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新湘教版初中数学七年级下册
《整式的乘法》复习与小结教学设计
【教学目标】
1. 熟悉指数为正整数的幂的有关运算。
2. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与
二次式的乘法）
能运用平方差公式和完全平方公式进行简单计算和推理。
4. 能通过类比有理数的乘法掌握整式的乘法，提升归纳能力，感悟运算方法与运算律的关系，进一步发展抽象能力与运算能力
【教学重点】
对本章所学知识进行梳理，形成知识网络。
【教学难点】
灵活运用本章所学知识进行运算、推理。
【教学方法】
观察法、练习法、小组合作交流法、启发式、展法法、实验法、讲授法。
【教学过程】
〖梳理知识〗
一、幂的运算：
1、同底幂的乘法：am an=am+n（同底幂相乘，底数不变，指数相加）。
2、幂的乘方：（am)n=amn（幂的乘方，底数不变，内外指数相乘）。
3、积的乘方：（ab)m=ambm（积的乘方，所有因式分别乘方）。
4、同指数幂的乘法：am bm=(ab)m（同指数幂相乘，指数不变，底数相乘）。
二、整式的乘法：
1、单项式乘单项式：
系数：系数乘以系数作为系数；
字母（式子）：同底数幂，底数不变，指数相加。
2、单项式乘多项式：用单项式与多项式的各项分别相乘。
3、多项式乘多项式：用一多项式的各项分别与另一多项式的各项相乘。
三、整式的乘法公式（多项式与多项式相乘的特例）:
1.平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 （相同项的平方减去相反项的平方）
2.完全平方公式：
①（a+b)2=a2+2ab+b2 ；②(a-b)2=a2-2ab+b2
§强调：两数的和平方或差平方，等于这两数的平方和加上（或减去）两数积的2倍。
【设计意图】
梳理所学知识，形成知识网络。同时，复习整式乘法的相关运算法则，为计算、推理打下基础。
〖知识应用技巧〗
整式乘法的综合应用
1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式，再计算。有时会结合其它运算法则。
2.在套用乘法公式时，有时需有整体转化思想。
3.应用整式乘法进行推理时，要思路清析，富有逻辑。
4.在几何背景下推导乘法公式时，要分析清整体与部分的关系。
【设计意图】
针对整式乘法的综合应用，复习做题技巧，引起学生注意，提高学生解题能力。
〖复习1习题〗
1. 计算：
（1）-b2 b5=-b2+5=-b7 （2） x2 x3 (-x)4=x2 x3 x4=x2+3+4=x9
（3）(-3a2b3)3=(-3)3 a2×3 b3×3=-27a6b9
(4) (-xy2) (-2xy)2=(-xy2) 4x2y2=-x3y4
【设计意图】
考查学生对幂的掌握情况。
2.计算：
(1) 6xy (-x+y) (2) (5x-xy) (-3x)
解：原式=6xy (-x）+6xy （y） 解：原式=5x (-3x)+(-xy) ( 3y）
=-2x2y+3xy2 =-15x2+xy2
(3)（2x + 5)(x - 1) (4)（x - 11)(x + 11)
解：原式=2x2-2x+5x-5 解：原式=x2-112
=2x2+3x-5 =x2-121
（5）(-7x-1)(-1+7x) （6）（-4a - 5b)2.
解：原式=(-1)2-(7x)2 解：原式=(4a+5b)2
=1-49x2 =16a2+40ab+25b2
3.计算：
（1）(x+13)(x-13)-(x+13)2 （2）(xy+z)(-xy+z)
解：原式=x2-132-(x2+26x+169) 解：原式=(z+xy)(z-xy)
=x2-169-x2-26x-169 =z2-(xy)2
=-338-26x =z2-x2y2
（3） 4x2-2x (-x+2y) （4）(x-2y)(x+2y)-(x-2y）
解：原式=4x2+2x2-4xy 解：原式=x2-4y2-x+2y
=6x2-4xy
【设计意图】
考查学生对单项式乘多项式、多项式乘多项式及乘法公式的掌握情况。
4. 计算：5002 - 499 × 501.
解：原式=5002-(500-1)(500+1)=5002-(5002-1)=5002-5002+1=1
【设计意图】
训练学生利用乘法公式简化计算。
5 .已知(x+y)2=4，(x-y)2=10，求x2+y2和xy的值.
