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专题13 等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型
维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。
而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。
2
模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 7
14
模型1.等边三角形中维维尼亚模型
条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。
结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；
②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。
（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1 图2
证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC，
则，
∵； ∴PD+PE+PF=AM。
②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA，
则，
∵； ∴PD+PE-PF=AM。
例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　）
A． B． C．2 D．
例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（ ）

A． B． C． D．
例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，且，，，以下3个结论：①；②；③；④若点P到三边的距离分别为，，，则有，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由．
(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型
条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，
结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。
②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。
图1 图2
证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PE+PD=CF。
①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PF-PE=CD。
例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为(　　)
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ．
例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______；
(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．
例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．
（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．
例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．
(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（ ）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．30
4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则 ．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ．
6．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”）
7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点Р为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G、H，若，，则下列结论正确的有 （填正确结论的序号）①②的面积是③④．
8．（2024八年级·广东·培优）如图，在中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说法一定正确的有 ．

①；②；③；④若点B，C位于l异侧，有．
9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．

10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰中，，，P为三角形内（含边）一点，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F．若，则长为 ；若，则点P运动的路径长为 ．
11.（23-24八年级下·河南南阳·期中）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）观察猜想:如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：　 　．
（2）类比探究:如图2，当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．
（3）解决问题:如图3，当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长　 　．
12．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）．
变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．
从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B．
（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ；（3）说明ABC是等腰三角形；
（4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
13.（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值．
(1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________．
知识应用：(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________．
14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．
(1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．
(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．
(3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．
(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．
(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．
16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】
如图1，在等腰中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于E，于F，于D．求证：；
（2）【问题探究】如图2，和是两个含的直角三角形，其中，，连接、，，求的长；
（3）【问题解决】如图3，四边形是某农业观光园的部分平面示意图，是一条灌溉水渠，E为入口，E在线段上，管理人员计划从入口E处沿、分别修两条笔直的小路，将园区分割为、和三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造价为50元，求所修小路的总费用．

17．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D是中BC边上的一点，过点D、A分别作、、，，垂足分别为点E、F、G，由与的面积之和等于的面积，有等量关系式：．像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题．
(1)如图（1），矩形中，，，点P是上一点，过点P作，，垂足分别为点E、F，求的值；
(2)如图（2），在中，角平分线，相交于点O，过点O分别作，，垂足分别为点M，N，若，，求四边形的周长．
18．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，点是矩形的对角线上的一点，且，，，点为直线上的一点，且于点，于点．

(1)如图1，当点为线段中点时，易证：　 　；
(2)如图2，当点为线段上的任意一点不与点、点重合时，其它条件不变，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点为线段延长线上的任意一点时，其它条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？请证明你的猜想．
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维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。
而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。
2
模型1.等边三角形中维维尼亚模型 2
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 7
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模型1.等边三角形中维维尼亚模型
条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。
结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；
②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。
（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1 图2
证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC，
则，
∵； ∴PD+PE+PF=AM。
②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA，
则，
∵； ∴PD+PE-PF=AM。
例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】求出等边三角形的高，再根据△ABC的面积等于△PAB、△PBC、△PAC三个三角形面积的和，列式并整理即可得到PD＋PE＋PF等于三角形的高．
【详解】解：∵正三角形的边长为2，∴高为2×sin60°＝，∴S△ABC＝×2×＝，
∵PD、PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，∴S△PBC＝BC PD，S△PAC＝AC PE，S△PAB＝AB PF，
∵AB＝BC＝AC，∴S△PBC+S△PAC+S△PAB＝BC PD+AC PE+AB PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF，
∵S△ABC＝S△PBC+S△PAC+S△PAB，∴PD+PE+PF＝．故选B．
【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解．
例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质，连接、、，过B作于点G，根据面积相等得出，求出，得出，即可求出面积．
【详解】解：如图，连接、、，过B作于点G，

∵，，
，，∴，
∴．故选：C
例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，且，，，以下3个结论：①；②；③；④若点P到三边的距离分别为，，，则有，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】将绕点A顺时针旋转，得到，连接，由全等三角形的性质可得，，，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求，取中点Q，连接，根据直角三角形斜边中线性质可求，进判断为等边三角形，，可得，，可判断①，由勾股定理可求的长，可判断②，由三角形的面积公式可求的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求的值，即可判断④．
【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，
∴，，∴，，，
∴是等边三角形，∴，，
∵，，∴，∴，
取中点Q，连接，∴，∴是等边三角形，
∴，∵，∴，
又∴，∴，
∴，∴，故①错误；
∵，∴，故②正确；
∴，故③正确，如图，
∴，∴，故④正确，故选：B．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由．
(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：
【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论；（2）连接，根据可得出结论；（3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论．
【详解】（1）解：当点P与点M重合时，，
理由：过点M作于点D，于点E，如图，则，，

