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深圳市历年（2011-2024）中考数学真题压轴解答题汇编
一、综合题
1．（2014·深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
【答案】（1）解：直线AB的解析式为y=2x+4，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．
∴A（﹣2，0）、B（0，4）．
∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，
点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2
（2）解：平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），
则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，
∴F（0，﹣m2+2m+4）．
①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，
∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
∴△BAO∽△BFE，
∴ ，即 ，可得：BE=2EF．
如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．
∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），
∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH BF，EF2=FH BF，
又∵BE=2EF，∴BH=4FH，
即：4|﹣m2|=|2m|．
若﹣4m2=2m，解得m=﹣ 或m=0（与点B重合，舍去）；
若﹣4m2=﹣2m，解得m= 或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为锐角，故此情形不成立．
∴m=﹣ ，
∴E（﹣ ，3）．
②假设存在．
联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），
∴S△ACD= ×4×4=8．
∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，
∴S△EFG=64或S△EFG=1．
联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．
∴点E与点G横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．
当顶点E在y轴左侧时，如答图2﹣2，
S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF |xG|﹣ BF|xE|= BF （|xG|﹣|xE|）=BF．
∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．
∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，
∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．
当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．
∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．
∵F（0，﹣m2+2m+4），
∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；
综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．
2．（2013·深圳）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数 的图象与直线AB相交于C、D两点，若 ，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．
【答案】（1）解：∵A（m，0），B（0，n），
∴OA=m，OB=n．
∴S△AOB= ．
∵m+n=20，
∴n=20﹣m，
∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50
∵a=﹣ ＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴m=10时，S最大=50
（2）解：∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A（10，0），B（0，10），
设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得： ，
y=﹣x+10．
∵ ，
∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，
∴S△OBD=S△OAC=a，
∴S△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S△OAC=5，
∴ OA y=5，
∴y=1．
1=﹣x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1= ，
∴k=9；
（3）解：移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），
O′A=10﹣t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴ ，
∴
S=40 ，
∴ （0＜t＜10）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
3．（2021·深圳）在正方形 中，等腰直角 ， ，连接 ，H为 中点，连接 、 、 ，发现 和 为定值.
（1）① ▲ ；
② ▲ .
③小明为了证明①②，连接 交 于O，连接 ，证明了 和 的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， ， （ ）
求①　 　（用k的代数式表示）
②　 　（用k、 的代数式表示）
【答案】（1）解：① ；②45°；③证明：如图所示：
由正方形性质得： ，O为 的中点
又∵H为 的中点，则 ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴ ，又∵
∴
又
∴ ，又∵
∴
∴ ，
∴
（2）；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接AC，交BD于点O，连接OH，
∵△BCD≌△DAB，
∴BC=AD，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD，OA=OC，
∵H为CE的中点 ，
∴OH∥AE，OH=AE，
∴∠HOC=∠EAC，
∵∠COD=∠BDA+∠DAC，∠BAD=∠EAF，
∴∠HOD=∠HOC+∠COD=∠EAC+∠EAF+∠DAC=∠DAF，
∵，
∴，，
∴△DAF∽△DOH，
∴，
故答案为：；
②如图，过点H作HM⊥DF于点M，
∴∠HMD=∠HMF=90°，
∵△DAF∽△DOH，
∴∠HDO=∠ADF，
∴∠HDF=∠HOD+∠ODF=∠ADF+∠ODF=∠BDA=，
∴HM=OH·，DM=OH·，
∵，
∴FD=，
∵HF2=HM2+MF2=HM2+（DF-DM）2，
=（OH·）2+（-OH·）2，
=，
∴，
故答案为：
【分析】（1）①先证出，∠BOH=∠BAF，从而得出△DAF∽△DOH，即可得出
；
②根据△DAF∽△DOH，得出∠HBO=∠FBA，利用∠HBF=∠HBO+∠DBF=∠DBA=45°，即可得出答案；
（2）①连接AC，交BD于点O，连接OH，先证出∠HOD=∠DAF，，从而得出△DAF∽△DOH，即可得出；
②过点H作HM⊥DF于点M，先证出∠HDF=，再根据锐角三角函数定义得出HM=OH·，DM=OH·，由，得出FD=，利用勾股定理得出HF2=HM2+（DF-DM）2，代入进行化简，求出HF2=，即可求出.
4．（2018·深圳）已知顶点为 抛物线 经过点 ，点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.
【答案】（1）解：把点 代入 ，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为： 或 .
（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A、B的坐标得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-1，
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
∴OE=1，FE= ，
∵∠OPM=∠MAF，
∴当OP∥AF时，△OPE∽△FAE，
∴
∴OP= FA= ，
设点P（t，-2t-1），
∴OP= ，
化简得：（15t+2）（3t+2）=0，
解得 ， ，
∴S△OPE= ·OE· ，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
综上，△POE的面积为 或 .
（3）Q（- ， ）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1，E（0，-1），
设Q（m，-2m-1），N1（n，0），
∴N（m，-1），
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1
∴NN1中点坐标为（ ， ），EN=EN1，
∴NN1中点一定在直线AB上，
即 =-2× -1，
∴n=- -m，
∴N1（- -m，0），
∵EN2=EN12，
∴m2=（- -m）2+1，
解得：m=- ，
∴Q（- ， ）.
