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第八章 整式的乘法
8.2 幂的乘方与积的乘方
8.2.1 幂的乘方
七下数学 JJ
1.会推导幂的乘方的运算性质.
2.理解幂的乘方的运算性质，会利用这一性质进行幂的乘方运算，并解决一些实际问题.
底数幂乘法的运算性质是什么？
am · an = am+n (m、n是正整数)
同底数幂相乘：底数不变,指数相加.
运算形式
运算方法
（同底、乘法）
（底不变、指加法）
问题1 如图，地球、木星、太阳可以近似地看成球体.木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍
球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径.
问题1 如图，地球、木星、太阳可以近似地看成球体.木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍
球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径.
木星的半径约为地球的10倍，
它的体积约为地球的103倍.
太阳的半径约为地球的102倍，
它的体积约为地球的(102)3倍.
问题2 依据同底数幂乘法的性质，210×210×210= .
根据乘方的意义，210×210×210可以表示为 .
由此，能得到什么结论？
230
(210)3
230=(210)3
知识点 幂的乘方
问题2.1
(102)3代表什么意义？
3个102相乘，102×102×102
问题2.2
(102)3＝10( )
(102)3=102×102×102
=102+2+2
=102×3
=106
6
知识点 幂的乘方
想一想：怎样计算(a3)4？
(a3)4 =a3·a3·a3·a3(乘方的意义)
4个a3
= a3+3+3+3(同底数幂的乘法法则)
= a3×4
= a12.
你有什么发现？
(a3)4=a3×4
通过这些算式，能得出什么结论？
猜想：am · an =am+n
你能证明这个结论吗？
知识点 幂的乘方
(am)n = am · am · … · am
= am+m+…+m
= amn(m，n都是正整数)
n个am
n个m
(幂的意义)
(同底数幂的乘法性质)
知识点 幂的乘方
(am)n = amn
(其中m,n都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意：幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.
归纳
幂的乘方法则：
知识点 幂的乘方
例1 计算：
解：
底数不变
指数相乘
知识点 幂的乘方
例2 计算：
解：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
---①幂的乘方
---② 同底数幂相乘
---③合并同类项
知识点 幂的乘方
想一想 同底数幂的乘法和幂的乘方有什么共同点和不同点？
1.从底数看：底数不变. (共同点)
2.从指数看：
同底数幂的乘法，指数相加
幂的乘方，指数相乘
(不同点)
(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘
(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加
( am ) n = a mn (m，n是正整数).
am·an = a m+n (m，n是正整数).
知识点 幂的乘方
练一练 计算：
= b5×5
= b25 ;
(b5)5
解:(1)
= an×3
= a3n ;
(2)
(an)3
(1) (b5)5；
(2) (an)3；
(3) －(x2)m；
(4) (y2)3 · y；
(5) 2(a2)6 －(a3)4.
= －x2×m
= －x2m ;
(3)
－(x2)m
= y2×3 · y
= y6 · y
= y7;
(4)
(y2)3 · y
=2a2×6 －a3×4
=2a12－a12
=a12.
(5)
2(a2)6 – (a3)4
知识点 幂的乘方
=(x3)( ) =(x4)( )
=x7 x( ) =x x( )
x12=(x2)( ) =(x6)( )
若 (am) n=am n
=an m
=(a m)n
则 a mn
=(a n)m
6
2
4
5
11
3
例如:
幂的乘方的推广
[(am)n]p=
(amn)p=amnp
（m,n,p为正整数）
同样：am+n = am · an （m，n都是正整数).
例如,
公式的逆向运用
知识点 幂的乘方
例3
逆用
解：
知识点 幂的乘方
(1)已知ax=2,ay=3，求a2x+2y的值；
(2)若42a+1=64,解关于x的方程2ax+3=5.
解：(1)∵ax=2,ay=3,
∴ax·ay=2×3,
∴ax+y=6,a2x+2y=62=36.
(2)∵42a+1=64,
∴42a+1=43,
∴2a+1=3,∴a=1,
∴2ax+3=5化为2x+3=5,
x=1.
练一练
知识点 幂的乘方
1.下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.
2.计算.
3.计算
解：∵230＝ 23×10
4.比较230与320的大小.
＝(23)10
320＝32×10
＝(32)10
又∵23＝8，32＝9
而8＜9
∴230＜320
幂的乘方
法则
（am）n=amn (m,n是正整数）
注意
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：
(am)n=amn; am ﹒an=am+n
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m

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