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第一章直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
北师大版 数学 九年级 下册
学习目标
1、经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2、能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算。
3、能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小。
情景导入
b
A
B
C
a
┌
c
思考：sinA和cosB,有什么关系
sinA=cosB
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
tanA·tanB=1
tanA和tanB，有什么关系？
锐角三角函数定义
情景导入
观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
(1) sin 30°等于多少？你是怎样得到的？与 同伴进行交流.
(2) cos 30° 等于多少？ tan 30° 呢？
核心知识点一：
30°、45°、60°角的三角函数值
所以可以设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值.
30°
a
2a
探索新知
sin 60°表示在直角三角形中，60°角的对边与斜边的比值.
60°
2a
a
探索新知
sin 45°表示在直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值.
设直角三角形两条直角边长为a，则斜边长＝
45°
a
a
探索新知
归纳总结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值
A
B
C
45°
A
B
C
30°
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角三角函数
1
2
1
1
1
探索新知
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思：
探索新知
例1 计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意事项:
sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
探索新知
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好是60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（结果精确到0.01 m）.
探索新知
解：根据题意可知，∠BOD=60°，OB=OA=OD=2.5 m， ∠AOD=30°，
∴OC=ODcos 30 °=
∴AC=2.5-2.165≈0.34（m）.
所以，最高位置与最低位置的高度之差约为0.34 m.
探索新知
核心知识点二：
由特殊三角函数值确定锐角度数
填一填
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
∠A= ∠A= ∠A=
逆向思维
探索新知
解： 在图中，
A
B
C
例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ，
BC = ，求 ∠A 的度数；
∴ ∠A = 45°.
∵
探索新知
解： 在图中，
A
B
O
∴ α = 60°.
∵ tanα = ，
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
OB，求 α 的度数.
探索新知
(1)在Rt△ABC中∠C=90°，当 锐角A>45°时 sinA的值（ ）
(A)0＜sinA＜ (B) ＜sinA＜1
(C) 0＜sinA＜ (D) ＜sinA＜1
(A)0＜cosA＜ (B) ＜cosA＜1
(C) 0＜cosA＜ (D) ＜cosA＜1
（2） 当锐角A>30°时，cosA的值（ ）
确定三角函数值的范围
B
C
探索新知
(3)已知 ，下列各式中正确的是（ ）
(A) ＜ ＜ (B) ＜ ＜
(C) ＜ ＜ (D) ＜ ＜
D
(4) 当∠A为锐角，且tanA≤ 1 时，则 ∠A（ ）
A
(A) 0°＜∠A≤45° (B) 45°≤∠A＜90°
(C) 0 °＜∠A≤30° (D) 30°≤∠A＜90
探索新知
当堂检测
1.已知tan =,则锐角α的度数是 ( )
A.60° B.45° C.30° D.75°
2.在△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=1,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.在△ABC中,若|sin A-|+(cos B-)2=0,则∠C的度数是________.
A
B
75°　
当堂检测
4.小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上
走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为 ( ) 米.
A.600-250　 B.600-250　
C.350+350　 D.500
B
当堂检测
5.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡,从A滑行至B,已知
AB=100米,则这名滑雪运动员的高度下降了________米.
50　
当堂检测
6. 计算：
（1）tan 45°－2 sin 60°＋ cos 45°；
解：原式＝1－2× ＋ ×
＝1－ ＋
＝ － .
当堂检测
（2） cos 30°－ ＋tan 60°；
解：原式＝ － ＋
＝ ＋ －1＋ ＝2 －1.
当堂检测
（3）tan230°＋ cos 230°－ sin 60°· cos 45°＋ sin 45°.
解：原式＝ ＋ － × ＋ ×
＝ ＋ － ＋ ＝ － .
当堂检测
7.如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10 m，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10 m处有一建筑物HQ. 为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3 m宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数.参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
当堂检测
解：由题意，得AH＝10 m，BC＝10 m，
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10 m.
在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，
∴DB＝ ＝ ＝10 （m），
∴DH＝AH－AD＝AH－（DB－AB）＝10－10 ＋
10＝20－10 ≈2.7（m）.
∵2.7 m＜3 m，∴该建筑物需要拆除.
特殊的锐角三角函数值
30°、45°和60°的三角函数值
sin30°= ，cos30°= ，tan30°=
sin45°= ，cos45°= ，tan45°= 1
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，
由三角函数值求特殊角
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