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专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
2
模型1.弦图模型 2
模型2.勾股树模型 10
18
模型1.弦图模型
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。
图1 图2 图3 图4
（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。
∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；
∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型
图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。
例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，
下列四个推断：①；②；③；④．
其中所有正确推断的序号是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
例3．（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则 ．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A．74 B．76 C．78 D．80
例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，=______．
例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为

例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D．
(1)求证：．(2)若，求AE．
例9．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形，四边形和四边形都是正方形．某班开展综合与实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展．
(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段之间的数量关系：__________；
(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段之间的数量关系：________；
(3)小明将图3中的延长至点M，使得，连接与相交于点N，请你在图3中画出图形．若，求线段与之间的数量关系．
模型2.勾股树模型
勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。
模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。
条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3
证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。
由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：；
∴S1。同理：；。
由题意可得：；∴S1+S2=S3
由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。
条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形，
∴，，∴．观察，发现规律：
，，，，…，
条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个），
第二代勾股树中正方形有=23-1（个），
第三代勾股树中正方形有=24-1（个），
由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。
设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；
第n代勾股树中所有正方形的面积为。
例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．
结论Ⅰ：、、满足只有（4）；
结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）．
A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
例2．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ．
例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ．
例4．（23-24八年级下·山东日照·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为 ．
例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
例6．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
3．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2024·广东汕头·一模）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点作于点，交于点．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
6．（2024·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
7．（2024·福建·中考真题）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．

8．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
9．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点，，，分别在边，，，上．若 ，，则的长是 ．
10．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）．
13．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
14．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积．
“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：．
深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）问题发现：梓航在学完勾股定理后，翻阅资料，发现《几何原本》中有一种很好的勾股定理的证法：如图1，作于点，交于点，通过证明，的方法来证明勾股定理.
爱思考的梓航发现一个结论，如图2，若以的直角边，为边向外任意作，，斜边上的，延长，交于点，直线被所截线段为，当时，此时成立.请你帮他完成证明.

问题证明：（1）先将问题特殊化，如图3，当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，求证：，（按梓航的分析，完成填空）
分析：过作交直线，于，，过作交，于，；
可证；同理可证；
另外易得________________ 可得成立.
（2）再探究一般情形，如图2，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，求证：.
问题探索：（3）将图2特殊化，如图4，若，，，，且，请你直接写出的值_______________（用含，的式子表示）.
16．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：；
【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积．
17．（2020·山西·模拟预测）综合与实践：正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．
证明：连接．由作图可知，，
又． ，∴是半圆的切线．
问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接.请判断和的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，请直接写出线段之间的数量关系；
（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；
（4）如图5，已知点为正方形的四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
18．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．
(1)直接写出：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．
19．（2024·广东·中考模拟预测）请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．
请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为 ；
(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．
20．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现：如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．
问题探究：如图，中，．
（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
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模型1.弦图模型 2
模型2.勾股树模型 10
18
模型1.弦图模型
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。
图1 图2 图3 图4
（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN.
证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。
∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；
∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型
图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。
例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，
下列四个推断：①；②；③；④．
其中所有正确推断的序号是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键．
由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得、可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④．
【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴，，即①、②正确；
∴ ，则：，,即③正确；
∴，∴，即④错误；
综上，正确的有①②③．故选B．
例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为，
图1中大正方形的面积是24，，
小正方形的面积是4，，，
图2中最大的正方形的面积；故选：D．
例3．（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为a、且，则，，，再由正方形的边长为2得到，据此可得答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、且，
由题意可知：，，，
∴，，
∵正方形的边长为2，∴，∴故答案为：．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，且，
，，
，，，
又，．故答案为：．
例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A．74 B．76 C．78 D．80
【答案】B
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】如图，根据题意，，
∵，∴，即，
∴，∴，∴这个风车的外围周长是，故选B．

【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD，中间的小正方形为正方形EFGH，连接AC，交BG于点P，交DE于点M，=______．
【答案】 12 ##0.5
【分析】（1）由勾股定理与正方形的性质得出，根据完全平方公式变形可得
（2）根据题意，证明，根据，即可求解．
【详解】（1）∵大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
∴，，由，得，∴．
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴，，，∴．
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴，∴．
在和中，，∴，∴，，
∴．
∵，∴．故答案为：12，0.5
【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式变形求值，正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、梯形面积的计算等知识，掌握以上知识是解题的关键．
例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为

