资源简介

新湘教版初中数学七年级下册
《平方差公式》教学设计
【教学目标】
1.使学生理解和掌握平方差公式。
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。
3.经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力。
4.在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神。
【教学重点】
弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点。
【教学难点】
准确理解和掌握公式的结构特征。
【教学方法】
实验法、观察法、练习法、小组合作交流法、启发式、讲授法。
【教学过程】
〖温故知新〗
1.提问： 多项式与多项式是如何相乘的？
答：多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。
计算：
(1)(x＋1)(x－1)=x2-x+x-1=x2-1
(2)(x＋2)(x－2)=x2-2x+2x-22=x2-22
(3)(-a＋4)(-a－4)=a2+4a-4a-42=a2-42
提问：(a＋b)(a－b)=？
答：(a＋b)(a－b)=a2-b2
（学生利用“多项式与多项式相乘”相乘的运算法则，计算出前三题，然后学生通过观察、交流、讨论总结规律）
【设计意图】
通过复习“多项式与多项式相乘”的运算法则，让学生利用“多项式与多项式相乘”的运算法则计算出能运用平方差公式计算题，并让学生通过观察、交流、讨论总结规律，让学生参入到知识的构建中来，以旧引新，引出本节课学习平方差公式的运算法则。
〖新知探究1〗
1.提问：下列各式有什么共同特点？它们的结果又有什么共同特点？
1)(x＋1)(x－1)=x2-1； (2)(x＋2)(x－2)=x2-22；(3)(-a＋4)(-a－4)=a2-42
答：式子的共同特点：两个数的和×这两个数的差。
结果的共同特点：相同项的平方-相反项的平方。
平方差公式：a+b)(a-b) =a2-b2
语言表述：两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。（如图表述）
【设计意图】
教师演示动画，学生针对教师的提问观察。交流、讨论并总结出平方差公式的运算技巧的方法。教师再根据学生的总结画出思维导图加深学生的理解。
〖新知探究1〗
提问：你能在几何背景下解析平方差公式:(a+ b)(a- b)=a2-b2吗？
解：1.如图 ，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则 剩余部分的面积为a2-b2。
2.将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个所示的长方形，则这个长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为(a+b)(a-b)。
∴(a+b)(a-b)= a2 -b2。
（学生裁剪、拼接，教师演示，学生根据裁剪、拼接采用两种方法计算剩余部分的面积，从而得出平方差公式。）
【设计意图】
学生裁剪、拼接，教师演示，学生根据裁剪、拼接采用两种方法计算剩余部分的面积，从而得出平方差公式，达到“数形结合”，加深学生对平方差公式的理解。
〖知识应用1〗
例1 计算：
( 2x + 1 )( 2x - 1 ) =（2x）2-12=4x2-1
（2）(x + 2y)(x - 2y)=x2-(2y)2=x2-4y2
(学生先找出两个算式的特点：都是两个多项式相乘，都是两个数的和乘以两个数的差。再确定计算方法：相同项的平方减去相反项的平方。）
§强调：两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。
【设计意图】
通过练习，让学生能熟练应用平方差公式计算。
〖知识应用2〗
例2 运用平方差公式计算：
(-2x- y)(-2x + y) =(-2x)2-(y)2=4x2-y2
(学生先找出两个算式的特点：两个多项式相乘，这两个多项式依然是两数的和乘以两数的差。再确定计算方法——平方差公式：等于相同项的平方减去相反项的平方。）
§强调：两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。
【设计意图】
通过学生找出符合采用平方差公式计算的两式子的特点，让学生进一步掌握运用“平方差公式”的计算的方法和技巧。
〖知识应用3〗
例3 运用平方差公式计算：
（4a + b)(-b + 4a）=（4a + b)( 4a-b）=（4a)2- b2=16a2-b2
(学生先找出两个算式的特点：两个多项式相乘，这两个多项式依然符合两数的和乘以两数差的形式，只是改变的顺序——两数的差乘以两数的和。再确定计算方法——平方差公式：等于相同项的平方减去相反项的平方。）
§强调：两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
【设计意图】
通过平方差公式的变形训练，让学生明白运用平方差公式计算的技巧和方法：两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
〖知识应用4〗
下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正
(x-2)(x+2)=x2-2；错误
改：(x-2)(x+2)=x2-4
(-2x-1)(2x-1)=4x2-1； 错误
改：(-2x-1)(2x-1)=(-1)2-(2x)2=1-4x2
§强调：两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
【设计意图】
通过“辨一辨”的训练，让学生加深对平方差公式的理解。
〖知识应用5〗
例4 计算：1 002 × 998.
解：原式=（1000+2)( 1000-2）
=10002-22
=1000000-4
=999996
【设计意图】
通过训练，让学生将平方差公式运用到实际计算中，让学生明的：运用平方差公式可以简化一些运算。
〖巩固练习〗
1. 运用平方差公式计算：
（1）（3x + y)(3x - y）； （2）(m - n )(m +n)；
（3）(-1 + 5x)(-1 - 5x）； （4）(-4a - b)(4a - b).
【设计意图】
通过练习，让学生熟练掌握平方差公式的运算方法和技巧。
2.计算：
（1） 202 × 198； （2） 49.8 × 50.2
【设计意图】
通过练习，让学生熟练运用平方差公式进行简便计算。
〖挑战平台1〗
3、计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2； (2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
【设计意图】
通过练习，将平方差公式应用到混合运算中，训练学生对知识的综合运用能力。
〖挑战平台2〗
4、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：
原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了
【设计意图】
通过练习，将平方差公式应用到现实生活中，训练学生对知识的运用，同时也激发了学生兴趣。
【课后小结】
平方差公式：（a+b)a-b)=a2-b2
语言概述：两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