【分析】（1）用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根据相似三角形的判定和性质得OP= FA= ，设点P（t，-2t-1），根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式△POE的面积.
（3）由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1，E（0，-1），设Q（m，-2m-1），N1（n，0），从而得N（m，-1），根据翻折的性质知NN1中点坐标为（ ， ）且在直线AB上，将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m，即N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=（- -m）2+1，解之即可得Q点坐标.
5．（2023·深圳）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则 ．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠CFB=∠A=90°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE与△FCB中，
∵∠CFB=∠A=90°，∠ABE=∠BCF，BE=BC，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；
②20；
（2）解：如图，连接CF、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵CE⊥AB，
∴，
∴BC=3BE，
∴AB=3BE，
∴S△BEC=×S菱形ABCD=×24=4，
S△BFC=S菱形ABCD=×24=12，
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，
∴EF·BC=12+8=16，
∴EF·BC=32；
（3）或或.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）②解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，且S矩形ABCD=20，
∴AB×BC=20，
∵△ABE≌△FCB，
∴CF=AB，BE=BC，
∴BE·CF=20；
故答案为：20；
（3）解：①当点G在AD边上时，如图，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，CE=2，
∴CD=AB=6，DE=CD-CE=4，AD∥BC，AB∥CD，
∴△EDM∽△ECF，
∴，
，
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，
∵AB∥CD，∴∠MDC=∠A=60°，
在Rt△DEH中，∠MDC=60°，
∴∠HED=30°，
∴DH=DE=2，EH=DH=2，
∵S△MGE=GM·HE=，
∴GM×2=，
∴GM=7，
∵GE⊥EF，FH⊥GM，
∴∠MGE=∠GEM=90°，
∴∠MEH+∠HEG=90°=∠HEG+∠HGE，
∴∠MEH=∠HGE，
∴△GEH∽△EMH，
∴，
∴HE2=HG·HM，
设AG=a，则GD=AD-AG=5-a，
GH=GD+HD=7-a，HM=GM-GH=a，
∴，
解得a=3或a=4，
即AG=3或AG=4；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，
设AG=x，则BN=AG=x，EN=DE-DN=4-x，
∵GN∥CM，
∴△ENG∽△ECM，
∴，
∴，
∴，
∵EF·EG=，
∴S△MEF=，
过点E作EH⊥BC于点H，
在Rt△EHC中，EC=2，∠ECH=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=EC=1，EH=CH=，
∴S△MEF=MF·EH，
∴，
∴，
∴FH=MF-CM=，
，
∵EF⊥GE，EH⊥BC，
∴∠FEM=∠FHM=90°，
∴∠FEH+∠HEM=∠HEM+∠M=90°，
∴∠M=∠FEH，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
∴EH2=FH·HM，
即，
解得x1=，x2=8（舍去），
即AG=；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，
在Rt△BTC中，∠C=60°，
∴∠TBC=30°，
∴CT=BC=，BT=TC=，
∴S△BTC=BT·TC=，
∵EF·EG=，
∴S△EFG=EF·EG=，
∵＜，
∴点G不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或.
【分析】（1）①由矩形及垂直的定义可得∴∠CFB=∠A=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠BCF，从而用AAS判断出△ABE≌△FCB；
②由矩形的面积计算公式可得AB×BC=20，由全等三角形的对应边相等得CF=AB，BE=BC，从而等量代换即可得出答案；
（2）由菱形的四边相等及对边平行得AB=BC，AD∥BC，则∠A=∠CBE，由等角的同名三角函数值相等得，则AB=BC=3BE，由几何图形的面积计算方法得S△BEC=×S菱形ABCD=4，S△BFC=S菱形ABCD=12，由平行线的性质得EF⊥BC，由对角线互相垂直的几何图形的面积等于两对角线乘积的一半及割补法可得S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，从而代入计算可得答案；
（3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，先证△EDM∽△ECF，由相似三角形对应边成比例及同高三角形面积之比等于底之比得，结合已知得S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，根据含30°角三角形的性质得DH、EH的长，进而由等面积法得S△MGE=GM·HE=，从而可求出GM=7，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GEH∽△EMH，由相似三角形对应边成比例得HE2=HG·HM，设AG=a，然后用含A的式子表示出GD、GH、HM，从而代入求解得AG的长；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG=x，用含x的式子表示出BN=AG=x，EN=4-x，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ENG∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得，由同高三角形的面积之比等于底之比得，由等面积法可得S△MEF=，过点E作EH⊥BC于点H，由含30°角直角三角形的性质得CH=1，EH=，从而代入计算可表示出MF，进而表示出FH、MH、由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FHE∽△EHM，由相似三角形对应边成比例得EH2=FH·HM，从而代入求解可得AG的长；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，由含30°角直角三角形的性质得CT=，BT=，由三角形面积计算方法可得S△BTC=，S△EFG=，由于＜，从而得出此种情况不成立.
