资源简介

深圳市历年（2011-2024）中考数学真题压轴填空题汇编
一、填空题
1．（2019·深圳）如图，在平面直角坐标系中，A（0，-3），∠ABC=90°，y轴平分∠BAC，AD=3CD，若点C在反比例函数y= 上，则k=　 　 ．
2．（2013·深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第7幅图中有　 　个正方形．
3．（2014·深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有　 　．
4．（2016·深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将 ABCO绕点A逆时针旋转得到 ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k的值为　 　
5．（2011·深圳）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为 ，则tanA的值是　 　．
6．（2020·深圳）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， ，则 =　 　．
7．（2019·新乡模拟）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=　 　．
8．（2021·深圳）如图，在 中，D，E分别为 ， 上的点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的长为　 　.
9．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为　 　．
10．（2023·深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则　 　．
11．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 　 　.
12．（2018·深圳）在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF= ，则AC=　 　．
13．（2012·深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为　 　．
14．（2017·深圳）如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， 　 　．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，
则∠CHD=90°． ∵∠CHD=90°=∠AOD，∠CDH=∠ADO，
∴△CDH∽△ADO，∴
∵A(0，-3）， ∴OA=3． ∵AD=3CD，∴ ，∴CH=1．
∵y轴平分∠BAC，∴∠OAB=∠OAD，
又∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
∴△AOB≌△AOD，OB=OD，AB=AD．
法一：∵∠ABC=90°，∠CHD=90°，∠ABO+∠CBH=90°=∠BCH+∠CBH，
∴∠ABO=∠BCH，又∵∠AOB=∠BHC=90°，∴△AOB∽△BHC，
于是设OB=OD=x，则DH= x，BH= x．
代入 得 ， ·x=3×1，解得x=±
又x>0，∴x=
∴OH= ，k=OH·CH= .
法二：∵AB=AD，AD=3CD，∴
又y轴平分∠BAC，∴由角平分线定理可得 ，
∵∠BOE=∠BHC=90°，∠OBE=∠HBC，
∴△BOE∽△BHC，
∵CH=1，∴OE=
∵∠ABC=90°，∠BOE=90°，∴由射影定理可得OB2=OA·OE=3× = ，
0B= ．又 ，BH= ，OH= ，k=OH·CH=
【分析】一、过C作CH⊥x轴于H，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△CDH∽△ADO，由相似三角形对应边比例，可得，由OA=3，AD=3CD，可求出CH=1.根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△AOB∽△BHC，即得.设OB=OD=x，则DH= x，BH= x．即得，可求出x= ，由OH=OD+DH=+=，可得C（，1）.将点C代入反比例函数解析式中，即可求出k值.
2．【答案】140
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4=5个正方形，
第三个有1+4+9=14个正方形，
…
第n个有： n（n+1）（2n+1）个正方形，
第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，
故答案为：140．
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…从而得到答案．
3．【答案】485
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．
4．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，
则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，
故∠AOF=60°=∠DOM，
∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4，
∴MO=2，MD=2 ，∴D（﹣2，﹣2 ），∴k=﹣2×（﹣2 ）=4 ．故答案为：4 ．
【分析】根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，进而求出D点坐标，进而得出k的值．此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．
5．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，
∵已知点C、点B的坐标，
∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2 ，
∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x， x﹣1），
根据两点距离公式可得：
AB2=x2+ ，
AC2=（x﹣2）2+ ，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
解得：x=﹣6，y=﹣4，
∴AB=6 ，
∴tanA= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2 ，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案．
6．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
BE⊥AD，
，
∴
∴
由 ，
∴
设 则