2.平方差公式有时能使计算简便。
【板书设计】
【课后作业】
课堂作业：P22习题2第1题。
课后作业：预习P17~19《完全平方公式》。
【教学反思】
亮点：以旧引新，通过复习“多项式与多项式相乘”的运算法则，并以旧引新，通过习题引出对平方差公式的推导，培养学生发现问题、提出问题的能力。同时，通过例题，由易到难，由浅到深，不断深入，层层揭示平方差公式的本质，不断加深学生对平方差公式的理解和掌握。
不足：没有平方差公式的运算法则的逆用。
教学建议：多让学生动手练习，让学生在练习、观察、讨论、交流中发现并总结出规律。同时，强调在运用平方差公式解题时，需用“相同项的平方减去相反项的平方”。(共18张PPT)
新湘教版数学七年级下册
平 方 差 公 式
本节内容
1.2.1
第一章 整式的乘法
1.使学生理解和掌握平方差公式.
弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点.
学习目标
重 点：
前言
准确理解和掌握公式的结构特征.
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用.
难 点：
3.经历探索平方差公式的过程，增强了数和符号的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力.
4.在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯，质疑的精神.
温故知新
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
多项式与多项式相乘，用第一个多项式的各项分别与第二个多项式的各项相乘。加
合并同类项
温故知新
计算：
=x2-x+x-1
(1)(x＋1)(x－1)
(2)(x＋2)(x－2)
(3)(-a＋4)(-a－4)
=x2-12
=x2-2x+2x-22
=x2-22
=a2+4a-4a-42
=a2-42
(a＋b)(a－b)=
(a＋b)(a－b)=a2-b2
总结
平 方 差 公 式
=x2-x+x-1
(1)(x＋1)(x－1)
(2)(x＋2)(x－2)
(3)(-a＋4)(-a－4)
=x2-12
=x2-2x+2x-22
=x2-22
=a2+4a-4a-42
=a2-42
结果特点：相同项的平方减去相反项的平方。
（a+b)(a-b)
=a2 - b2
和
差
相同项的平方
相反项的平方
平方差公式：两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。
平方差公式
式子特点：两个数的和×这两个数的差
动脑筋
平 方 差 公 式
你能在几何背景下解析平方差公式:(a+ b)(a- b)=a2-b2吗？
解：1.如图 ，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，则 剩余部分的面积为a2-b2。
2.将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个所示的长方形，则这个长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为(a+b)(a-b)。
∴(a+b)(a-b)= a2 -b2
典例分析
举
例
例1 计算：
（1）( 2x + 1 )( 2x - 1 )
（2）(x + 2y)(x - 2y)
=
(2x)2
-12
=4x2-1
相同
相反
相同项的平方-相反项的平方
相同
相反
=
x2
-（2y)2
相同项的平方-相反项的平方
=x2-4y2
两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。
典例分析
举
例
例2 运用平方差公式计算：
(-2x- y)(-2x + y)
相同
=
(-2x)2
相反
-(y)2
相同项的平方-相反项的平方
=4x2-y2
两个数的和乘以这两个数的差等于相同项的平方减去相反项的平方。
典例分析
举
例
例3 运用平方差公式计算：
两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
（4a + b)(-b + 4a）
解：原式=（4a + b)( 4a-b）
=（4a)2- b2
=16a2- b2
两个多项式相乘，只有相同的项和相反的项
辨一辨
对点练习
相互交流
下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正
改：(x-2)(x+2)=x2-4
(1)(x-2)(x+2)=x2-2；
(2)(-2x-1)(2x-1)=4x2-1；
改：(-2x-1)(2x-1)=(-1)2-(2x)2
=1-4x2
×
两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
典例分析
举
例
例4 计算：1 002 × 998.
对点练习
解：原式=（1000+2)( 1000-2）
(1000+2)
(1000-2)
(1000-2)×(1000-2)可以利用平方差公式计算
=10002-22
=1000000-4
=999996
运用平方差公式可以简化一些运算！
练 习
做一做
1. 运用平方差公式计算：
继续学习
（1）（3x + y)(3x - y）； （2）(m - n )(m +n)；
（3）(-1 + 5x)(-1 - 5x）； （4）(-4a - b)(4a - b).
解：原式=（3x)2-y2
=9x2-y2
解：原式=（m)2-n2
=m2-n2
解：原式=（-1)2-(5x)2
=1-25x2
解：原式=（-b)2-(4a)2
=b2-16a2
两个多项式相乘，如果只有相同的项和相反的项，那么等于相同项的平方减去相反项的平方。
练 习
做一做
2.计算：
（1） 202 × 198； （2） 49.8 × 50.2
解：原式=（200+2)×(200-2)
=2002-22
=40000-4
=39996
解：原式=（50-0.2)×(50-0.2)
=502-0.22
=2500-0.4
=2499.6
202和198都接近200，所以原式可写成（200+2)×(200-2)
49.8和50.2都接近50，所以原式可写成（50-0.2)×(50+0.2)
练 习
挑战平台
3、计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
解： 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
解：原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2 + 6x
= 6x－25.
(2) (2x－5)(2x + 5) －2x(2x－3).
= a4 .
= a4－a2b2 + a2b2
练 习
挑战平台
4、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：
原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
课堂总结
平方差公式
平方差公式法则：
利用平方差公式简便计算：
式子可以化成两数和乘以两数差的形式。
[
]
公式：（a+b)a-b)=a2-b2
技巧：相同项的平方减去相反项的平方。
作 业
课堂作业：P22习题2第1题
课后作业：预习P17~19《完全平方公式》
湘教版初中数学七年级下册
课程结束

展开更多......

收起↑