6．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3）， ∴，
解得，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）解：存在， 当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，
∴（4﹣m）=m，m=﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN=PD sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，
∵PM=PE，
∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；
（3）解法1： ∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
∴B（1，0），
∴S△EBC=EB OC=3，
∵2S△FBC=3S△EBC，
∴S△FBC=，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，
∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB HQ﹣BH HF﹣QF FM=BH（HQ﹣HF）﹣QF FM=BH QF﹣QF FM=QF （BH﹣FM）= FQ OB=FQ=，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=﹣3x+3，
设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
解法2：
设点F的坐标为（x，﹣x2﹣2x﹣3），过点F作FM垂直y轴于点M，并与BC交于点N，如图4，
CM=CO﹣MO=3﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x，
易得MN=CM=x2+x，
∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x，
同解法1可求得S△FBC=，
即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN CM+FN MO=FN CO=（x2﹣x）=，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当 点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长 可求得F点坐标．
7．（2011·深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3
（2）解：存在．
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=﹣4+4+3=3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴直线EF′的解析式为：y=2x﹣1，
∴当y=0时，2x﹣1=0，得x= ，
即H（ ，0），
当x=1时，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H= = ，DG= = ，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ + + =2+2
（3）解：存在．
∵BD= =3 ，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴ ，
即 = ，
∴MN= （1+c），DM= ，
要使△DNM∽△BMD，
需 ，即DM2=BD MN，
可得：9+c2=3 × （1+c），
解得：c= 或c=3（舍去）．
当x= 时，y=﹣（ ﹣1）2+4= ．
∴存在，点T的坐标为（ ， ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的三种形式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BD MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
8．（2016·深圳）如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y= x﹣ 分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）．
（2）解：若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中 ，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得 ，解得 ，∴直线AP解析式为y= x+1，联立 ，解得 ，∴P点坐标为（ ， ）；若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（ ， ）．
（3）解：如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y= x﹣ ，
∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），
∴tan∠OFC= = ，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ= ，
不妨设DQ=t，DH= t，HQ= t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S△DEQ= DE HQ= × t×t= t2，
若DQ=QE，则S△DEQ= DE HQ= ×2DH HQ= × t× t= t2，
∵ t2＜ t2，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x， x﹣ ），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，
当x=﹣ 时，tmax=3，
∴（S△DEQ）max= t2= ，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；
　　　　（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；
　　　　（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值． 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
9．（2020·深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 ，点O、B、C的对应点分别为点 ， ， ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为（-1，4）
∵A(-3，0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ，解得：
∴直线AD的解析式为y=2x+6，
当 在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0∴OC=O＇C＇=3，O＇B＇=OB=1，OB＇=1-t
∵O＇C//OC
∴△ ∽△O M
∴ ，即 ，解得：OM=3(1-t)
S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇
=
②当 时， 完全在四边形AOCD内，
③当 时，如图所示，过G点作GH⊥ ，设HG=x，
∵GH//AB
∴ ，∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴ ，
∵直线AD的解析式为y=2x+6，
∴
∴ ，
∴ ，KO＇=2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇= C＇K+AO＇
∴
∴
S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK
=
∴
综上： ；
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴ =-
∴ ，即
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分010．（2012·深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=　 　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=　 　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
【答案】（1）10；10±2
（2）解：由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；
令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．
∴S=S△APQ= AP AQ= （ ﹣2）（b﹣4）= b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；
令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3．
S=S梯形APQD= （DQ+AP） AD=b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；
令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3，CQ=7﹣ ．
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣ CP CQ=- b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．
【知识点】一次函数的实际应用；直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）①直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（ ，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN= ，PN= ，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2﹣ ），代入直线解析式求得：b=10﹣2 ；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2 ．
【分析】（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2﹣4所示．
11．（2019·深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B(-3，0），C(-3，8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交□E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是□E的切线；
（2）点F为x轴上任意一点，连接CF交□E于点G，连接BG：
当tan∠FCA= ，求所有F点的坐标　 　（直接写出）；
【答案】（1）证明：法一：连接BD、ED
∵BC为直径
∴∠BDC=90°
∴∠BDA=90°
∵O为AB中点；E为BC中点
∴OD=OA，CE=DE
∴∠OAD=∠ODA，∠C=∠CDE
∵∠C+∠OAD=90°
∴∠EDO=180°-∠EDC-∠0DA=90°
∴OD为圆E的切线
法二：
连接BD、ED、OE
∵BC为直径
∴∠BDC=90°
∵O为AB中点．
∴OD= AB=OB
在△BOE与△DOE中
∴△BOE≌△DOE
∴∠ODE=∠EBO=90°
∴OD为□E的切线
（2）F(5，0），F( ，0) ②求 的最大值。 解：法一：取CF的中点了，连结BT，则CF=2BT ∵BT≥BG ∴ 法二：设BF=a，CF= BG= ∴ 当 =0时， 最大， 此时a=8， = 法三：同法二 =k≥0， =k ∴8a=k·a2+64k， ∴ka2-8a+64k=0 ∴△=64-4k·64k≥0 ∴k2≤ ∴0【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）法一：①当F在A点右侧时
过点A作AM⊥AC交CF于点M，过M作MH交x轴于H点
∵∠CAB+∠MAH=90°
∠CAB+∠BCA=90°
∴∠MAH=∠BCA
∵∠CBA=∠MHA=90°
∴△BCA∽△HAM
∴
∴AH=
，MH=
∴M（
，
）
∴CM：y=-x+5
∴F(5，0）
②当F在A点左侧时
过点A作AM⊥AC，交CF延长线于点M，过M作AH的垂线交AH延长线于N．
∵∠CAIH+∠AMAN=90°
∠CAH+∠ACH=90°
∴∠MAN=∠ACH
∵∠H=∠N=90°
∴△CAH∽△NAM
∴AN=
，MN=
∴M（
，
）
∴CM：y=
x+
∴F（
，0）
法二：①当F在A点右侧
tan ∠BCF=tan(∠BCA+∠ACF)
=
=
=1
∴
∴BF=8
F(5，0)
②点F在A点左侧
tan∠BCF =tan(∠BCA-∠FCA)
=
=
=
∴
BF=
∴F(
，0)
【分析】（1）方法一：连接BD、ED，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC=90°，即得∠BDA=90° .利用直角三角形的性质，可得OD=OA，CE=DE，根据等边对等角，可得∠OAD=∠ODA，∠C=∠CDE .由∠C+∠OAD=90°，可得∠EDO=180°-∠EDC-∠ODA=90°，从而可证OD为圆E的切线.
