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专题30 解直角三角形模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。
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模型1.“12345”模型及衍生模型 1
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模型1.“12345”模型及衍生模型
（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格交点）。
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
12345基础模型 模型还可变式为
； 变式1： ；变式2：。
证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在DC上取一点F使得DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
图1
证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，在DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，
故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。
注意：下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。
（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；
（5）∠α+∠β＝90°； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】法1：先根据，，再由12345模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．
法2：先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD．
【详解】法1：∵，，∴根据12345模型知：∠BDC＝45°，
∵，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵，∴CD=
法2：在中，，，∴∴
由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，
∵，，∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴,
在中, ∴
∵ ∴故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】法1：连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出∠GAE=45°，再利用12345模型的变式，求解即可。
【详解】解：法1：如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90° ∵G为BC的中点∴BG=GC=4
由折叠的性质可得AF=AB=8，BG=GF=4，在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵AE=AE，AF=AD=8，∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）∴DE=EF
设DE=EF=x，则EC=8-x 在Rt△CEG中，GC2+EC2=GE2，即解得故选：C．
法2：由法1知：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，
∵∠DAB=90° ，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中点，∴，
由12345模型变式知：，∵AD=8，∴DE，故选：C．
【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．
例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，E是上一点，且，则的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【答案】B
【分析】法1：过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，利用12345模型变式求解即可。
法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，可证明四边形ABCF是正方形，可得DF的长，根据角的和差关系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可证明△DCF≌△GCB，可得CD=CG，BG=DF，根据∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可证明△DCE≌△GCE，可得DE=GE，根据S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE列方程可求出AE的长，进而求出GE的长即可得答案．
【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，
∵，，，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴，
由12345模型变式(即：)知：
∵BC=4，∴BE，AE，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE，故选：B．
法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，
∵，，，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，
∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，
在△DCF和△GCB中，，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，
∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，
在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE，
∴S△GCE=S△DCE，DE=GE，∴S正方形ABCF=S△AED+2S△GCE，
∴AE·AD+2×GE·BC=AB2，即×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故选：B．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】．法1：过点作AH//FM，交DC于点H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的变式，求解即可。
法2：连接交于N，过点F作于H，由正方形的性质得，，，，由勾股定理得，再证明，得，从而求得，，继而求得，，，然后证明，得，即，从而求得，继而求得，最后证明，得∴，即，从而可求得．
【详解】法1：过点作AH//FM，交DC于点H，
∵正方形，∴，∴四边形AFMH为平行四边形。∵，∴
∵点，分别为，的中点，，∴BE=AF=HM=2，∴，
∵，由12345模型变式知：，∵AD=4，∴，∴，
法2：连接交于N，过点F作于H，如图，
∵正方形，∴，，，，
∴，∵点，分别为，的中点，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∴，，∴，∴，，
∵，，∴，∴，即，
∴，∴，∵，∴，
∴，即，∴，故答案为：．
【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 .
【答案】
【解析】根据AB=2，AE=，∠B=90°得到：BE=2，可得tan∠BAE=，
∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
根据12345模型知：tan∠DAF=，∴DF=，
再根据勾股定理求得：AF=，故答案为：
例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】法1：由12345模型求解；法2：构造相似三角形，对的取值分析进行讨论，在时，点在轴的负半轴，而此时，，不合题意；故．由相似比求得边的相应关系．
【详解】法1：∵一次函数的图像分别交x、y轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
∵点P为线段OB的中点，∴P（0，），PO=，可得tanα=，
根据12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．
法2：作，连接．则，,如图，
由可得．∴，∴．
当时，，
所以，此时，故不合题意．∴．
∵，∴，即，∴，
∵点为线段的中点，∴，∴，即解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形．
例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
【答案】
【解析】∵E 为BC的中点，AB=6，∴BE=3，可得tan∠BAE=，由翻折知：tan∠FAE=，
根据12345模型知：tan∠GAD=，过点G作GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH
设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故AB=AF=7x，GF=2x。
∵AB=6，∴7x=6，x=，GH=，故答案为：。
8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在上，记为，折痕为；再将边斜向下对折，使点落在边上，记为，折痕为，，．则矩形纸片的面积为 ．