故答案为：
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明 ，得到 再证明 利用 设 利用三角形的面积公式可得答案．
7．【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△BCE的面积为8，
∴，
∴BC OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴，
∴AB OB =BC OE
∴k=AB BO=BC OE=16．
故答案为：16．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA BO的值，从而求出△AOB的面积．
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解法1：如图，延长 ，交 于点G，
由折叠，可知 ，
∵ ，∴ ，
延长 ， ，交于点M，
∵ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又易证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
解法2：如图，延长 ，交 于点G，
由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
延长 ， ，交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
解法3：由题意易证点D为 的中点，
如图，取 的中点M，连接 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
解法4：由折叠，易证 ，
∴ ，∴ ，
过点F作 ，交 延长线于点M，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
解法5：如图过点B作 ，交 于点M，
∴四边形 为平行四边形，
且 ，
由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
解法6：
延长 至点M，使得 ，连接 ，
易证 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【分析】解法1：延长ED，交CF于点G，先证出四边形BFEM为平行四边形，得出BM=10，再证出AE=AM，利用AM=BM-AB，即可求出AE的长；
解法2：根据平行线的性质和等腰三角形的判定得出EM=EF=10，AM=AB=4，再利用AE=EM-AM，即可求出AE的长；
解法3 ：取AC的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出∠MED=∠MDE，得出EM=MD=2，从而求出AM的长，利用AE=AM-EM，即可求出AE的长；
解法4：先证出四边形AMFE为平行四边形，得出AM=EF=EC=10，AE=MF=MB，利用MB=AM-AB ， 即可求出AE的长；
解法5：过点B作BM∥AC，交EF于点M，先证出四边形ABME为平行四边形，得出AE=MB=MF，EM=AB=4，利用MF=EF-EM=EC-EM， 即可求出AE的长；
解法6：延长ED至点M，使得DM=ED ，连接BM，根据等角对等边证出BN=BM=10，AE=AN ，利用AN=BN-AB，即可求出AE的长.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作EG⊥AF，连接CF，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°，
在Rt△EGF中，
∵EF= ，∠AFE=45°，
∴EG=FG=1，
又∵AF=4，
∴AG=3，
∴AE= ，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACF=45°，
∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ，
即 ，
∴AC= .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°，再由三角形外角性质得∠AFE=45°，在Rt△EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3，在Rt△AEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分∠ACB，∠ACF=45°，根据相似三角形的判定和性质得 ，从而求出AC的长.
13．【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6 ，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 ，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
14．【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，
∵∠ABC=∠MPN=90°.
∴∠PEB+∠PFB=180°.
又∵∠PEB+∠PEQ=180°.
∴∠PFB=∠PEQ.
∴△QPE∽△RPF.
∵PE=2PF.
∴PQ=2PR=2BQ.
∴△AQP∽△ABC.
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5.
设PQ=4x，
∴AQ=3x，AP=5x，PR=BQ=2x.
∴AB=AQ+BQ=5x=3.
∴x=.
∴AP=5x=3.
故答案为3.
【分析】如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，由题易得∠PFB=∠PEQ；可得△QPE∽△RPF；△AQP∽△ABC；根据相似三角形的性质与已知条件即可求出AP.
1 / 1深圳市历年（2011-2024）中考数学真题压轴填空题汇编
一、填空题
1．（2019·深圳）如图，在平面直角坐标系中，A（0，-3），∠ABC=90°，y轴平分∠BAC，AD=3CD，若点C在反比例函数y= 上，则k=　 　 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，
则∠CHD=90°． ∵∠CHD=90°=∠AOD，∠CDH=∠ADO，
∴△CDH∽△ADO，∴
∵A(0，-3）， ∴OA=3． ∵AD=3CD，∴ ，∴CH=1．
∵y轴平分∠BAC，∴∠OAB=∠OAD，
又∵OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
∴△AOB≌△AOD，OB=OD，AB=AD．
法一：∵∠ABC=90°，∠CHD=90°，∠ABO+∠CBH=90°=∠BCH+∠CBH，
∴∠ABO=∠BCH，又∵∠AOB=∠BHC=90°，∴△AOB∽△BHC，
于是设OB=OD=x，则DH= x，BH= x．
代入 得 ， ·x=3×1，解得x=±
又x>0，∴x=
∴OH= ，k=OH·CH= .