（2）方法一：分两种情况讨论，①当点F在点A的右边时，
过点A作AM⊥AC交CF于点M，过M作MH交x轴于H点，先求出M（ ， ），利用待定系数法求出直线CM的解析式，再求出直线与x轴交点的坐标即可.②当F在点ADE左侧时，利用tan∠BCF= ，求出BF的长即可.取CF的中点T，连结BT，则CF=2BT ，由于BT≥BG，可得 ，从而求出最大值.
12．（2017·深圳）如图，抛物线 经过点 ，交y 轴于点C：
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）．
（2）点 为 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 使 ，若存在请直接给出点 坐标；若不存在请说明理由．
（3）将直线 绕点 顺时针旋转 ，与抛物线交于另一点 ，求 的长．
【答案】（1）解：依题可得：
解得：
∴y=-x2+x+2.
（2）解：依题可得：AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB×OC=×2×5=5.
∵S△ABC=S△ABD.
∴S△ABD=×5=.
设D（m，-m2+m+2）（m＞0）.
∵S△ABD=AB|yD|=.|
×5×|-m2+m+2|=.
∴m=1或m=2或m=-2（舍去）或m=5
∴D1（1，3），D2（2，3），D3（5，-3）.
（3）解：过C作CF⊥BC交BE于点F；过点F作FH⊥y轴于点H.
∵∠CBF=45°，∠BCF=90°.
∴CF=CB.∵∠BCF=90°，∠FHC=90°.
∴∠HCF+∠BCO=90°，∠HCF+∠HFC=90°
∴∠HFC=∠OCB.∵
∴△CHF≌△BOC（AAS）.
∴HF=OC=2，HC=BO=4，∴F（2，6）.
设直线BE解析式为y=kx+b.
∴
解得∴直线BE解析式为：y=-3x+12.
∴
解得：x1=5，x2=4（舍去）∴E（5，-3）.
BE==.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式.
（2）依题可得：AB=5，OC=2，求出S△ABC=AB×OC=×2×5=5；根据S△ABC=S△ABD；求出S△ABD=×5=.
设D（m，-m2+m+2）（m＞0）.根据三角形的面积公式得到一个关于m的方程，求解即可.
（3）过C作CF⊥BC交BE于点F；过点F作FH⊥y轴于点H；根据同角的余角相等得到∠HFC=∠OCB；再根据条件得到△CHF≌△BOC（AAS）；利用其性质可求出HF=OC=2，HC=BO=4，从而得到F（2，6）；用待定系数法求直线BE解析式；再把抛物线解析式和直线BE解析式联立得到方程组求E点坐标，再根据勾股定理求出BE长.
13．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
14．（2022·深圳）
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，AB=6，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）解：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）解：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
1 / 1深圳市历年（2011-2024）中考数学真题压轴解答题汇编
一、综合题
1．（2014·深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，
①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．
2．（2013·深圳）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．
（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？
（2）如图2，在（1）的条件下，函数 的图象与直线AB相交于C、D两点，若 ，求k的值．
（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．
3．（2021·深圳）在正方形 中，等腰直角 ， ，连接 ，H为 中点，连接 、 、 ，发现 和 为定值.
（1）① ▲ ；
② ▲ .
③小明为了证明①②，连接 交 于O，连接 ，证明了 和 的关系，请你按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2， ， （ ）
求①　 　（用k的代数式表示）
②　 　（用k、 的代数式表示）
4．（2018·深圳）已知顶点为 抛物线 经过点 ，点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.
