同.
方法二：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
尺规作图
用直尺画射线 AC，再用圆规在射线 AC上截取AB=a.
想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用
探究：怎样比较两条线段的长短呢？你能从比身高上受到启发吗
1．比较两条线段长短的方法
（1）度量法：用_________分别测量出它们的长度来比较．
（2）叠合法：把其中的一条线段_______另一条上作比较．
采用叠合法，将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合.
图中，点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD.
叠合法比较线段大小的三种情况：
1.线段AB 小于线段 CD(AB2.线段 AB 等于线段CD(AB=CD)，点B与点D重合，如图：
3.线段AB 大于线段 CD(AB>CD)，点B在线段CD的延长线上，如图：
探究：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路.
将它们展直，可以发现线段AB最短.
归纳：
这样，可以得到一个关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短.
简单说成：两点之间，线段最短.
连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.
如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和呢？
在直线上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b.
设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b
总结归纳
总结：线段和差作图，“内” “外”要分清.
在进行线段的和差作图时，要注意“加”在“外”画(即在线段的延长线上画)，“减”在“内”画(即在线段上画).
作图时，作图痕迹要保留，并且结论必须写明哪条线段是所求作的线段。
典例解析
例1. 如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a-b.
解：
巩固练习
1.如图，已知线段a，b，求作线段AB，使得AB=a+2b.小明给出了四个步骤：
① 在射线AM上截取线段AP=a；
② 则线段AB=a+2b；
③ 在射线PM上截取PQ=b，QB=b；
④画射线AM.
你认为正确的顺序是( )
A. ①②③④ B. ④①③② C. ④③①② D. ④②①③
2. 如图，下列关系式中与图形不符合的是( )
A. AD-CD=AC B. AC-BC=AB
C. AB+BD=AD D. AC+BD=AD
新知探究
如图，已知线段a，求作线段AB=2a.
如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
因此可得：AM=MB=AB，AB=2AM=2MB.
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点.（PPT）
归纳总结
两个角度理解中点：
1. 形的角度：需要满足两个条件：
(1) 这个点必须在线段上；
(2) 这个点要把这条线段分成两条相等的钱段.
2. 数的角度：若AB=2AM=2MB或AM=MB= AB，则点M是线段AB的中点。
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
AM=MN=NB= AB.
AB=3AM=3MN=3NB.
AM=MN=NP=PB= AB.
AB=4AM=4MN=4NP=4PB.
巩固练习
1.下列条件中能确定C是线段AB的中点的是（ ）
A. AC=BC B. AB=BC C. AC=BC= AB D. AC+BC=AB
2.如图，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点.若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）
A. 2cm B.3cm C.4cm D.6cm
3.如图，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长.
解：因为AB=2cm，所以BC=2AB=4cm.
所以AC=AB+BC=6cm.
因为D是AC的中点，
所以AD= AC=3cm.
所以BD=AD-AB=lcm.
4.如图，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN= BC，求MN的长.
解：因为M是AC的中点，AC=6cm，
所以MC= AC= ×6=3(cm)
因为BC=15cm
所以CN= BC= ×15=5(cm)
所以MN=MC+CN=3+5=8(cm)
课堂练习（教材练习）
1. 估计下列图中线段AB与AC的大小关系，再用刻度尺或圆规检验.
解：(1)AB>AC. (2)AB2.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b.
解析：作射线AM，在射线AM上顺次截取AB=a，BC=CD=b，则线段AD 就是所求作的钱段。
3.点M，N，P在同一条直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长.
解：如图，当点P在线段MN的延长线上时，MP=MN+NP=3+1=4(cm)；
当点P在线段 MN上时，MP=MN-NP=3-1=2(cm).
综上，线段MP的长为4cm或2cm.
随堂检测
1.下列说法正确的个数为( )
①线段的长短比较可以由刻度尺测量；
②线段的长短比较可以在同一条直线上，把一端点重合，再比较另一端点是否重合；
③线段的长实质是两点间的距离；
④连接两点间的所有线中，线段最短.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.
2.如图，AB=CD，可得AC与BD的大小关系是( )
A. AC＞BD B. AC＜BD
C. AC=BD D. 不能确定
3.若AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则( )
A.点N在线段AB上，点M在线段AB外
B.点M，N均在线段AB上
C.点M，N均在线段AB外
D.点M在线段AB上，点N在线段AB外
4.把甲、乙两地间一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是______________________.
5．如图，点C，B，D在射线AM上，用a，b，c的和差关系表示线段AD．
6.如图，有一张三角形纸片，你能准确地比较线段AB与线段BC的长短吗？
7. 如图，D为线段BC的中点，E为线段AC的中点.若ED=9，求线段AB的长度.
课堂小结
本节课我们学习了什么？你有什么收获呢？
1.尺规作图：只用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图.
2.比较线段的大小：
点B落在C，D之间，线段AB小于线段CD，记作AB点B在线段CD的延长线上，线段AB大于线段CD，记作AB>CD.
点B与点D重合，线段AB等于线段CD，记作AB=CD.
3.线段的性质：两点之间，线段最短.
4.两点的距离：连接两点间的线段的长度.
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点.

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