【答案】50
【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键．
【详解】解：正方形的边长为10，“赵爽弦图”中正方形的边长5，
空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．故答案为：．
例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D．
(1)求证：．(2)若，求AE．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明(AAS)，由全等三角形的性质得出；（2）根据全等三角形的性质，得出，，结合题意得出，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，，∴，∴，
又∵，且，∴在和中，，
∴(AAS)，∴；
（2）由（1）可得，∴，，
∵AE是BC边上的中线，∴，∴，
在中，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
例9．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形，四边形和四边形都是正方形．某班开展综合与实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展．
(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段之间的数量关系：__________；
(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段之间的数量关系：________；
(3)小明将图3中的延长至点M，使得，连接与相交于点N，请你在图3中画出图形．若，求线段与之间的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质证明即可；（2）由全等三角形的性质证明即可；
（3）先补全图形，可证明，再根据其性质即可证明．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）解：补全图形如图：
由题意得，，∴，∵，∴，
∵，,∴，∴，即，
∵，∴，∴．
模型2.勾股树模型
勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。
模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。
条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3
证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。
由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：；
∴S1。同理：；。
由题意可得：；∴S1+S2=S3
由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。
条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形，
∴，，∴．观察，发现规律：
，，，，…，
条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个），
第二代勾股树中正方形有=23-1（个），
第三代勾股树中正方形有=24-1（个），
由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。
设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；
第n代勾股树中所有正方形的面积为。
例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．
结论Ⅰ：、、满足只有（4）；
结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）．
A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
【答案】D
【分析】分别表示出、、的面积，根据勾股定理判断即可．
【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，，
图1中，，，，
则，，，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：，
对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，掌握勾股定理是解题的关键．
例2．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知：，，，．
在直角和中，，即，
，．故答案为：12
例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积，根据面积的变化找出变化规律是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
为等腰直角三角形， ，， ，
，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
正方形的边长为2， ，
面积标记为的正方形的边长为， ，
面积标记为的正方形边长为， ，
面积标记为的正方形的边长为， ，
根据同样的规律，依次类推， ， ．故答案为：．
例4．（23-24八年级下·山东日照·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
根据勾股定理可得：，
∵,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为；
第三代勾股树中所有正方形的面积为；第n代勾股树中所有正方形的面积为；
∴第2024代勾股树中所有正方形的面积为2025．故答案为：2025．
例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
例6．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题意，，得到，得到，延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，求出面积即可，延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，求出面积即可．
【详解】解：由题意可得，，，
，，，
∵，，故①、②符合题意，正确；
延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，
，故，，故，③符合题意，正确；
；
延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，故，
，，故，④符合，正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质、矩形的判定和性质，做出正确的辅助线是解题的关键．
1．（2023秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后根据求得即可求得的值，结合即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴，∴，
∵，∴，∵小正方形的边长为：，
∴．故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解本题的关键．
2．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵E，F，G，H分别为各边中点，∴，，
∴，∴四边形是平行四边形，∴，
同理，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴，同理，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，
同理，∴平行四边形是矩形，
∵，，，∴，∴，
又，，∴，∴矩形是正方形，
在中，，∴，
∴，∴正方形的面积为5，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键．
3．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，根据题意找出角度、线段之间的数量关系是解题关键．延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，根据平行线分线段成比例定理，得出，再证明，结合平行线的性质和对顶角，得出，，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，，，，，
是的中点，，，，，，
在和中，，，
，，
，，，
，，，，，故选：C
4．（2024·广东汕头·一模）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点作于点，交于点．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①过点作，交的延长线于点，可得，再证得四边形是矩形，可得，从而得到，再证得，可得，可得①正确；
②过点作交的延长线于点，可得四边形是矩形，从而得到，进而得到，从而得到，可得②正确；
③由①，同理，可得，可得③正确；
④根据，可得，可得④正确，即可求解．
【详解】解：①过点作，交的延长线于点，，
四边形是正方形，，，，，
又，，四边形是矩形，，
，∵四边形是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠CAI=90°，∴∠CAD=∠BAI，
∴，，即，即①正确；
②过点作交的延长线于点，，
四边形是矩形，，，，
，四边形是矩形，，
，即，由②知，即②正确；
③由①，同理，即③正确；
④根据题意得：正方形ADEB的面积等于，∴，
在中，，，
，即④正确．∴正确的有4个．故选：D.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握以上相关知识点是解题的关键．
5．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：是四个全等的直角三角形，
，，，
四边形为正方形，，，故选：C．
6．（2024·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．（2024·福建·中考真题）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．