5．（2023·深圳）（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则 ．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
6．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
7．（2011·深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2016·深圳）如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y= x﹣ 分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
9．（2020·深圳）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求解抛物线解析式；
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 ，点O、B、C的对应点分别为点 ， ， ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；
（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2012·深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．
（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=　 　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=　 　时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．
11．（2019·深圳）已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B(-3，0），C(-3，8)，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交□E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是□E的切线；
（2）点F为x轴上任意一点，连接CF交□E于点G，连接BG：
当tan∠FCA= ，求所有F点的坐标　 　（直接写出）；
12．（2017·深圳）如图，抛物线 经过点 ，交y 轴于点C：
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）．
（2）点 为 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 使 ，若存在请直接给出点 坐标；若不存在请说明理由．
（3）将直线 绕点 顺时针旋转 ，与抛物线交于另一点 ，求 的长．
13．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 　 　；　 　；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
14．（2022·深圳）
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，AB=6，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：直线AB的解析式为y=2x+4，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．
∴A（﹣2，0）、B（0，4）．
∵抛物线的顶点为点A（﹣2，0），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，
点C（0，﹣4）在抛物线上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2
（2）解：平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），
则平移后抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，
∴F（0，﹣m2+2m+4）．
①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，
∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
∴△BAO∽△BFE，
∴ ，即 ，可得：BE=2EF．
如答图2﹣1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．
∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，﹣m2+2m+4），
∴BH=|2m|，FH=|﹣m2|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH BF，EF2=FH BF，
又∵BE=2EF，∴BH=4FH，
即：4|﹣m2|=|2m|．
若﹣4m2=2m，解得m=﹣ 或m=0（与点B重合，舍去）；
若﹣4m2=﹣2m，解得m= 或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为锐角，故此情形不成立．
∴m=﹣ ，
∴E（﹣ ，3）．
②假设存在．
联立抛物线：y=﹣（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），
∴S△ACD= ×4×4=8．
∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，
∴S△EFG=64或S△EFG=1．
联立平移抛物线：y=﹣（x﹣m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．
∴点E与点G横坐标相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．
当顶点E在y轴左侧时，如答图2﹣2，
S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF |xG|﹣ BF|xE|= BF （|xG|﹣|xE|）=BF．
∵B（0，4），F（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．
∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，
∴﹣m2+2m可取值为：64、﹣64、1、﹣1．
当取值为64时，一元二次方程﹣m2+2m=64无解，故﹣m2+2m≠64．
∴﹣m2+2m可取值为：﹣64、1、﹣1．
∵F（0，﹣m2+2m+4），
∴F坐标为：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；
综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；相似三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2﹣1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2﹣2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．
2．【答案】（1）解：∵A（m，0），B（0，n），
∴OA=m，OB=n．
∴S△AOB= ．
∵m+n=20，
∴n=20﹣m，
∴S△AOB= =- m2+10m=﹣ （m﹣10）2+50
∵a=﹣ ＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴m=10时，S最大=50
（2）解：∵m=10，m+n=20，
∴n=10，
∴A（10，0），B（0，10），
设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得： ，
y=﹣x+10．
∵ ，
∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，
∴S△OBD=S△OAC=a，
∴S△AOB=10a，
∴10a=50，
∴a=5，
∴S△OAC=5，
∴ OA y=5，
∴y=1．
1=﹣x+10，
x=9
∴C（9，1），
∴1= ，
∴k=9；
（3）解：移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），
O′A=10﹣t，O′E=10．
∵C′D′∥CD，
∴△O′C′D′∽△O′CD，
∴ ，
∴
S=40 ，
∴ （0＜t＜10）．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．
3．【答案】（1）解：① ；②45°；③证明：如图所示：
由正方形性质得： ，O为 的中点
又∵H为 的中点，则 ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴ ，又∵
∴
又
∴ ，又∵
∴
∴ ，
∴
（2）；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接AC，交BD于点O，连接OH，
∵△BCD≌△DAB，
∴BC=AD，CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD，OA=OC，
∵H为CE的中点 ，
∴OH∥AE，OH=AE，
∴∠HOC=∠EAC，
∵∠COD=∠BDA+∠DAC，∠BAD=∠EAF，
∴∠HOD=∠HOC+∠COD=∠EAC+∠EAF+∠DAC=∠DAF，
∵，
∴，，
∴△DAF∽△DOH，
∴，
故答案为：；
②如图，过点H作HM⊥DF于点M，
∴∠HMD=∠HMF=90°，
∵△DAF∽△DOH，
∴∠HDO=∠ADF，
∴∠HDF=∠HOD+∠ODF=∠ADF+∠ODF=∠BDA=，
∴HM=OH·，DM=OH·，
∵，
∴FD=，
∵HF2=HM2+MF2=HM2+（DF-DM）2，
=（OH·）2+（-OH·）2，
=，
∴，
故答案为：
【分析】（1）①先证出，∠BOH=∠BAF，从而得出△DAF∽△DOH，即可得出
；
②根据△DAF∽△DOH，得出∠HBO=∠FBA，利用∠HBF=∠HBO+∠DBF=∠DBA=45°，即可得出答案；
（2）①连接AC，交BD于点O，连接OH，先证出∠HOD=∠DAF，，从而得出△DAF∽△DOH，即可得出；
②过点H作HM⊥DF于点M，先证出∠HDF=，再根据锐角三角函数定义得出HM=OH·，DM=OH·，由，得出FD=，利用勾股定理得出HF2=HM2+（DF-DM）2，代入进行化简，求出HF2=，即可求出.
4．【答案】（1）解：把点 代入 ，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为： 或 .
