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专题5 一元二次方程及其运用
用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法二次项系数化1，移项，配方，进行作答即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：D．
若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故A符合题意．
故选：A．
全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参加比赛的球队有支，
由题意可得，，
故选：．
（2024·广东深圳·二模）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，再根据3天的累计票房为亿元列出方程即可．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为 x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
由题意得，，
故选：D．
5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】
通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】
解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
6.已知方程的一个根是1，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．
【详解】解：将代入得：，解得．
故答案是：2．
7.若是方程的根，则 ．
【答案】1
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
8.解方程：．
【答案】，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
9.已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
解得
将，分别代入和
解得，
∴，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴该三角形是等腰直角三角形．
10.某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A，B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的的价格y（单位：元/个）与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：；销售B玩具日获利m（单位：元）与销售量n（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
【答案】(1)每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
(2)B型玩具的销售单价为13元
【分析】此题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程，再求解．
（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，则，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价．
【详解】（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：，
解得，
经检验是原方程的解，
答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；
（2）解：由题意得：购进A型玩具x个，则购进B型玩具个，
依题意可得方程：，
解得（舍去）
则销售B型玩具：（个），日获利：（元），
则每个获利（元），
（元），
故B型玩具的销售单价为13元．
一、一元二次的有关概念
1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c为常数，a≠0），其中、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）＝0 方程有两个的实数根；
（3）＜0 方程没有实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a≠0）的两根分别为，，则有，．
注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
四、一元二次方程的应用
1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
A．增长率＝ ×100%；
B．设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有．
（2）利润等量关系：
A．利润＝售价-成本；
B．利润率＝×100%．
（3）面积问题
3．解应用题的书写格式：
　　设→根据题意→解这个方程→答．
方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
问题：找对等量关系最后一定要检验．
1.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
2.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【详解】解：将代入原方程得：，
∴，
∴，
故选：D．
3.将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程．
【详解】
故选：A．
4.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
（2023·广东广州·中考真题） 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元．
【答案】80
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，
根据题意得：，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，
∴，
∴每件应降价80元．
故答案为：80．
7.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】9
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
8.对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．
【详解】解：方程的解为、，
，，
∴．
故答案为：6．
9.若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设与交点为，
根据题意
则
的对称轴为
故设
则方程为：
故答案为：
10.解下列一元二次方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）根据公式法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】
解：（1），
∴a=2，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=16+8=24＞0，
故x= ，
∴，，
∴，．
（2），
，
，
，
∴3x-2=0或-x+4=0，
故， ．
11.已知．
(1)化简T；
(2)已知，求T的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程．
（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可；
（2）先解一元二次方程，根据分式有意义的条件取，再代入求出答案即可．
【详解】（1）解：
．
（2），
，
，，
，，，
12.某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
【答案】该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为
【分析】本题主要查一元二次方程的应用，根据条件列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为，
依题意得：．
解得：，（不合题意，舍去）．
13.列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
【答案】30m，20m
【分析】
设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
【详解】
设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
14.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】
（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】
解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克.
设每千克水果售价为元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
1.（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据，有两个不相等的实根即可列出bds不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实根，
∴，且，
∴且，
故选：A ．
2.（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，依题意得，进而可求解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
即：，
故选A．
3.（2024·广东惠州·一模）若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
4.（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意，，
，
，
．
，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
5.在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可．
【详解】根据题意得，
解得，
方程化为，
把代入得，
解得，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选D．
6.关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
【答案】2，24
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根为，根据根与系数的关系得出，根据，得出，整理得出，根据方程的解为正整数，求出结果即可．
【详解】解：设方程的两根为，则
．
∵，
∴，
∴，
得，或．
解得：，或．
∴方程的两根为：2，24．
故答案为：2，24．
7.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【分析】由有两个相等的实数根，可得进而可解答．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：1．
8定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
9.已知一元二次方程一个根为1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
10.关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
1.已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：设另一根是，则有
，
解得：，
故选：C．
2.已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解．
【详解】解：∵的两根是，
，
．
故选：D．
3.（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】设平均增长率为，
依题意得：，
故选：．
4.方程x2=4x的解 ．
【答案】x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案为：x=0或x=4．
5.若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
6.（2024·广东东莞·一模）若m是方程的一个根．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值．根据一元二次方程解的定义可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，即，
∴
．
故答案为：．
7.（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
8.（2024·广东佛山·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
(1)求单位纸的用纸量月平均降低率；
(2)根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
【答案】(1)单位纸的用纸量月平均降低率为
(2)估算5月份单位纸的用纸量为512张．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设单位纸的用纸量月平均降低率为x，则3月份的用纸量为张，4月份的用纸量为张，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式计算即可．
【详解】（1）解；设单位纸的用纸量月平均降低率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：单位纸的用纸量月平均降低率为；
（2）解：张，
答：估算5月份单位纸的用纸量为512张．
9.已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a -4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：T=
=；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则T=．
10某玩具生产厂生产的玩具1月份平均日产量为20000，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求玩具日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【分析】
（1）设玩具日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】
解：（1）设玩具日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：玩具日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
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专题5 一元二次方程及其运用
用配方法解方程时，配方后所得的方程（　　）
A． B． C． D．
若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东深圳·二模）春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
6.已知方程的一个根是1，则m的值为 ．
7.若是方程的根，则 ．
8.解方程：．
9.已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
10.某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A，B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完．销售A型玩具的的价格y（单位：元/个）与销售量x（单位：个）之间的函数关系是：；销售B玩具日获利m（单位：元）与销售量n（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
一、一元二次的有关概念
1． 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c为常数，a≠0），其中、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3．一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
问题：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）＝0 方程有两个的实数根；
（3）＜0 方程没有实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a≠0）的两根分别为，，则有，．
注意：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．
四、一元二次方程的应用
1． 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．
2． 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
A．增长率＝ ×100%；
B．设a为原来量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则；当x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有．
（2）利润等量关系：
A．利润＝售价-成本；
B．利润率＝×100%．
（3）面积问题
3．解应用题的书写格式：
　　设→根据题意→解这个方程→答．
方法：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．
问题：找对等量关系最后一定要检验．
1.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2.如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
3.将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
4.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
（2023·广东广州·中考真题） 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A. B. 1 C. D.
（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元．
7.已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
8.对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
9.若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为 ．
10.解下列一元二次方程：
（1） （2）
11.已知．
(1)化简T；
(2)已知，求T的值．
12.某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
13.列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
14.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
1.（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
2.（2024·广东茂名·一模）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3.（2024·广东惠州·一模）若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A． B．且 C．且 D．
4.（2024·广东云浮·一模）关于x的一元二次方程（其中）的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根
5.在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A． B． C．2 D．4
6.关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ．
7.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
8定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
9.已知一元二次方程一个根为1，则______．
10.关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
1.已知是方程的一个根，则它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
2.已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2024·广东深圳·三模）如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（ ）
A． B．
C． D．
4.方程x2=4x的解 ．
5.若a，b是一元二次方程的两个根，则 ．
6.（2024·广东东莞·一模）若m是方程的一个根．则的值为 ．
7.（2024·广东惠州·二模）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
8.（2024·广东佛山·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．
(1)求单位纸的用纸量月平均降低率；
(2)根据（1）的结果，估算5月份单位纸的用纸量．
9.已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
10某玩具生产厂生产的玩具1月份平均日产量为20000，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求玩具日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
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