【答案】2
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解：正方形的面积为4，，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，，同理可得，
四边形的面积为．故答案为：2．
8．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可.
本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键.
【详解】解：根据正方形的性质，得，，∴，
∵，∴,，
，∴，
∴，∴，∴的面积为；故答案为：．
9．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点，，，分别在边，，，上．若 ，，则的长是 ．
【答案】
【分析】由已知条件可以证明，从而得到，设，，用k的式子表示出，再利用列方程，解出，从而求出的值．
【详解】设，∵，∴可设，，
∵四边形是正方形，∴，
∵和都是等腰直角三角形，∴，
∴，，
∵四边形对角互补，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∴，∴，
∴，即，解得：或
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
10．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）．
【答案】①②③④
【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可．
【详解】解：①由图形可知，，整理得，故①符合题意；
②由图形可知，，整理得，故②符合题意；
③由下图知，，整理得，故③符合题意；
④由下图知，，
即，∴，∴，
由的面积公式得，整理得，故④符合题意；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键．
13．（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）结合垂直定义以及角的等量代换，得出，再由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
【详解】（1）证明：于点，于点，
，，
，，，，
在和中，，；
（2）解：，，，
，，．
14．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且．
特殊化探究：连接．设，．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：(1)若，，求的面积．
“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：(2)若，求证：．
深入探究：老师进一步提出问题：(3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：．请你解答这三个问题．
【答案】(1)6(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可；（2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证；
（3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系．
【详解】（1）解：设，则，∵，∴，
∵，∴在中，，即，解得（负值舍去），
∴，，∴．
（2）证明：∵，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）证明：设，正方形的边长为b，，
如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N，
，∵平分，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴．∴．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）问题发现：梓航在学完勾股定理后，翻阅资料，发现《几何原本》中有一种很好的勾股定理的证法：如图1，作于点，交于点，通过证明，的方法来证明勾股定理.
爱思考的梓航发现一个结论，如图2，若以的直角边，为边向外任意作，，斜边上的，延长，交于点，直线被所截线段为，当时，此时成立.请你帮他完成证明.