【答案】
【分析】根据折叠性质和勾股定理求得和的长，或者利用相似三角形的判定与性质求出相应线段长，再由勾股定理解方程，然后根据矩形的面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：方法1：由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．
∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．
∵BE＝，∴tan∠BCE＝，由12345模型变式知∴tan∠D'CF＝，tan∠B'CB＝．
∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝，
∴DF＝D'F＝BD’＝，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，
∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15．
解：方法2：设，则，由题意可得，，，
，，，，
，，
，，解得或，
当时，，，时不符合题意，舍去；
当时，，，矩形纸片的面积为，故答案为：；
方法3：设，则，，，由题意可得△，，
，，，，，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，（舍去），矩形纸片的面积为，故答案：．
【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答．
例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】A
【简证】易知，故
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，，．
由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，
又，，在和中，，，
，，设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，．．
，．
，，，
，即，解得．
例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ．
【答案】 2
【简证】易知，，接下来对△AME分析，如图易知，过M作AE的垂线段，设EM=5x，则，，则
【常规法思路】如图，证明，得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，证明，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长．
【常规法】解：∵正方形的边长为，点是的中点，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
∵，∴，，∴，
∴，∴，
故点作，则：，∴，
∴，∴，
∴，∴
1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形中，，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】法1：连接AE，根据正方形与轴对称的性质证明Rt△AFE≌Rt△ADE，得出EF＝DE，设DE＝FE＝x，在Rt△ECG中应用勾股定理求出x，进而求解．法2：先求出∠GAE=45°，再利用12345模型的变式，求解即可。
【详解】如图，连接AE，由题意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，，∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），∴EF＝DE，
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x，∵G为BC中点，BC＝6，∴CG＝3，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得：，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故选A．　
法2：由法1知：Rt△AFE≌Rt△ADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝GB，
∵∠DAB=90° ，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中点，∴BG=3，，
由12345模型变式知：，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明Rt△AFE≌Rt△ADE是解题的关键．
2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）

A．12 B．3 C．3 D．3
【答案】C
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。
法2：将△CDF逆时针旋转到△CBM的位置，易证△CEF与△CEM全等，设，表示出EF，AF长度，解直角三角形即可求解，再通过勾股定理求算CF．
【详解】法1：∵BC=8，E是AB中点，∴BE=4，∴，
∵∠ECF=45°，由12345模型变式知：，
∵DC=9，∴DF=3，∴，故选：C．
法2：将△CDF逆时针旋转到△CBM
∵∠ECF=45°，四边形ABCD是正方形∴ ∴△CEF≌△CEM∴
设，E是AB中点∴ ∴
在直角三角形AEF中： 解得： ∴ 故答案选：C．