解：∵(x+y)2=4，(x-y)2=10
∴x2+2xy+y2=4 ①,x2-2xy+y2=10 ②
∴①+②得：2x2+2y2=14，则x2+y2=7
①-②得：4xy=-6，则xy=- 。
【设计意图】
通过练习，让学生寻找完全和平方公式与完全差平方公式之间的关系。
6. 已知am=4，an=5（m，n是正整数），求a2m+n。
解：∵am=4，an=5（m，n是正整数）
∴a2m+n=a2m﹒an
=4×5
=20
【设计意图】
通过练习，检查学生对幂的乘方、同底幂相乘法则的逆用情况。
7. (1) 计算：2(x + y)(x - y)-(x + y)2 +(x - y)2；
解：原式=2(x2-y2)-(x2+2xy+y2)+(x2-2xy+y2)
=2x2-2y2-x2-2xy-y2+x2-2xy+y2
=2x2-2y2-4xy
（2） 当x取2，y取时，求（1）中多项式的值.
解：当x=2,y=时,原式=2×22-2×()2-4×2×=8- -4=.
【设计意图】
通过练习，检查学生对化简求值的掌握情况。
8.已知两个正方形的边长之和是20cm，面积之差是40cm2，求这两个正方形的边长。
解：设大正方形的边长为acm,小正方形的边长为bcm,则依题意得：
a+b=20 ① ,a2-b2=40
∵a2-b2=40 ∴(a+b)(a-b)=40 ∴20(a-b)=40 ∴a-b=2 ②
∴①+②得：2a=22,解得：a=11 ∴b=a-2=9。
答：这两个正方形的边长分别为11cm,9cm.
【设计意图】
通过练习，检查学生对平方差公式的运用。
9. （1）已知a-b=2，ab=1，求a2+b2的值；
解：∵a-b=2，ab=1
∴(a-b)2=4,即：a2-2ab+b2=4
∴a2-2+b2=4, ∴a2+b2=6.
（2）已知a+ =3，求a2+ 和a4+的值.
解：∵a+=3 ∴(a+ )2=9,即：a2+2+ =9,
∴a2+ =7, ∴（a2+ )2=49,即：a4+2+=49,
∴a4+ =47.
【设计意图】
通过练习，检查学生对互为倒数的两数的和平方性质的掌握。
10.（1）试用图①解释(a+ b)(a- b)＝a2 - b2
解：阴影部分面积为：边长是a的正方形面积减去边长是b正方形面积，
即：S阴影=a2 - b2
进行剪裁、拼接后，阴影部分面积为：长是（a+b)，宽是（a-b)的长方 形的面积，即：S阴影=(a+ b)(a- b）.
∴(a+ b)(a- b)＝a2 - b2
（2） 试用图②解释.
解：阴影部分面积是边长为（a+b+c）的大正方形面积
即：S阴影=(a+b+c)2.
又∵阴影部分面积也可由9个长方形或正方形组成，它们的面积分别为a2,ab,ac,ba,b2,bc,ca,cb,c2。
∴S阴影=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【设计意图】
通过练习，检查学生在几何背景下解析代数公式的能力。
11. 小王说：“814-275-97是5的倍数. ”你赞成他的说法吗？为什么？
解：∵814-275-97=(34)4-(33)5-(32)7
=316-315-314
=32×314-3×315-314
=(32-3-1)×314
=5×314
∴814-275-97是5的倍数.
【设计意图】
通过练习，检查学生逆用幂的运算解决实际问题的能力。。
12 .观察下面的4个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6.
（1） 写出第5个等式. 解：解：72=6+62+7
（2） 如果用n表示正整数，请用含有字母n的等式表示出通过观察发现的规律，并说明规律成立的理由.
(2)解：我发现的规律为：n2=(n-1)+(n-1)2+n.
理由：∵(n-1)+(n-1)2+n=n-1+(n2-2n+1)+n=n-1+n2-2n+1+n=n2
∴n2=(n-1)+(n-1)2+n.
【设计意图】
通过练习，检查学生发现规律、总结规律，并证明推导公式的能力。
13 .计算下列各式：
（x-1)(x+1)= x2-1 ；
（x-1)(x2+x+1)= x3-1 ；
（x-1)(x3+x2+x+1)= x4-1 。
（1） 由此可发现：(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= xn+1-1 （只
要求写出结果）；
（2） 利用（1）计算36+35+34+33+32+4的值.
