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广东省历年（2016-2024）中考数学真题压轴填空题汇编
一、填空题
1．（2019·广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含 、 代数式表示）.
【答案】a+8b
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8B.
【分析】观察图形，可从两个、三个、四个拼接时的总长度，找到规律，写出即可。
2．（2016·广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　 　．
【答案】a
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB=BC=CD，
∴ = = ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，
∴AE=AP sin30°= a，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，
∴AF=AP sin60°= a，
∴AE+AF= a．
故答案为 a．
【分析】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，根据AE=AP sin30°，AF=AP sin60°，即可解决问题．
3．（2018·广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　 　．
【答案】（2 ，0）
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，
设B1C=a，则A2C= a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， a）．
∵点A2在双曲线y= （x＞0）上，
∴（2+a） a= ，
解得a= ﹣1，或a=﹣ ﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2 ﹣2=2 ，
∴点B2的坐标为（2 ，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D= b，
OD=OB2+B2D=2 +b，A2（2 +b， b）．
∵点A3在双曲线y= （x＞0）上，
∴（2 +b） b= ，
解得b=﹣ + ，或b=﹣ ﹣ （舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ，
∴点B3的坐标为（2 ，0）；
同理可得点B4的坐标为（2 ，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2 ，0），
∴点B6的坐标为（2 ，0）．
故答案为：（2 ，0）．
【分析】 如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C= a，OC=OB1+B1C=2+a，从而表示出A2的坐标，根据A2在双曲线上，根据双曲线上的点的坐标特点得出关于a的方程，求解再检验即可得出a的值，从而得出OB2的长，进而得出B2的坐标；同理即可求出B3，B4，……Bn的坐标，进而得出B6的坐标。
4．（2021·广东）在 中， ．点D为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】如图所示
由题意可知：∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小。
∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=。
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形。∴OE=BE=sin45°×OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OCD中，OC=，当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=。
故答案为：
【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点到圆上的最短距离求解即可。
5．（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】15
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起 ，
∴DE=CD=10，BC=6，AB=4，∠D=∠ACH=∠ABG=90°，
∴BE∥CF∥BG，
∴△ABG∽△ACF∽△ADE，
∴，
∴，
解之：BG=2，CF=5，
∴HF=6-5=1，NG=6-2=4，
∴S阴影部分=.
故答案为：15
【分析】利用已知条件可得到三个正方形的边长，同时可证得BE∥CF∥BG，可推出△ABG∽△ACF∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出BG，CF的长，由此可得到HF，NG的长，然后利用梯形的面积公式可求出阴影部分的面积.
6．（2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为　 　； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为　 　
【答案】120；75°
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
7．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点是AB的中点，点是BC上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD和CE，
∵四边形ABCD是菱形，且其面积为24，
∴，AB∥CD，BC∥AD，
又∵E是AB中点，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
同理，，
∴=24-6-4-4=10.
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质分析，由平行线的距离处处相等，即三角形间同高或等高从而根据菱形面积推出各部分三角形面积往目标面积逐步推理，利用△BEF的面积推出点F在边BC的具体位置进而推出△CDF的面积，最后利用作差计算出阴影部分的面积.
8．（2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．
则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是　 　．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜ ，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
9．（2017·广州）如图，平面直角坐标系中O是原点， ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④OD=
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴ ，
∵D、E为OB的三等分点，
∴ = ，
∴ ，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG= ，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG= DE，
∴ = ，
过C作CQ⊥AB于Q，
S OABC=OA OH=AB CQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ= ，
S△OCF= OF OH= ×4×4=8，
S△CGB= BG CQ= × × =8，
S△AFG= ×4×2=4，
∴S△CFG=S OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8×4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴ = = ，
∴ = ，
∴ ，
∴S四边形DEGF= ；
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，
∴OB= = ，
∴OD= ，
所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：①③；
故答案为：①③．
【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得： ，再由D、E为OB的三等分点，则 = ，可得结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如图3，利用面积差求得：S△CFG=S OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．
10．（2024·广州） 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
12．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是　 　若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
13．（2020·广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位： ）9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近以值，当 　 　 mm 时， 最小．对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位： ） ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 　 　 时， 最小．
【答案】10.0；
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）整理 得： ，
设 ，
由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为：10.0；（2）整理 得： ，
设 ，由二次函数性质可知：
当 时， 有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为： ．
【分析】（1）把 整理得： ，设 ，利用二次函数性质求出当 时有最小值；（2）把 整理得： ， 设 ，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时 的值．
14．（2021·广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有　 　（填写所有符合题意结论的序号）．
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即H是FK的中点；故结论（1）符合题意；
（2）过点H作 交BC于N，交AD于M，
由（1）得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ．
∴四边形ABNM是矩形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
解得 ．
则 ．
∵ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与 不全等，故结论（2）不符合题意；
（3）∵ ，
∴ ．
即 ．
解得 ．
由（2）得 ， ．
∴ ；故结论（3）符合题意；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴ ．
由勾股定理得 ．
∴ ；故结论（4）符合题意．
故答案为：（1）（3）（4）．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，对每个结论一一判断求解即可。
15．（2019·广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是　 　.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
16．（2017·广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= = = ，
故答案为 ．
【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ，计算即可．
17．（2018·广州）如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE
③AF：BE=2：3 ④
其中正确的结论有　 　。（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，
∴AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，
∴∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=BE=CA=CB，
∴四边形ACBE是菱形，
故①正确.