（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A、B的坐标得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-1，
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
∴OE=1，FE= ，
∵∠OPM=∠MAF，
∴当OP∥AF时，△OPE∽△FAE，
∴
∴OP= FA= ，
设点P（t，-2t-1），
∴OP= ，
化简得：（15t+2）（3t+2）=0，
解得 ， ，
∴S△OPE= ·OE· ，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
当t=- 时 ，S△OPE= ×1× = ，
综上，△POE的面积为 或 .
（3）Q（- ， ）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1，E（0，-1），
设Q（m，-2m-1），N1（n，0），
∴N（m，-1），
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1
∴NN1中点坐标为（ ， ），EN=EN1，
∴NN1中点一定在直线AB上，
即 =-2× -1，
∴n=- -m，
∴N1（- -m，0），
∵EN2=EN12，
∴m2=（- -m）2+1，
解得：m=- ，
∴Q（- ， ）.
【分析】（1）用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根据相似三角形的判定和性质得OP= FA= ，设点P（t，-2t-1），根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式△POE的面积.
（3）由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1，E（0，-1），设Q（m，-2m-1），N1（n，0），从而得N（m，-1），根据翻折的性质知NN1中点坐标为（ ， ）且在直线AB上，将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m，即N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=（- -m）2+1，解之即可得Q点坐标.
5．【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠CFB=∠A=90°，
∴∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE与△FCB中，
∵∠CFB=∠A=90°，∠ABE=∠BCF，BE=BC，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；
②20；
（2）解：如图，连接CF、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵CE⊥AB，
∴，
∴BC=3BE，
∴AB=3BE，
∴S△BEC=×S菱形ABCD=×24=4，
S△BFC=S菱形ABCD=×24=12，
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，
∴EF·BC=12+8=16，
∴EF·BC=32；
（3）或或.
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】（1）②解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD为矩形，且S矩形ABCD=20，
∴AB×BC=20，
∵△ABE≌△FCB，
∴CF=AB，BE=BC，
∴BE·CF=20；
故答案为：20；
（3）解：①当点G在AD边上时，如图，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，CE=2，
∴CD=AB=6，DE=CD-CE=4，AD∥BC，AB∥CD，
∴△EDM∽△ECF，
∴，
，
∴S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，
∵AB∥CD，∴∠MDC=∠A=60°，
在Rt△DEH中，∠MDC=60°，
∴∠HED=30°，
∴DH=DE=2，EH=DH=2，
∵S△MGE=GM·HE=，
∴GM×2=，
∴GM=7，
∵GE⊥EF，FH⊥GM，
∴∠MGE=∠GEM=90°，
∴∠MEH+∠HEG=90°=∠HEG+∠HGE，
∴∠MEH=∠HGE，
∴△GEH∽△EMH，
∴，
∴HE2=HG·HM，
设AG=a，则GD=AD-AG=5-a，
GH=GD+HD=7-a，HM=GM-GH=a，
∴，
解得a=3或a=4，
即AG=3或AG=4；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，
设AG=x，则BN=AG=x，EN=DE-DN=4-x，
∵GN∥CM，
∴△ENG∽△ECM，
∴，
∴，
∴，
∵EF·EG=，
∴S△MEF=，
过点E作EH⊥BC于点H，
在Rt△EHC中，EC=2，∠ECH=60°，
∴∠CEH=30°，
∴CH=EC=1，EH=CH=，
∴S△MEF=MF·EH，
∴，
∴，
∴FH=MF-CM=，
，
∵EF⊥GE，EH⊥BC，
∴∠FEM=∠FHM=90°，
∴∠FEH+∠HEM=∠HEM+∠M=90°，
∴∠M=∠FEH，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
∴EH2=FH·HM，
即，
解得x1=，x2=8（舍去），
即AG=；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，
在Rt△BTC中，∠C=60°，
∴∠TBC=30°，
∴CT=BC=，BT=TC=，
∴S△BTC=BT·TC=，
∵EF·EG=，
∴S△EFG=EF·EG=，
∵＜，
∴点G不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或.
【分析】（1）①由矩形及垂直的定义可得∴∠CFB=∠A=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠BCF，从而用AAS判断出△ABE≌△FCB；
②由矩形的面积计算公式可得AB×BC=20，由全等三角形的对应边相等得CF=AB，BE=BC，从而等量代换即可得出答案；
（2）由菱形的四边相等及对边平行得AB=BC，AD∥BC，则∠A=∠CBE，由等角的同名三角函数值相等得，则AB=BC=3BE，由几何图形的面积计算方法得S△BEC=×S菱形ABCD=4，S△BFC=S菱形ABCD=12，由平行线的性质得EF⊥BC，由对角线互相垂直的几何图形的面积等于两对角线乘积的一半及割补法可得S四边形FCEB=EF·BC=S△BEC+S△BFC，从而代入计算可得答案；
（3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，先证△EDM∽△ECF，由相似三角形对应边成比例及同高三角形面积之比等于底之比得，结合已知得S△MGE=2S△EFG=EF·EG=，根据含30°角三角形的性质得DH、EH的长，进而由等面积法得S△MGE=GM·HE=，从而可求出GM=7，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似得△GEH∽△EMH，由相似三角形对应边成比例得HE2=HG·HM，设AG=a，然后用含A的式子表示出GD、GH、HM，从而代入求解得AG的长；
②当点G在AB边上时，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，设AG=x，用含x的式子表示出BN=AG=x，EN=4-x，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ENG∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得，由同高三角形的面积之比等于底之比得，由等面积法可得S△MEF=，过点E作EH⊥BC于点H，由含30°角直角三角形的性质得CH=1，EH=，从而代入计算可表示出MF，进而表示出FH、MH、由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FHE∽△EHM，由相似三角形对应边成比例得EH2=FH·HM，从而代入求解可得AG的长；
③当点G在BC边上时，过点B作BT⊥DC于点T，由含30°角直角三角形的性质得CT=，BT=，由三角形面积计算方法可得S△BTC=，S△EFG=，由于＜，从而得出此种情况不成立.
