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第八章 整式的乘法
8.2. 幂的乘方与积的乘方
8.2.2 积的乘方
七下数学 JJ
1.会推导积的乘方的运算性质.
2.掌握积的乘方的运算性质，能熟练运用积的乘方的运算法则进行计算和化简.
幂的意义:
an
=
a·a· … ·a
n个a
同底数幂的乘法运算法则：
am · an
=
am+n
（m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则:
(am)n= (m、n都是正整数)
amn
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂相乘
幂的乘方
其中m , n都是正整数
（am）n=amn
am·an=am+n
想一想 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同 点和不同点？
计算：46×0.256
小明认为46×0.256=（4×0.25）6，马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗？
一般的，如果n是正整数，（ab)n=anbn成立吗？
1. （3×7）2
=（3×7）×（3×7）
=（3×3）×（7×7）
=32×72
2.按照上面的方法，完成下面填空。
（ab）2= 。
（ab）3 = 。
一起探究
同底数幂的乘法
乘法交换律、结合律
乘方的意义
a2b2
a3b3
知识点 积的乘方
知识点1 积的乘方
猜想:
(ab)n=_____. (n为正整数)
anbn
你能说明理由吗？
=(ab) ·(ab) · … ·(ab)
n个ab =(a·a·…a) ·(b·b·…b)
n个a n个b
=anbn
乘方的意义
乘法的交换律、结合律
同底数幂的乘法
结论：
积的乘方的运算性质：
知识点1 积的乘方
(ab)n=_____. (n为正整数)
anbn
积的乘方,等于各因式乘方的积
你能用文字语言叙述这个性质吗？
积的乘方法则
(ab)n =
an·bn
（m,n都是正整数）
积的乘方
乘方的积
积的乘方= .
每个因式分别乘方后的积
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗
即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？
又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
知识点 积的乘方
例1 计算：
(1)(2x)2 ; (2)(3ab)3 ; (3)(-2b2)3 ; (4)(-xy3)2 ;
(5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2·a2
解：
(1) (2x)2
=22x2
= 4x2
(2) (3ab)3
= 33a3b3
= 27a3b3
(3) (-2b2)3
= (-2)3 b6
= -8b6
(4) (-xy3)2
= -x2 (y3)2
=- x2y6
(5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2·a2
=8a6 +9a6 +a6
= 18a6
知识点1 积的乘方
例2 球体表面积计算公式是 .地球可以近似的看成一个球体，它的半径r约为6.37×106 m .地球的表面积大约是多少平方米？（ 取3.14）
解:
＝5.10×1014
答：地球的表面积大约是5.10×1014m2.
知识点1 积的乘方
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy) ;
（3）(-2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9 = 0;
解：原式=9x2y4 +4x2y4
=13x2y4;
解：原式= -8x9·x4
=-8x13.
注意：运算顺序是
先乘方，再乘除，
最后算加减.
计算:
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质 怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明
有两种思路： 一种思路是利用乘法结合律，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则;
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：
方法提示
试用第一种方法证明:
(abc)n=[(ab)·c]n
=(ab)n·cn
= an·bn·cn.
乘方的意义、乘法的交换律与结合律.
知识点 1 积的乘方
计算： -( xyz )4 + ( 2x2y2z2 )2.
解： -(xyz )4 + (2x2y2z2 )2
知识点 1 积的乘方
知识点2 积的乘方的逆应用
(ab)n = an·bn
（m,n都是正整数）
逆向使用:
an·bn = (ab)n
试用简便方法计算:
(1) 23×53
(2) 28×58
(3) (-5)16 × (-2)15
= (2×5)3
= 103
= (2×5)8
= 108
= (-5)×[(-5)×(-2)]15
= -5×1015
= [2×4×(-0.125)]4
= 14
= 1 .
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4
逆用积的乘方的运算性质
逆用幂的乘方的运算性质
幂的乘方的运算
解：原式
例3 计算：
知识点2 积的乘方的逆应用
乘法运算
逆用积的乘方的运算性质
逆用幂的乘方的运算性质
解：原式
还可以这样做
乘方的运算
知识点2 积的乘方的逆应用
(1)（ab2)3=ab6 ( )
×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×
(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
1.判断:
2.下列运算正确的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
4. 计算：(1) 82016×0.1252015= ________;
(2) ________;
8
-3
3.计算 (-x2y)2的结果是（　　）
A．x4y2 B．-x4y2
C．x2y2 D．-x2y2
A
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
5.计算:
解：(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
6.如果（an bm b)3=a9b15,求m, n的值.
（an）3 （bm）3 b3=a9b15,
a 3n b 3m b3=a9b15 ,
a 3n b 3m+3=a9b15,
3n=9 ,3m+3=15.
n=3,m=4.
解：∵（an bm b)3=a9b15,
积的乘方
性质
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
逆用
an·bn = (ab)n
注意
运用积的乘方法则时要注意：
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序）

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