法二：∵AB=AD，AD=3CD，∴
又y轴平分∠BAC，∴由角平分线定理可得 ，
∵∠BOE=∠BHC=90°，∠OBE=∠HBC，
∴△BOE∽△BHC，
∵CH=1，∴OE=
∵∠ABC=90°，∠BOE=90°，∴由射影定理可得OB2=OA·OE=3× = ，
0B= ．又 ，BH= ，OH= ，k=OH·CH=
【分析】一、过C作CH⊥x轴于H，根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△CDH∽△ADO，由相似三角形对应边比例，可得，由OA=3，AD=3CD，可求出CH=1.根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△AOB∽△BHC，即得.设OB=OD=x，则DH= x，BH= x．即得，可求出x= ，由OH=OD+DH=+=，可得C（，1）.将点C代入反比例函数解析式中，即可求出k值.
2．（2013·深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第7幅图中有　 　个正方形．
【答案】140
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：观察图形发现第一个有1个正方形，
第二个有1+4=5个正方形，
第三个有1+4+9=14个正方形，
…
第n个有： n（n+1）（2n+1）个正方形，
第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，
故答案为：140．
【分析】观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…从而得到答案．
3．（2014·深圳）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有　 　．
【答案】485
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．
4．（2016·深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将 ABCO绕点A逆时针旋转得到 ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k的值为　 　
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，
则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，
故∠AOF=60°=∠DOM，
∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4，
∴MO=2，MD=2 ，∴D（﹣2，﹣2 ），∴k=﹣2×（﹣2 ）=4 ．故答案为：4 ．
【分析】根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，进而求出D点坐标，进而得出k的值．此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．
5．（2011·深圳）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为 ，则tanA的值是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，
∵已知点C、点B的坐标，
∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2 ，
∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x， x﹣1），
根据两点距离公式可得：
AB2=x2+ ，
AC2=（x﹣2）2+ ，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，
解得：x=﹣6，y=﹣4，
∴AB=6 ，
∴tanA= = = ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2 ，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案．
6．（2020·深圳）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°， ，则 =　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
BE⊥AD，
，
∴
∴
由 ，
∴
设 则
故答案为：
【分析】过B点作BE//AD交AC于点E，证明 ，得到 再证明 利用 设 利用三角形的面积公式可得答案．
7．（2019·新乡模拟）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=　 　．
【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△BCE的面积为8，
∴，
∴BC OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴，
∴AB OB =BC OE
∴k=AB BO=BC OE=16．
故答案为：16．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA BO的值，从而求出△AOB的面积．
8．（2021·深圳）如图，在 中，D，E分别为 ， 上的点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解法1：如图，延长 ，交 于点G，
由折叠，可知 ，
∵ ，∴ ，
延长 ， ，交于点M，
∵ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又易证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
解法2：如图，延长 ，交 于点G，
由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
延长 ， ，交于点M，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
解法3：由题意易证点D为 的中点，
如图，取 的中点M，连接 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ．
解法4：由折叠，易证 ，
∴ ，∴ ，
过点F作 ，交 延长线于点M，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
解法5：如图过点B作 ，交 于点M，
∴四边形 为平行四边形，
且 ，
由折叠，可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
解法6：
延长 至点M，使得 ，连接 ，
易证 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【分析】解法1：延长ED，交CF于点G，先证出四边形BFEM为平行四边形，得出BM=10，再证出AE=AM，利用AM=BM-AB，即可求出AE的长；
解法2：根据平行线的性质和等腰三角形的判定得出EM=EF=10，AM=AB=4，再利用AE=EM-AM，即可求出AE的长；
解法3 ：取AC的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出∠MED=∠MDE，得出EM=MD=2，从而求出AM的长，利用AE=AM-EM，即可求出AE的长；
解法4：先证出四边形AMFE为平行四边形，得出AM=EF=EC=10，AE=MF=MB，利用MB=AM-AB ， 即可求出AE的长；
解法5：过点B作BM∥AC，交EF于点M，先证出四边形ABME为平行四边形，得出AE=MB=MF，EM=AB=4，利用MF=EF-EM=EC-EM， 即可求出AE的长；
解法6：延长ED至点M，使得DM=ED ，连接BM，根据等角对等边证出BN=BM=10，AE=AN ，利用AN=BN-AB，即可求出AE的长.