解：36+35+34+33+32+4=36+35+34+33+32+3+1
=×(3-1)×(36+35+34+33+32+3+1)
=×(37-1)
=
【设计意图】
通过练习，检查学生发现规律、总结规律，并灵活运用所发现的规律解决问题的能力。
14 .(1)已知m，n均为常数，若(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项，则m+n的值为多少？
解：∵(x+3)2(x2+mx+n)=(x2+6x+9)(x2+mx+n)
∴将(x+3)2(x2+mx+n)化简后二次项为(n+6m+9)x2,一次项为（6n+9m)x.
∵(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项
∴， 解得： ∴m+n=-2+3=1
(2)已知a，b，c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1的乘积为
2x4+ax3+bx2+cx-3，则2a+b+c的值为多少？
分析：因为积的最高次为2x4,而已知因式的最高次为x2，所以M的最高次为2x2；因为积的常数项为-3，而已知因式的常数项为1，所以M的常数项为-3。因此可设M为2x2+mx-3。
解：设M为2x2+mx-3，则M与多项式x2-3x+1的乘积为：
（2x2+mx-3)(x2-3x+1)=2x4+(m-6)x3+(-3m-1)x2+(m+9)x-3
∵M与多项式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx-3
∴a=m-6,b=-3m-1,c=m+9
∴2a+b+c=2(m-6)+(-3m-1)+(m+9)=2m-12-3m-1+m+9=4
【设计意图】
通过练习，检查学生对“多项式乘多项式”运算规律的综合利用能力
【课后小结】
1. 熟悉指数为正整数的幂的有关运算
2. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与
二次式的乘法）
3. 能运用平方差公式和完全平方公式进行简单计算和推理
4. 能通过类比有理数的乘法掌握整式的乘法，提升归纳能力，感悟运算
方法与运算律的关系，进一步发展抽象能力与运算能力
【板书设计】
【课后作业】
课堂作业：P25复习题1第5、7题
课后作业：复习题1中有疑难的题在老师讲解后再做一遍。
【教学反思】
1.亮点：对本章所学知识进行了梳理，并对相关运算法则进行了复习。同时，习题练习紧扣知识点。
2.不足：利用整式的乘法法则进行推理和寻找规律并灵活运用规律难度较大，学生掌握方法、技巧不够。
3.教学建议：复习小结时，以学习小组为单位，让学生交流、讨论，画出思维导图，更利于学生对知识点的梳理上。讲解习题前，先让学生做，并与同学充分交流、讨论，再展示学生的作业，让学生在师生互动中纠错。对于利用整式的乘法公式进行计算、推导，以及找规律、利用规律做题，需多启发，让学生发现特点，寻找规律。(共29张PPT)
新湘教版数学七年级下册
《整式的乘法》复习与小结
本节内容
复习与小结
第一章 整式的乘法
1. 熟悉指数为正整数的幂的有关运算。
对本章所学知识进行梳理，形成知识网络。
学习目标
重 点：
前言
灵活运用本章所学知识进行运算、推理。
难 点：
2. 能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与
二次式的乘法）。
3. 能运用平方差公式和完全平方公式进行简单计算和推理。
4. 能通过类比有理数的乘法掌握整式的乘法，提升归纳能力，感悟运算方法与运算律的关系，进一步发展抽象能力与运算能力。
整式的乘法
本章知识梳理
一、幂的运算
2、幂的乘方：（am)n=amn
3、积的乘方：（ab)m=ambm
二、整式的乘法
1、同底幂的乘法：am an=am+n
4、同指数幂的乘法：am bm=(ab)m
（幂的乘方，底数不变，内外指数相乘）
（同底幂相乘，底数不变，指数相加）
（积的乘方，所有因式分别乘方）
（同指数幂相乘，指数不变，底数相乘）
对点练习
整式的乘法
二、整式的乘法
1、单项式乘单项式：
2、单项式乘多项式：
3、多项式乘多项式：
系数：系数乘以系数作为系数；
字母（式子）：同底数幂，底数不变，指数相加。
(用单项式与多项式的各项分别相乘)
(用一多项式的各项分别与另一多项式的各项相乘)
本章知识梳理
整式的乘法
三、整式的乘法公式（多项式与多项式相乘的特例）
1.平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.完全平方公式：
①（a+b)2=a2+2ab+b2
②(a-b)2=a2-2ab+b2
（相同项的平方减去相反项的平方）
两数的平方和加上（或减去）两数积的2倍。
本章知识梳理
对点练习
整式的乘法
整式乘法的综合应用
1.先观察式子的特点，选取适当的乘法公式，再计算。有时会结合其它运算法则。
本章知识运用技巧
对点练习
2.在套用乘法公式时，有时需有整体转化思想。
3.应用整式乘法进行推理时，要思路清析，富有逻辑。
4.在几何背景下推导乘法公式时，要分析清整体与部分的关系。
复习题第1题
做一做
1. 计算：
（3）(-3a2b3)3； (4) (-xy2)﹒(-2xy)2 .
