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第五章 图形的轴对称
七下数学 BS
问题解决策略:转化
1.将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题，或将复杂的问题转化为简单的问题，从而使问题得以解决。
问题 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短
大门
车间
道路
理解问题
如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题
已知直线l和直线l 外A，B两点，在直线l上确定一个点C，使 AC+CB最短。
知识点1 转化
A
B
l
拟订计划
(1)你以前遇到过类似的问题吗 关于“最短”，你有哪些认识
“两点之间线段最短”
知识点1 转化
(2)相信你能解决以下问题:
如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。
知识点1 转化
A
B
l
C
原问题与这个问题有什么区别和联系
联系：都是在直线l上确定一个点C，使 AC+CB最短。
区别：点的位置不同，原题是两点在直线同侧
(2)相信你能解决以下问题:
如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC+CB最短。
知识点1 转化
A
B
l
C
你能将原问题转化为这样的问题吗
知识点1 转化
实施计划 如图，作点B关于的对称点B′，
根据轴对称的性质，对于l上任意一点C，都有BC=B′C，
因此AC+BC=AC+B′C。
问题转化为:在直线l上确定一个点C，使AC+B′C最短。
根据“两点之间线段最短”，连接AB′，与l交于点C，点C就是所要确定的点。
A
B
l
B′
C
回顾反思
(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟
在这个问题中，利用轴对称，将两点位于直线同一侧的问题，转化为两点分别位于直线l两侧的问题，从而使问题得以解决。
通过转化，可以把一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的。
知识点1 转化
(2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么
要善于从不同的角度灵活地分析问题，从不同的角度来理解、进行比较，感悟转化策略的优越性。但由于转化的手段和具体方法是多样而灵活的，且与实际问题的内容和特点有关，所以要根据问题的具体情况具体分析。
知识点1 转化
例1 如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A的平分线分别交CD，BC于点H，E，∠BCD的平分线分别交AE，AB于点G，F，连接HF，试说明HF//BC。
知识点1 转化
理解问题
(1)到目前为止，我们已经掌握的说明两条直线平行的方法有哪些
解:同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于第三条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行。
(2)你觉得典例中的图形有哪些全等三角形 请分别写出来。
解:全等三角形有△ ACG与△ AFG， △ ACH与△ AFH， △ HGC与△ HGF与△ EGC。
知识点1 转化
理解问题
(3)观察图形，猜想AE与CF有什么关系 可以通过怎样的途径说明二者的关系 借助二者的关系能得到哪些结论
解: AE 垂直平分 CF。可以先说明 △ACG 与 △AFG 全等，得到∠AGC=∠AGF=90°，再根据等腰三角形“三线合一”的性质说明AE 垂直平分 CF。
根据AE垂直平分CF可以得到HC=HF，进而再根据“等边对等角”得到∠HCF=∠HFC。
知识点1 转化
拟定计划
(1)欲说明HF//BC，可以将其转化为说明哪些角之间的关系 依据是什么
解: 角之间的关系 平行的依据
知识点1 转化
同位角相等，两直线乎行
内错角相等，两直线乎行
同旁内角互补，两直线平行
∠HFC=∠FCB或∠FHE=∠HEC
∠FHC+∠HCB=180°或
∠HFB+∠B=180°
∠DHF=∠DCB或∠DFH=∠B
拟定计划
(2)欲说明两个角相等，有哪些途径能够实现目标 与同伴交流。
解:①等角代换；②平行线的性质；③等边对等角；④轴对称的性质；⑤全等三角形的性质等。
(3)观察图形，猜想图中哪些三角形可能是等腰三角形
解: △ ACF, △ HCF, △ HCE 可能是等腰三角形。
知识点1 转化
拟定计划
(4)观察下面复杂图形分解为简单图形的过程，体会转化策略在解决问题中的作用，并完成填空:
知识点1 转化
知识点1 转化
分解
说明
复杂图形转化为简单图形
△AFG
∠F
HF
∠FCB
知识点1 转化
实施计划
写出你的求解思路，并在小组内交流。
下面是小明的求解思路。
知识点1 转化
解：因为∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCD=90°，
因为CD⊥AB，所以∠CDB=90°，
所以∠BCD+∠B=90°，所以∠ACD=∠B，
因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠BCF，
所以∠ACD+∠DCF=∠B+∠BCF，即∠ACF=∠B+∠BCF。
因为∠AFC=180°-∠CFB，∠B+∠BCF=180°-∠CFB，
所以∠AFC=∠B+∠BCF，所以∠ACF=∠AFC。
知识点1 转化
因为AE平分∠CAB，所以∠CAG=∠FAG.
在△ACG和△AFG中，
∠ACG=∠AFG，∠CAG=∠FAG，AG=AG，
所以△ACG≌△AFG(AAS)，
所以AC=AF，
因为AE平分∠CAB，所以AE垂直平分CF，
所以HC=HF，所以∠HCF=∠HFC。
因为∠HCF=∠FCB，所以∠HFC=∠FCB。
所以HF//BC。
回顾反思
(1)你能总结出本题求解过程中，哪些步骤运用了转化策略吗
知识点1 转化
∠HFC=∠FCB
HC=HF
AE垂直平分CF
HF//BC
AC=AF
△ACG≌△AFG
转化
转化
转化
转化
转化
解:
(2)你还能提出不同的解题思路吗 在你的思路中，哪些环节用到了转化策略 请写出来。
知识点1 转化
解:说明△ACG≌△AFG的思路同小明的思路，所以AC=AF，在△ACH和△AFH中，因为AC=AF，∠CAH=∠FAH，AH=AH，所以△ACH≌△AFH(SAS)，所以∠ACH=∠AFH。因为∠ACH=∠B。所以∠AFH=∠B，所以HF//BC。用到转化策略的环节如下：
知识点1 转化
∠AFH=∠B
△ACH≌△AFH
HF//BC
AC=AF
△ACG≌△AFG
转化
转化
转化
转化
1.如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。
解：如图，阴影部分的面积可转化为4个半圆的面积减去正方形的面积，
即4×π×()2-1=-1。
D C F
A B E
2.如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形.以点B为圆心，AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接AF.求图中阴影部分的面积。
解：阴影部分的面积可转化为扇形ACB的面积，
即×π×2=。
3.(1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么
(2)如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么
答：(1)甲获胜策略是:如果乙在一堆中先取，甲就在另一堆取相同枚数的棋子，什么时候乙把其中一堆取完了，那甲就把另一堆取完，里面就包括最后一枚，这样甲一定能获胜。
3.(1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜的策略是什么
(2)如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么
答：(2)甲获胜策略是:甲要在棋子较多的一堆中先取，使其剩的棋子枚数与另一堆少的相同，乙再在其中一堆取，然后甲就在另一堆取相同枚数的棋子，什么时候乙把其中一堆取完了，那甲就把另一堆取完，里面就包括最后一枚，这样甲一定能获胜。
4.如图，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M，N，使得△PMN的周长最小。
解：如图所示，分别作点P关于OA，OB对称的点P1，P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N，连接MP，NP。
点M，N即为所求的两点。
A
P
O B

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