【点睛】本题考查正方形与旋转、勾股定理综合．转化相关的线段建立等量关系是解题关键．
3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
【答案】D
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。
法2：本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，延长至，使，证明四边形为正方形，得出，，，证明以及，得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，
∵，，，∴四边形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴，
由12345模型变式(即：)知：
∵BC=8，∴BE，AE，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE，故选：D．
法2：解：如图，作于，延长至，使，
∵，，∴四边形为正方形，∴，，，
∵，∴，∵，，，
∴，∴，，∵，
∴，∴，
∵，，，∴，∴，
设，则，∴，
在中，，∴，解得：，∴，故选：D．
4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 ．
【答案】18
【分析】法1：由12345模型求解；法2：构造相似三角形△PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=45°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边的相应关系．
【详解】法1：∵一次函数y＝﹣x＋m的图像分别交x、y轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
∵点P为线段OB的中点，∴P（0，），PO=，可得tanα=，
根据12345模型知：tanβ=，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．
法2：作OD=OC=3，连接CD．则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．
∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，
∴△PCD∽△APB， ∴，即解得m=18．故答案是：18．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题时，注意分类讨论数学思想的应用．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。法2：作正方形，先说明 ，可求出，再由全等可知：，然后根据勾股定理求出答案.
【详解】根据翻折，易证：∠EAF=45°，∵，，，∴，∴，
由12345模型变式(即：)知：
∵，∴。
法2：如图中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交于点K，连接，得正方形，
当时，，，，，，，，
（简证）在和中，（ASA），
∴，则，，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键．
6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．
【答案】
【分析解答】法1：观察发现，且∠GHD=45°，条件已经具备，
考虑GF可动，平移GH，将α、β、45°汇于直角处，故，
∵，∴CF=3，∴DF=．
法2：作高（如图所示求解）
7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
【答案】2
【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∵tan∠BAE＝＝＝，∴tan∠DAF＝，∴＝，∴DF＝＝2．
7.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF= ．
【答案】6．
【分析】法1：过A作AM⊥DF于M，再利用12345模型的变式，求解即可。
法2：作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；
【详解】法1：过A作AM⊥DF于M，∴∠ADF+∠MAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∴∠FDC=∠MAD，
由折叠的性质易证：∠PAM=45°，∵P是BC的中点，∴
由12345模型变式知：，∴，∵CF=2，∴DF=6．
法2：过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠ADF+∠MAD=90°，∴∠FDC=∠MAD，∵∠AMD=∠DFC=90°，∴△AMD≌△DFC，
∴DM=FC=2，由折叠得：AB=AE，BP=PE，∵AB=AD，∴AE=AD，∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，
∵P是BC的中点，∴PC=BC=AD=PE，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，
∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，∴∠PAE+∠EAM=∠BAD=45°，
过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，∴△PAH是等腰直角三角形，∴∠APH=45°，∴∠HPE=α=∠MAD，
∵∠PGE=∠AMD=90°，∴△PGE∽△AMD，∴ ∴
∴GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，∴AH=2x﹣1，
∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．
8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
【答案】3
【解析】如图所示，取点E，设∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=
8
∵根据外角定理：∠BOD=α+45°，根据12345模型知：tan∠BOD=3，故答案为：3。
9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB=，tan∠BOC=，则点A’的坐标为____________．
【答案】（-，）
【解析】设∠OAB=α，过点A’作A’H⊥AB. ∵OB=，tan∠BOC=，∴OA=1，AB=2.
根据翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC=，A’B=AB=2.
根据12345模型知：tan∠ABA’=，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H=，BH=，A坐标（-，）．
10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
【答案】
【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．
∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．
∵tan∠CDM＝＝，∴tan∠ADF＝＝，tan∠DGA＝tan∠CDG＝．
∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝cm，∴FG＝＝cm．
11．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 .
【答案】
【分析】先判断出∠OBF=∠CAE，从而得出△AOG≌△BOF，即可判断出△OFG是等腰直角三角形，再根据勾股定理和射影定理求出BF，AF，AG，即可得出FG．
【详解】如图，
作OG⊥OF交AE于G，
∴OA=OB,∠FOG=90°，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOG=∠BOF，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE=∠BAC ∠CAE
∴∠OBF=∠ABF ∠ABD=90° ∠BAE ∠ABD=90° ∠BAC+∠CAE ∠ABD=∠CAE，
在△AOG和△BOF中，
∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OG=OF，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∵CE=2BE,BC=，
∴BE=，
根据勾股定理得,AE=，
在Rt△ABE中，
根据射影定理得，BF=1，AF=3，
∴AG=BF=1，
GF=AF BF=2，
∴OF=.
故答案为.
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定（ASA）与性质，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定（ASA）与性质.
12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论．
【详解】解：由折叠知，，，，
，
在中，，
设，则，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
13．（23-24九年级·天津河西·期末）正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为 ．
【答案】
【分析】根据△BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据△AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN＝AN﹣AM即可解决．
【详解】∵BF∥AD，
∴△BNF∽△DNA，
∴，
而BF＝BC＝1，AF＝，
∴AN＝，
又∵△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠AED＝∠BFA，
∴△AME∽△ABF，
∴，
即：，
∴AM＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝，
故答案为:．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 ．
【答案】/y=4+3x
【分析】先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系数法，即可求出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
∴令，则；令，则，
∴点A为（2，0），点B为（0，4），
∴，；
过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AO=FE，BO=AE，
∴，，
∴，
∴点F的坐标为（，）；
设直线BC为，则
，解得：，
∴直线BC的函数表达式为；
故答案为：；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
【答案】20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
16．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，
易证
∴，∴∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出的值；(3)求直线的解析式．
【答案】(1)(2)，(3)
【分析】（1）首先求出点，然后设，在中，利用勾股定理求出，得到，然后代入求解即可；（2）首先根据，得到，，求出，，然后利用正切值的概念求出，然后证明出四边形是矩形，得到，然后由即可求出；
（3）首先根据矩形的性质得到，，然后利用求出，进而得到，然后设直线的解析式为，利用待定系数法将和代入求解即可．
【详解】（1）将代入得，，∴，
∵直线与反比例函数的图象交于点，∴设，
∵，，∴在中，，
∴，∴解得，，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，∴应舍去，∴，∴，
∴将代入，解得；∴反比例函数的解析式为；
（2）∵，，∴，，∴，，
∵，∴，
∵，，∴四边形是矩形，∴，
∵将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，
∴，∴，∵，∴；
（3）∵四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，即，∴解得，
∴，∴，∴设直线的解析式为，
∴将和代入得，，∴解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是正确理解材料的内容．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题30 解直角三角形模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。
1
模型1.“12345”模型及衍生模型 1
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模型1.“12345”模型及衍生模型
（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格交点）。
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
12345基础模型 模型还可变式为
； 变式1： ；变式2：。
证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在DC上取一点F使得DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
图1
证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，在DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，
故tan∠DAF=，tan∠BAE=，tan∠FEC=，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。
注意：下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。
（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；
（5）∠α+∠β＝90°； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，，，，E是上一点，且，则的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别为，的中点，连接，点是线段上一点，连接，延长交于点，若，，则的长为 ．
例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 .
例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ．
例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在上，记为，折痕为；再将边斜向下对折，使点落在边上，记为，折痕为，，．则矩形纸片的面积为 ．

例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ．
1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形中，，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）

A．12 B．3 C．3 D．3
3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，则的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 ．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，则线段的长为 ．
6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．
7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
7.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF= ．
8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB=，tan∠BOC=，则点A’的坐标为____________．
10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
11．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 .
12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ．
13．（23-24九年级·天津河西·期末）正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为 ．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为 ．
15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ．
16．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形是矩形，是等腰直角三角形，记为、为，若，则．

证明：设，∵，∴，
易证
∴，∴∴，
若时，当，则．
同理：若时，当，则．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．将直线绕点顺时针旋转后的直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，已知．

(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出的值；(3)求直线的解析式．
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