6．【答案】（1）解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3）， ∴，
解得，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）解：存在， 当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，
∴（4﹣m）=m，m=﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN=PD sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，
∵PM=PE，
∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；
（3）解法1： ∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
∴B（1，0），
∴S△EBC=EB OC=3，
∵2S△FBC=3S△EBC，
∴S△FBC=，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，
∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB HQ﹣BH HF﹣QF FM=BH（HQ﹣HF）﹣QF FM=BH QF﹣QF FM=QF （BH﹣FM）= FQ OB=FQ=，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=﹣3x+3，
设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
解法2：
设点F的坐标为（x，﹣x2﹣2x﹣3），过点F作FM垂直y轴于点M，并与BC交于点N，如图4，
CM=CO﹣MO=3﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x，
易得MN=CM=x2+x，
∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x，
同解法1可求得S△FBC=，
即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN CM+FN MO=FN CO=（x2﹣x）=，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当 点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长 可求得F点坐标．
7．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=﹣1，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3
（2）解：存在．
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=﹣4+4+3=3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴ ，
解得： ，
∴直线EF′的解析式为：y=2x﹣1，
∴当y=0时，2x﹣1=0，得x= ，
即H（ ，0），
当x=1时，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H= = ，DG= = ，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ + + =2+2
（3）解：存在．
∵BD= =3 ，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴ ，
即 = ，
∴MN= （1+c），DM= ，
要使△DNM∽△BMD，
需 ，即DM2=BD MN，
可得：9+c2=3 × （1+c），
解得：c= 或c=3（舍去）．
当x= 时，y=﹣（ ﹣1）2+4= ．
∴存在，点T的坐标为（ ， ）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的三种形式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作F关于x轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BD MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
8．【答案】（1）解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）．
（2）解：若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中 ，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得 ，解得 ，∴直线AP解析式为y= x+1，联立 ，解得 ，∴P点坐标为（ ， ）；若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（ ， ）．
（3）解：如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y= x﹣ ，
∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），
∴tan∠OFC= = ，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ= ，
不妨设DQ=t，DH= t，HQ= t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S△DEQ= DE HQ= × t×t= t2，
若DQ=QE，则S△DEQ= DE HQ= ×2DH HQ= × t× t= t2，
∵ t2＜ t2，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x， x﹣ ），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，
当x=﹣ 时，tmax=3，
∴（S△DEQ）max= t2= ，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；
　　　　（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；
　　　　（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值． 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．
9．【答案】（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：
，解得：
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；
（2）∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为（-1，4）
∵A(-3，0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ，解得：
∴直线AD的解析式为y=2x+6，
当 在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-
①如图所示，当0∴OC=O＇C＇=3，O＇B＇=OB=1，OB＇=1-t
∵O＇C//OC
∴△ ∽△O M
∴ ，即 ，解得：OM=3(1-t)
S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇
=
②当 时， 完全在四边形AOCD内，
③当 时，如图所示，过G点作GH⊥ ，设HG=x，
∵GH//AB
∴ ，∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴ ，
∵直线AD的解析式为y=2x+6，
∴
∴ ，
∴ ，KO＇=2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇= C＇K+AO＇
∴
∴
S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK
=
∴
综上： ；
（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴ =-
∴ ，即
∴ ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分010．【答案】（1）10；10±2