解：原式=-b2+5
（1）-b2﹒b5； （2） x2﹒x3﹒(-x)4 ；
=-b7
解：原式=x2﹒x3﹒x4
=x2+3+4
=x9
解：原式=(-3)3﹒a2×3﹒b3×3
=-27a6b9
解：原式=(-xy2)﹒4x2y2
=-x3y4
继续学习
复习题第2题
做一做
2.计算：
(3)（2x + 5)(x - 1)
解：原式=6xy﹒(-x）+6xy﹒（y）
解：原式=2x2-2x+5x-5
(1) 6xy﹒(-x+y)
(2) (5x-xy)﹒(-3x)
(4)（x - 11)(x + 11)
=-2x2y+3xy2
解：原式=5x﹒(-3x)+(-xy)﹒(y）
=-15x2+xy2
=2x2+3x-5
解：原式=x2-112
=x2-121
复习题第2题
做一做
计算：
解：原式=(-1)2-(7x)2
（5）(-7x-1)(-1+7x)
（6）（-4a - 5b)2.
=1-49x2
解：原式=(4a+5b)2
=(4a)2+2﹒4a﹒5b+(5b)2
=16a2+40ab+25b2
继续学习
复习题第3题
做一做
3.计算：
（1）(x+13)(x-13)-(x+13)2
（2）(xy+z)(-xy+z)
（3） 4x2-2x﹒(-x+2y)
（4）(x-2y)(x+2y)-(x-2y）
解：原式=x2-132-(x2+26x+169)
=x2-169-x2-26x-169
=-338-26x
解：原式=(z+xy)(z-xy)
=z2-x2y2
=z2-(xy)2
解：原式=4x2+2x2-4xy
=6x2-4xy
解：原式=x2-4y2-x+2y
复习题第4题
做一做
4. 计算：5002 - 499 × 501.
解：原式=5002-(500-1)(500+1)
=5002-(5002-1)
=5002-5002+1
=1
复习题第5题
做一做
5 .已知(x+y)2=4，(x-y)2=10，求x2+y2和xy的值.
解：∵(x+y)2=4，(x-y)2=10
∴x2+2xy+y2=4 ①,x2-2xy+y2=10 ②
∴①+②得：2x2+2y2=14，
则x2+y2=7
①-②得：4xy=-6，
则xy=-
复习题第6题
做一做
6. 已知am=4，an=5（m，n是正整数），求a2m+n的值.
解：∵am=4，an=5（m，n是正整数）
∴a2m+n=a2m﹒an
=4×5
=20
复习题第7题
做一做
7. (1) 计算：2(x + y)(x - y)-(x + y)2 +(x - y)2；
解：原式=2(x2-y2)-(x2+2xy+y2)+(x2-2xy+y2)
解：当x=2,y=时,原式=2×22-2×()2-4×2×
（2） 当x取2，y取时，求（1）中多项式的值.
=2x2-2y2-x2-2xy-y2+x2-2xy+y2
=2x2-2y2-4xy
=8--4
=
复习题第8题
做一做
8. 已知两个正方形的边长之和是20cm，面积之差是40cm2，求这两个正方形的边长.
解：设大正方形的边长为acm,小正方形的边长为bcm,则依题意得：
a+b=20 ① ,a2-b2=40
∵a2-b2=40
∴(a+b)(a-b)=40
∴20(a-b)=40
∴a-b=2 ②
∴①+②得：2a=22,
解得：a=11
答：这两个正方形的边长分别为11cm,9cm.
∴b=a-2=9。
复习题第9题
做一做
9. （1）已知a-b=2，ab=1，求a2+b2的值；
（2） 已知a+ =3，求a2 +和a4+的值.
解：∵a-b=2，ab=1
∴(a-b)2=4,即：a2-2ab+b2=4
∴a2-2+b2=4,
∴a2+b2=6.