9．（2022·深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BD交BF延长线与点H，连接EH，
∵
是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质计算求解即可。
10．（2023·深圳）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥DE于点M，
由折叠可得AE=AB，又AB=AC，
∴AB=AC=AE，
设AB=AC=AE=20，
∵AG∶CG=3∶1，
∴AG=15，CG=5，
由折叠知：∠E=∠B，
∴，
设AM=3x，EM=4x，
在Rt△AME中，由勾股定理得AM2+ME2=AE2，
即（3x）2+（4x）2=202，
解得x=4，
∴AM=12，EM= 16，
在Rt△AMG中，由勾股定理得AM2+MG2=AG2，
即122+MG2=152，
解得MG=9，
∴GE=ME-MG=7，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠B=∠E，
∴∠C=∠E，
又∠AGE=∠DGC，
∴△AEG∽△DCG，
∴，即
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AM⊥DE于点M，易得AB=AC=AE，设AB=AC=AE=20，则AG=15，CG=5，由折叠性质及等角的同名三角函数值相等得，设AM=3x，EM=4x，在Rt△AME中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得到AM、EM的长，在Rt△AMG中，由勾股定理可算出MG的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△DCG，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DG的长，最后根据同高三角形的面积之比等于底之比即可求出答案.
11．（2024·深圳）如图， 在 中， 为 上一点， 且满足 ， 过 作 交 延长线于点 ， 则 　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G
设AB=13，则CB=13，由tan∠B=，得AF=5，BF=12，故CF=1，
而由得BD=8，DC=5，得DF=4；
易知tan∠ACF=，
由∠GCE=∠ACF，得tan∠GCE=5，设CG=a，则GE=5a，
∠ADF+∠GDE=90°，∠ADF+∠DAF=90°
得∠DAF=∠GDE，又∠AFD=∠DGE=90°，
得△ADF~△DEG，
故即有
解得a=，
由AF||EG得
故填：.
【分析】由考虑构造直角三角形，设AB=13，可得其它线段长度，利用△ADF~△DEG可得a值，即可求出的值.
12．（2018·深圳）在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF= ，则AC=　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作EG⊥AF，连接CF，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°，
在Rt△EGF中，
∵EF= ，∠AFE=45°，
∴EG=FG=1，
又∵AF=4，
∴AG=3，
∴AE= ，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴CF平分∠ACB，
∴∠ACF=45°，
∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF，
∴△AEF∽△AFC，
∴ ，
即 ，
∴AC= .
故答案为： .
【分析】作EG⊥AF，连接CF，根据三角形内角和和角平分线定义得∠FAB+∠FBA=45°，再由三角形外角性质得∠AFE=45°，在Rt△EGF中，根据勾股定理得EG=FG=1，结合已知条件得AG=3，在Rt△AEG中，根据勾股定理得AE= ；由已知得F是三角形角平分线的交点，所以CF平分∠ACB，∠ACF=45°，根据相似三角形的判定和性质得 ，从而求出AC的长.
13．（2012·深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为　 　．
【答案】7
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6 ，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 ，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．
【分析】过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
14．（2017·深圳）如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， 　 　．
【答案】3
【知识点】余角、补角及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，
∵∠ABC=∠MPN=90°.
∴∠PEB+∠PFB=180°.
又∵∠PEB+∠PEQ=180°.
∴∠PFB=∠PEQ.
∴△QPE∽△RPF.
∵PE=2PF.
∴PQ=2PR=2BQ.
∴△AQP∽△ABC.
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5.
设PQ=4x，
∴AQ=3x，AP=5x，PR=BQ=2x.
∴AB=AQ+BQ=5x=3.
∴x=.
∴AP=5x=3.
故答案为3.
【分析】如图：作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R，由题易得∠PFB=∠PEQ；可得△QPE∽△RPF；△AQP∽△ABC；根据相似三角形的性质与已知条件即可求出AP.
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