②由①四边形ACBE是菱形，
∴AB平分∠CAE，
∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠CAO=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE.
故②正确.
③∵CE垂直平分线AB，
∴O为AB中点，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AO= AB= CD，
∴△AFO∽△CFD，
∴ = ，
∴AF：AC=1：3，
∵AC=BE，
∴AF：BE=1：3，
故③错误.
④∵ ·CD·OC，
由③知AF：AC=1：3，
∴ ，
∵ = × CD·OC= ，
∴ = + = = ，
∴
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出AF：AC=1：3，即AF：BE=1：3，故③错误.
④由三角形面积公式得 ·CD·OC，从③知AF：AC=1：3，所以 = + = = ，从而得出 故④正确.
1 / 1广东省历年（2016-2024）中考数学真题压轴填空题汇编
一、填空题
1．（2019·广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含 、 代数式表示）.
2．（2016·广东）如图，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=　 　．
3．（2018·广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y= （x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　 　．
4．（2021·广东）在 中， ．点D为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为　 　．
5．（2023·广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为　 　．
6．（2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为　 　； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为　 　
7．（2024·广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点是AB的中点，点是BC上的动点.若的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
8．（2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．
则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5°
④BC+FG=1.5
其中正确的结论是　 　．
9．（2017·广州）如图，平面直角坐标系中O是原点， ABCD的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是 ；④OD=
其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
10．（2024·广州） 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
11．（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为　 　．
12．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是　 　若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是　 　．
13．（2020·广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位： ）9.9，10.1，10.0，若用 作为这条线段长度的近以值，当 　 　 mm 时， 最小．对另一条线段的长度进行了 次测量，得到 个结果（单位： ） ，若用 作为这条线段长度的近似值，当 　 　 时， 最小．
14．（2021·广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有　 　（填写所有符合题意结论的序号）．
15．（2019·广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是　 　.（填写所有正确结论的序号）
16．（2017·广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为　 　．
17．（2018·广州）如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE
③AF：BE=2：3 ④
其中正确的结论有　 　。（填写所有正确结论的序号）
答案解析部分
1．【答案】a+8b
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8B.
【分析】观察图形，可从两个、三个、四个拼接时的总长度，找到规律，写出即可。
2．【答案】a
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵AD是直径，AB=BC=CD，
∴ = = ，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，
∴∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，
∴AE=AP sin30°= a，
在Rt△APF中，∵∠AFP=90°，
∴AF=AP sin60°= a，
∴AE+AF= a．
故答案为 a．
【分析】如图，连接OB、OC．首先证明∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，推出∠APB= ∠AOB=30°，∠APC= ∠AOC=60°，根据AE=AP sin30°，AF=AP sin60°，即可解决问题．
3．【答案】（2 ，0）
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，
设B1C=a，则A2C= a，
OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a， a）．
∵点A2在双曲线y= （x＞0）上，
∴（2+a） a= ，
解得a= ﹣1，或a=﹣ ﹣1（舍去），
∴OB2=OB1+2B1C=2+2 ﹣2=2 ，
∴点B2的坐标为（2 ，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D= b，
OD=OB2+B2D=2 +b，A2（2 +b， b）．
∵点A3在双曲线y= （x＞0）上，
∴（2 +b） b= ，
解得b=﹣ + ，或b=﹣ ﹣ （舍去），
∴OB3=OB2+2B2D=2 ﹣2 +2 =2 ，
∴点B3的坐标为（2 ，0）；
同理可得点B4的坐标为（2 ，0）即（4，0）；
…，
∴点Bn的坐标为（2 ，0），
∴点B6的坐标为（2 ，0）．
故答案为：（2 ，0）．
【分析】 如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C= a，OC=OB1+B1C=2+a，从而表示出A2的坐标，根据A2在双曲线上，根据双曲线上的点的坐标特点得出关于a的方程，求解再检验即可得出a的值，从而得出OB2的长，进而得出B2的坐标；同理即可求出B3，B4，……Bn的坐标，进而得出B6的坐标。
4．【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】如图所示
由题意可知：∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小。
∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=。
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形。∴OE=BE=sin45°×OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OCD中，OC=，当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=。
故答案为：
【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点到圆上的最短距离求解即可。
5．【答案】15
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起 ，
∴DE=CD=10，BC=6，AB=4，∠D=∠ACH=∠ABG=90°，
∴BE∥CF∥BG，
∴△ABG∽△ACF∽△ADE，
∴，
∴，
解之：BG=2，CF=5，
∴HF=6-5=1，NG=6-2=4，
∴S阴影部分=.