（2）解：由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．
由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．
可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．
①当0≤b≤4时，S=0；
②当4＜b≤6时，如答图2所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．
令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；
令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．
∴S=S△APQ= AP AQ= （ ﹣2）（b﹣4）= b2﹣2b+4；
③当6＜b≤12时，如答图3所示．
设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．
令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；
令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3．
S=S梯形APQD= （DQ+AP） AD=b﹣5；
④当12＜b≤14时，如答图4所示．
设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．
令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；
令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3，CQ=7﹣ ．
S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣ CP CQ=- b2+7b﹣41；
⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．
综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：
．
【知识点】一次函数的实际应用；直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）①直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（ ，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点H．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2，解得：MN= ，PN= ，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2﹣ ），代入直线解析式求得：b=10﹣2 ；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2 ．
【分析】（1）①当直线经过圆心M（4，2）时，将圆心坐标代入直线解析式，即可求得b的值；②当若直线与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线，不要遗漏．欲求此时b的值，可以先求出切点P的坐标，代入解析式即可；欲求切点P的坐标，可以构造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P点坐标；（2）本问关键是弄清直线扫过矩形ABCD的运动过程，可以分为五个阶段，分别求出每一阶段S的表达式，如答图2﹣4所示．
11．【答案】（1）证明：法一：连接BD、ED
∵BC为直径
∴∠BDC=90°
∴∠BDA=90°
∵O为AB中点；E为BC中点
∴OD=OA，CE=DE
∴∠OAD=∠ODA，∠C=∠CDE
∵∠C+∠OAD=90°
∴∠EDO=180°-∠EDC-∠0DA=90°
∴OD为圆E的切线
法二：
连接BD、ED、OE
∵BC为直径
∴∠BDC=90°
∵O为AB中点．
∴OD= AB=OB
在△BOE与△DOE中
∴△BOE≌△DOE
∴∠ODE=∠EBO=90°
∴OD为□E的切线
（2）F(5，0），F( ，0) ②求 的最大值。 解：法一：取CF的中点了，连结BT，则CF=2BT ∵BT≥BG ∴ 法二：设BF=a，CF= BG= ∴ 当 =0时， 最大， 此时a=8， = 法三：同法二 =k≥0， =k ∴8a=k·a2+64k， ∴ka2-8a+64k=0 ∴△=64-4k·64k≥0 ∴k2≤ ∴0【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）法一：①当F在A点右侧时
过点A作AM⊥AC交CF于点M，过M作MH交x轴于H点
∵∠CAB+∠MAH=90°
∠CAB+∠BCA=90°
∴∠MAH=∠BCA
∵∠CBA=∠MHA=90°
∴△BCA∽△HAM
∴
∴AH=
，MH=
∴M（
，
）
∴CM：y=-x+5
∴F(5，0）
②当F在A点左侧时
过点A作AM⊥AC，交CF延长线于点M，过M作AH的垂线交AH延长线于N．
∵∠CAIH+∠AMAN=90°
∠CAH+∠ACH=90°
∴∠MAN=∠ACH
∵∠H=∠N=90°
∴△CAH∽△NAM
∴AN=
，MN=
∴M（
，
）
∴CM：y=
x+
∴F（
，0）
法二：①当F在A点右侧
tan ∠BCF=tan(∠BCA+∠ACF)
=
=
=1
∴
∴BF=8
F(5，0)
②点F在A点左侧
tan∠BCF =tan(∠BCA-∠FCA)
=
=
=
∴
BF=
∴F(
，0)
【分析】（1）方法一：连接BD、ED，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC=90°，即得∠BDA=90° .利用直角三角形的性质，可得OD=OA，CE=DE，根据等边对等角，可得∠OAD=∠ODA，∠C=∠CDE .由∠C+∠OAD=90°，可得∠EDO=180°-∠EDC-∠ODA=90°，从而可证OD为圆E的切线.
（2）方法一：分两种情况讨论，①当点F在点A的右边时，
过点A作AM⊥AC交CF于点M，过M作MH交x轴于H点，先求出M（ ， ），利用待定系数法求出直线CM的解析式，再求出直线与x轴交点的坐标即可.②当F在点ADE左侧时，利用tan∠BCF= ，求出BF的长即可.取CF的中点T，连结BT，则CF=2BT ，由于BT≥BG，可得 ，从而求出最大值.
12．【答案】（1）解：依题可得：
解得：
∴y=-x2+x+2.
（2）解：依题可得：AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB×OC=×2×5=5.
∵S△ABC=S△ABD.
∴S△ABD=×5=.
设D（m，-m2+m+2）（m＞0）.
∵S△ABD=AB|yD|=.|
×5×|-m2+m+2|=.
∴m=1或m=2或m=-2（舍去）或m=5
∴D1（1，3），D2（2，3），D3（5，-3）.
（3）解：过C作CF⊥BC交BE于点F；过点F作FH⊥y轴于点H.
∵∠CBF=45°，∠BCF=90°.
∴CF=CB.∵∠BCF=90°，∠FHC=90°.
∴∠HCF+∠BCO=90°，∠HCF+∠HFC=90°
∴∠HFC=∠OCB.∵
∴△CHF≌△BOC（AAS）.
∴HF=OC=2，HC=BO=4，∴F（2，6）.
设直线BE解析式为y=kx+b.
∴
解得∴直线BE解析式为：y=-3x+12.
∴
解得：x1=5，x2=4（舍去）∴E（5，-3）.
BE==.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式.
（2）依题可得：AB=5，OC=2，求出S△ABC=AB×OC=×2×5=5；根据S△ABC=S△ABD；求出S△ABD=×5=.
设D（m，-m2+m+2）（m＞0）.根据三角形的面积公式得到一个关于m的方程，求解即可.
（3）过C作CF⊥BC交BE于点F；过点F作FH⊥y轴于点H；根据同角的余角相等得到∠HFC=∠OCB；再根据条件得到△CHF≌△BOC（AAS）；利用其性质可求出HF=OC=2，HC=BO=4，从而得到F（2，6）；用待定系数法求直线BE解析式；再把抛物线解析式和直线BE解析式联立得到方程组求E点坐标，再根据勾股定理求出BE长.
13．【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
14．【答案】（1）解：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）解：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
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