解：∵a+=3
∴(a+)2=9,
即：a2+2+=9,
∴a2+=7,
∴（a2+)2=49,
即：a4+2+=49,
∴a4+=47,
复习题第10题
做一做
10.（1）试用图①解释(a+ b)(a- b)＝a2 - b2
a-b
a+b
解：阴影部分面积为：边长为a的正方形面积减去边长b正方形面积，
即：S阴影=a2 - b2
进行剪裁、拼接后，阴影部分面积为：长为（a+b)，宽为（a-b)的长方形的面积，即：
S阴影=(a+ b)(a- b)
∴(a+ b)(a- b)＝a2 - b2
复习题第10题
做一做
10.（2） 试用图②解释(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
解：阴影部分面积是边长为（a+b+c）的大正方形面积，
即：S阴影=(a+b+c)2
∵阴影部分面积也可由9个长方形或正方形组成，它们的面积分别为a2,ab,ac,ba,b2,bc,ca,cb,c2。
∴S阴影=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
复习题第11题
做一做
11. 小王说：“814-275-97是5的倍数. ”你赞成他的说法吗？为什么？
解：∵814-275-97=(34)4-(33)5-(32)7
=316-315-314
=32×314-3×315-314
=(32-3-1)×314
=5×314
∴814-275-97是5的倍数.
复习题第12题
做一做
12 观察下面的4个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6.
（1） 写出第5个等式.
（2） 如果用n表示正整数，请用含有字母n的等式表示出通过观察发现的规律，并说明规律成立的理由.
(1)解：72=6+62+7
复习题第12题
做一做
12 观察下面的4个等式：
32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6.
（2） 如果用n表示正整数，请用含有字母n的等式表示出通过观察发现的规律，并说明规律成立的理由.
(2)解：我发现的规律为：n2=(n-1)+(n-1)2+n.
理由：∵(n-1)+(n-1)2+n=n-1+(n2-2n+1)+n
=n-1+n2-2n+1+n=n2
=n2
∴n2=(n-1)+(n-1)2+n.
复习题第13题
做一做
13 .计算下列各式：
（x-1)(x+1)= ；
（x-1)(x2+x+1)= ；
（x-1)(x3+x2+x+1)= .
（1） 由此可发现：(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= （只
要求写出结果）；
（2） 利用（1）计算36+35+34+33+32+4的值.
x2-1
x3-1
x4-1
xn+1-1
复习题第13题
做一做
13 .计算下列各式：
（1） 由此可发现：(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= （只
要求写出结果）；
（2） 利用（1）计算36+35+34+33+32+4的值.
xn+1-1
解：36+35+34+33+32+4=36+35+34+33+32+3+1
=×(3-1)×(36+35+34+33+32+3+1)
=×(37-1)
=
复习题第14题
做一做
14 .(1)已知m，n均为常数，若(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项，则m+n的值为多少？
(2)已知a，b，c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1的乘积为
2x4+ax3+bx2+cx-3，则2a+b+c的值为多少？
复习题第14题
做一做
14 .(1)已知m，n均为常数，若(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项，则m+n的值为多少？
解：∵(x+3)2(x2+mx+n)=(x2+6x+9)(x2+mx+n)
∴将(x+3)2(x2+mx+n)化简后二次项为(n+6m+9)x2,一次项为（6n+9m)x.
∵(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项
∴
n+6m+9=0
6n+9m=0
解得：
m=-2
n=3
∴m+n=-2+3=1
复习题第14题
做一做
14 .(2)已知a，b，c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx-3，则2a+b+c的值为多少？
分析：因为积的最高次为2x4,而已知因式的最高次为x2，所以M的最高次为2x2；因为积的常数项为-3，而已知因式的常数项为1，所以M的常数项为-3。因此可设M为2x2+mx-3。
解：设M为2x2+mx-3，则M与多项式x2-3x+1的乘积为：
（2x2+mx-3)(x2-3x+1)
=2x4+(m-6)x3+(-3m-1)x2+(m+9)x-3
∵M与多项式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx-3
∴a=m-6,b=-3m-1,c=m+9
∴2a+b+c=2(m-6)+(-3m-1)+(m+9)
=2m-12-3m-1+m+9
=4
课堂总结
整式的乘法
幂的运算
单项式的乘法
多项式的乘法
同底幂乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
am﹒an=am+n(注意逆用）
（am)n=am﹒n(注意逆用）
（ab)m=ambm(注意逆用）
系数相乘作为系数；
同底幂，底数不变，指数相加
[ ]
普通多项式相乘：
用第一多项式的各项分别与第二个多项的各项相乘
[ ]
乘法公式
平方公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：
(a±b)2=a2±2ab+b2
作 业
课堂作业：P25复习题1第5、7题
课后作业：复习题1中有疑难的题在老师讲解后再做一遍。
湘教版初中数学七年级下册
课程结束

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