问题证明：（1）先将问题特殊化，如图3，当四边形，四边形，四边形均为矩形，且时，求证：，（按梓航的分析，完成填空）
分析：过作交直线，于，，过作交，于，；
可证；同理可证；
另外易得________________ 可得成立.
（2）再探究一般情形，如图2，当四边形，四边形，四边形均为平行四边形，且时，求证：.
问题探索：（3）将图2特殊化，如图4，若，，，，且，请你直接写出的值_______________（用含，的式子表示）.
【答案】（1）；（2）见解析（3）
【分析】（1）根据已知得出，，，直接可得；
（2）过分别作的垂线，将问题转为矩形的面积和，根据（1）的结论，即可求解；
（3）连接，取中点，连接，得过点作于点，则，得出，过点作，则四边是平行四边形，过点作于点，得出，，则，根据，即可求解．
【详解】（1）根据题意可得，，
∴，故答案为：．
（2）如图所示，过分别作的垂线，
∵，，
∴∴，同理可得
由（1）可得∴
（3）如图所示，连接，取中点，连接，
∵，∴
∵∴∴
∴∴
过点作于点，则∴
∴∴
∵，，四边形是平行四边形，∴
∴∴
又∴
如图所示，过点作，则四边是平行四边形，∴
过点作于点，∵∴
又∵∴，则∴，，
∴
∴
∵∴
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：；
【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．(1)根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差即可得结论；(2) 同（1）可证，求出、的长，再根据三角形的面积公式即可得到结论； (3) 过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E，证明是等腰直角三角形，同（1）可证，求出，进而可求的面积．
【详解】解：（1）由题意得，，，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，∴（AAS），
∴，，∴；
（2）同（1）可证，∴，，∴，
∵，∴，∴，，∴的面积为；
（3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E，
∵的面积为20，∴，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，同（1）可证，
∴，∴的面积为．
17．（2020·山西·模拟预测）综合与实践：正方形内“奇妙点”及性质探究
定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线．
证明：连接．由作图可知，，
又． ，∴是半圆的切线．
问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接.请判断和的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，请直接写出线段之间的数量关系；
（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；
（4）如图5，已知点为正方形的四个“奇妙点”．连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），理由见解析；（4）答案不唯一，如：的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等．
【分析】（1）先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出，再由边边边定理可证得，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；（2）由（1）可知、，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；（3）先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由（1）可知，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；（4）根据前面的结论结合赵爽弦图可证得
，即可提出猜想．
【详解】解：（1）结论：
理由如下：∵∴，，
∴∵∴
在和中∵，∴∴
∵∴；
（2）∵由（1）可知，、∴，
∵∴∴线段、、之间的数量关系是；
（3）结论： 理由：连接、，如图：
由（1）可知， ∵ ∴
∵点为的中点∴∴
∵四边形是正方形∴ ∴；
（4）延长交于点，连接、，如图：
∵由前面的结论可知∴
∵此图为赵爽弦图即∴同理可得、、
∵四边形是正方形∴∴
∴在和中，∴
∴∴∴
∴答案不唯一，例如，的面积等于正方形的面积；正方形的面积等于正方形面积的等等．
【点睛】本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．
18．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．
(1)直接写出：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．
【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为；(2)画图见解析．
【分析】（）①解直角三角形即可求解；由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；（）根据题意画出图形即可；本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，，则；
如图，为含的直角三角形板，，，，则，；
综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；
由题意可知，∴四边形是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为，高为，面积为；
（2）解：如图，即为所作图形．
19．（2024·广东·中考模拟预测）请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．
请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为 ；
(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长．
【答案】(1)a(2)S正方形MNPQ =2(3)AD的长为
【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
【详解】（1）解：四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a×a=a2，
则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
故这个新正方形的边长为：a．
（2）解：∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2，
答：正方形MNPQ的面积为2．
（3）解：如图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，
在Rt△RMF中，RM=MF tan30°=a×=a，∴S△RSF=a×a=a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，则AN=AD sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S△ADS=SD AN=×x×x=x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，等于△ABC的面积，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，
解得x=或x=-（不合题意，舍去）∴x=，答：AD的长为．
【点睛】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、解直角三角形多个知识点，通过本题我们可以体会到运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
20．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现：如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为、、．当，时，______．
问题探究：如图，中，．
（1）如图，分别以、、为边向外作的等腰直角三角形的面积为、、，则、、之间的数量关系是______．（2）如图，分别以、、为边向外作的等边三角形的面积为、、，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
实践应用（1）如图，将图中的绕点逆时针旋转一定角度至，绕点顺时针旋转一定角度至，、相交于点．求证：；
（2）如图，分别以图中的边、、为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，、、为直径的半圆柱的体积分别为、、．若，柱体的高，直接写出的值．
【答案】知识再现 ；问题探究：（1）；（2）；理由见解析；
实践应用：（1）见解析；（2）．
【分析】知识再现：利用勾股定理和正方形的面积公式可求解；
问题探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解；
(2)过点D作DG⊥BC交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；
实践应用：(1)设AB=c，BC=a，AC=b，则HN=a+b-c，FG=c-a，MF=c-b，可证明△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，则，，再由，可证明．
(2)设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．
【详解】知识再现：解：中，，，，
，，，故答案为：；
问题探究：解：中，，，
，，故答案为：；
解：中，，，过点作交于，
在等边三角形中，，，，
，同理可得，，
，；
实践应用：证明：设，，，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，，，，
是等边三角形，四边形是平行四边形，
，，
是直角三角形，，
，；
解：设，，，以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，
是直角三角形，，，，
，，，，
，，，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理，等边三角形的性质，圆的性质，圆柱的体积，平行线的性质是解题的关键．
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