故答案为：15
【分析】利用已知条件可得到三个正方形的边长，同时可证得BE∥CF∥BG，可推出△ABG∽△ACF∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出BG，CF的长，由此可得到HF，NG的长，然后利用梯形的面积公式可求出阴影部分的面积.
6．【答案】120；75°
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：
则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，
又已知AB=BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
7．【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD和CE，
∵四边形ABCD是菱形，且其面积为24，
∴，AB∥CD，BC∥AD，
又∵E是AB中点，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
同理，，
∴=24-6-4-4=10.
故答案为：10.
【分析】根据菱形的性质分析，由平行线的距离处处相等，即三角形间同高或等高从而根据菱形面积推出各部分三角形面积往目标面积逐步推理，利用△BEF的面积推出点F在边BC的具体位置进而推出△CDF的面积，最后利用作差计算出阴影部分的面积.
8．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴AED≌△GED，故②正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜ ，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为①②③．
【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．
9．【答案】①③
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∴△CDB∽△FDO，
∴ ，
∵D、E为OB的三等分点，
∴ = ，
∴ ，
∴BC=2OF，
∴OA=2OF，
∴F是OA的中点；
所以①结论正确；
②如图2，延长BC交y轴于H，
由C（3，4）知：OH=4，CH=3，
∴OC=5，
∴AB=OC=5，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴OA≠AB，
∴∠AOB≠∠EBG，
∴△OFD∽△BEG不成立，
所以②结论不正确；
③由①知：F为OA的中点，
同理得；G是AB的中点，
∴FG是△OAB的中位线，
∴FG= ，FG∥OB，
∵OB=3DE，
∴FG= DE，
∴ = ，
过C作CQ⊥AB于Q，
S OABC=OA OH=AB CQ，
∴4×8=5CQ，
∴CQ= ，
S△OCF= OF OH= ×4×4=8，
S△CGB= BG CQ= × × =8，
S△AFG= ×4×2=4，
∴S△CFG=S OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8×4=12，
∵DE∥FG，
∴△CDE∽△CFG，
∴ = = ，
∴ = ，
∴ ，
∴S四边形DEGF= ；
所以③结论正确；
④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，
∴OB= = ，
∴OD= ，
所以④结论不正确；
故本题结论正确的有：①③；
故答案为：①③．
【分析】①证明△CDB∽△FDO，列比例式得： ，再由D、E为OB的三等分点，则 = ，可得结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H证明OA≠AB，则∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③如图3，利用面积差求得：S△CFG=S OABC﹣S△OFC﹣S△OBG﹣S△AFG=12，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论．
10．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
12．【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
13．【答案】10.0；
【知识点】探索数与式的规律；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）整理 得： ，
设 ，
由二次函数的性质可知：当 时，函数有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为：10.0；（2）整理 得： ，
设 ，由二次函数性质可知：
当 时， 有最小值，
即：当 时， 的值最小，
故答案为： ．
【分析】（1）把 整理得： ，设 ，利用二次函数性质求出当 时有最小值；（2）把 整理得： ， 设 ，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时 的值．
14．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即H是FK的中点；故结论（1）符合题意；
（2）过点H作 交BC于N，交AD于M，
由（1）得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ．
∴四边形ABNM是矩形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
解得 ．
则 ．
∵ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与 不全等，故结论（2）不符合题意；
（3）∵ ，
∴ ．
即 ．
解得 ．
由（2）得 ， ．
∴ ；故结论（3）符合题意；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴ ．
由勾股定理得 ．
∴ ；故结论（4）符合题意．
故答案为：（1）（3）（4）．
【分析】利用勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，对每个结论一一判断求解即可。
15．【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，
∴AH= = = ，
故答案为 ．
【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH= ，计算即可．
17．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，
∴AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，
∴∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=BE=CA=CB，
∴四边形ACBE是菱形，
故①正确.
②由①四边形ACBE是菱形，
∴AB平分∠CAE，
∴∠CAO=∠BAE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠CAO=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAE.
故②正确.
③∵CE垂直平分线AB，
∴O为AB中点，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AO= AB= CD，
∴△AFO∽△CFD，
∴ = ，
∴AF：AC=1：3，
∵AC=BE，
∴AF：BE=1：3，
故③错误.
④∵ ·CD·OC，
由③知AF：AC=1：3，
∴ ，
∵ = × CD·OC= ，
∴ = + = = ，
∴
故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得AO=BO，∠AOE=∠BOC=90°，BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.
②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.
③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得 = ，从而得出AF：AC=1：3，即AF：BE=1：3，故③错误.
④由三角形面积公式得 ·CD·OC，从③知AF：AC=1：3，所以 = + = = ，从而得出 故④正确.
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