∵且 ∴是等边三角形，
∵即，∴， ∴，
∴，∴，∴；
（2）解：．理由如下：如图②，连接，则 ，
∴，即，
又∵是等边三角形，∴，∴；
（3）解：如图，连接，则 ，
∴，即 ，
又∵是等边三角形，∴， ∴，
∴，∴，两边同时除以2022得，，
∴，即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键．
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型
条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，
结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。
②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。
图1 图2
证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PE+PD=CF。
①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PF-PE=CD。
例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为(　　)
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】连接AO，根据三角形的面积公式即可得到AB OE＋AC OF＝12，根据等腰三角形的性质进而求得OE＋OF的值．
【详解】连接AO，如图，
∵AB＝AC＝4，∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝AB OE＋AC OF＝12，
∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝4，∴OE＋OF＝2．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此题的关键．连接，过点E作于Q，根据可得出，根据折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出，继而求出，然后即可求出结论．
【详解】解：如图，过点E作于Q，连接，
∵四边形是矩形，∴，∴，
由折叠可得，，∴，∴，
∵、，∴，
∵，∴，∵四边形是长方形，∴，．
∵，，∴．
由折叠易知，，，，
∴∴．∴．故答案为：8．
例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______；
(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．
【答案】(1)(2)25(3)(4)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可；（2）过点B作，交AC于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可；（3）先证明，根据，得出，即，即可求出结果；（4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可求出结果．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：过点B作，交AC于点H，则：，

，，，；
（3）解：连接，如图所示：，点D为边的中点，平分，
，，（角平分线的性质）；
∵，，，
由（2）知，，；
（4）证明：连接，如图所示：
∵，，，，，，
，，，
即：，．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，准确计算．
例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．
（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．
【答案】证明见解析
【分析】（1）首先过点作，垂足为点；连接，根据列出等式，，然后根据，即可得证；
（2）首先过点作，垂足为点；连接，根据，得出，然后根据，即可得证；
（3）根据，得出关系式，然后根据为等边三角形，得出，即可得证.
【详解】（1）过点作，垂足为点；连接．
∵，∴．
又∵，∴，为定长．即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长．
（2）过点作，垂足为点；连接．
∵，∴．
又∵，∴，为定长．
即等腰三角形底边的延长线上的任意一点，到两腰的距高之差等于定长．
（3）∵，∴．
又∵为等边三角形，∴．∴，为定长．
即等边三角形内一点到三边距离之和为定长．
【点睛】此题主要考查利用面积构建等式，结合等腰三角形和等边三角形的性质，即可解题.
例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．
(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
【答案】(1)55°(2)①见解析；②△BCD是等边三角形，理由见解析
(3)在点P的运动过程中，PM+PN＝CE，理由见解析(4)（6+2）dm
【分析】（1）由∠A=130°，∠B=120°知不可能还有内角与∠A、∠B相等（否则内角和大于360°），则∠C=∠D，即得∠D=55°；（2）①由ED//BC得∠EDB=∠DBC，根据对角线BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，故∠ABD=∠EDB，即证四边形ABDE为等邻角四边形；②设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240，在△BCD中，x+2y=180，可解得，即∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，故△BCD是等边三角形；（3）过P作PGCE于G，由图象可得：四边形PMEG是矩形，再证明△PGC≌△CNP，得CG=PN，即有PM+PN＝EG+CG=CE；（4）作BHAD，由(3)中的结论可得：ED+EC=BH，设DH=xdm，利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，解得x，求得BH，进而求出ED+EC，再根据斜中线定理求得△DEM与△CEN的周长之和．
【详解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根据“等邻角四边形”定义可知：
∠C=∠D，∴∠D=(360° 130° 120°)÷2=55°；
（2）①证明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC，
∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB，∴四边形ABDE为等邻角四边形，
②解：△BCD是等边三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD，
设∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，
∵∠A+∠C+∠E=300°，五边形ABCDE内角和为(5﹣2)×180°=540°，
∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240，
在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180，
由联立方程组，解得，
∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等边三角形；
（3）解：在点P的运动过程中，PM+PN=CE，理由如下：
过P作PGCE于G，如图：
∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°，
∴四边形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC，
∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°，
∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE，
即在点P的运动过程中，PM+PN的值总等于CE；
（4）作BHAD，垂足为H，如图：由(3)中的结论可得：ED+EC=BH，
设DH=xdm，则AH=AD+DH=(3+x)dm，
∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，
∵AB＝2，AD＝3，BD＝，∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2，解得：x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+2，
∴△DEM与△CEN的周长之和为(6+2)dm．
【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义等邻角四边形的证明，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】连接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据，得到方程求解即可．
【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x，
∵OE=OF，∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD为△ABC的中线，∴A、D、O三点共线，∴BD=3，
在Rt△ABD中，AD==4，∴
∴12=10x+10x 3x，∴x=∴AO=4+=.故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．
2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（ ）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35
【答案】C
【分析】连接AG，根据S△CGA+S△BGA＝S△ABC，AC＝AB，得到GE+GF＝BD，求得GF的长，根据∠ABC=∠C，得到tan∠ABC=tanC＝2＝，求解即可.
【详解】解：连接AG，

∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，
∴×AC×GE+×AB×GF＝×AC×BD，
∵AC＝AB，
∴GE+GF＝BD，
∵BD＝4，GE＝1.5，
∴GF＝2.5，
∵tan∠ABC=tanC＝2＝，
∴BF=1.25.
故选C．
【点睛】本题主要考查锐角的正切值，三角形面积公式，解此题的关键在于作辅助线构造三角形.
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】B
【分析】延长交于，延长交于，由条件推出四边形，四边形是平行四边形，是等边三角形，得到，即可求出的周长．
【详解】解：延长交于，延长交于，
，
，
四边形，四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
同理：是等边三角形，
，
，
，
的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质，平行四边形的性质证明．
4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则 ．
【答案】
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
先设，则，根据是等边三角形，得出，再利用三角函数求出和的长，即可得出的值．
【详解】
解：
边上的高线，
∴，
设，则，
是等边三角形，
．
∴，即，
同理可证：，
∴．
故答案为：．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】以点为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设为根据已知和等面积法得到x、y的关系式，则可知点在直线上运动，当CP垂直该直线时，CP最小，求出CP所在的直线方程，联立方程组求点P坐标，再利用两点间距离公式即可求解．
【详解】如图所示，以点为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立平面直角坐标系，
设为，过作轴，轴，，
∴，，连接，，，
∴，
∴，
解得：，
∵到三角形三边的距离和为7，
∴，
即：，
整理得：，
∴点在直线上运动，设直线为，
∴当交于点时，最小，
∴，∴，
又∵直线过原点，
∴直线为：，
联立，解得：，
∴点为，
∴最小值为，
即：．
【点睛】本题是将几何图形问题转化为平面直角坐标系中的问题，涉及三角形的等面积法、求直线方程、直线方程的动点和最值问题、解二元一次方程组、两点间的距离公式等知识，解答的关键是找到相关知识的关联点，利用代数知识解决几何问题，是有一定难度的填空压轴题．
6．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查三角形的概念，熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键，连接连接、，利用“等面积法”可得，从而得到，又，进而可得，即可得答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
∵﹐且，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点Р为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G、H，若，，则下列结论正确的有 （填正确结论的序号）①②的面积是③④．
【答案】①②④
【分析】根据将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，证明四边形是菱形，可得，得，判断①符合题意；求出，可得的面积，判断②符合题意，在中， ，判断③不符合题意；由，可得，判断④符合题意．
【详解】解：∵将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵ ，
∴，故①符合题意；
∴，
在中，，
∴的面积为，故②符合题意；
在中，，故③不符合题意；
如图，连接，
∵
∴， 而，
∴，故④符合题意，
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，菱形的判定，涉及勾股定理及应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
8．（2024八年级·广东·培优）如图，在中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说法一定正确的有 ．

①；
②；
③；
④若点B，C位于l异侧，有．
【答案】②③/③②
【分析】连接，，证明，可判定②；证明，得，由，可得，即是梯形的中位线，由梯形中位线性质可判定③；在与中，，，，得与是对应边，由于，无条件能得出，故不能判定两三角形全等，可判定①；若点B，C位于l异侧，分两种情况：当时，求得；当时，求得，可判定④．
【详解】解：连接，，如图，

∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∴
∵AD为的中线，
∴
∴
∴是梯形的中位线，
∴
∵
∴，故③正确；
在与中，，，，
∵，而与不一定相等，则与不一定相等，
∴与没有对应边相等，所以与全等，故①错误；
若点B，C位于l异侧，分两种情况：当时，如图，

在截取，过点M作，垂足为M，交于N，过点N作于P，过点D作于Q，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，，
∴四边形是矩形，
∴ME=NP，
∵，，，
∴，
∴
∴，即；
当时，如图，

在截取，过点M作，垂足为M，交于N，过点N作于P，过点D作于Q，
同理可得：
综上，若点B，C位于l异侧，则有或，故④错误．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，梯形中位线性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（2023·四川内江·中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．

【答案】/
【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知等腰中，，，P为三角形内（含边）一点，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F．若，则长为 ；若，则点P运动的路径长为 ．
【答案】
【分析】（1）如图，当时，连接，，可证四边形是正方形，再利用证明，，得出，，设，则，再结合，即可求出长；
（2）作的角平分线交于点M，过点M作交于点H，在上取一点P，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F，过点M作．首先证明，再证，得出点P运动的轨迹为线段，求出线段即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，当时，连接，．
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
，
，
同理可证．
设，则，，，
，，
．
又，
，
解得，即；
（2）如图，作的角平分线交于点M，过点M作交于点H，在上取一点P，过点P分别作、、的垂线，垂足分别为D、E、F，过点M作．
等腰中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
．
平分，，，
．
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
点P运动的轨迹为．
设，则，，
，
，
，
，
．
即点P运动的路径长为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等，难度较大，解题的关键是通过添加辅助线找到点P的运动轨迹．
x积公式是解题的关键．
11.（23-24八年级下·河南南阳·期中）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）观察猜想:如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：　 　．
（2）类比探究:如图2，当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．
（3）解决问题:如图3，当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长　 　．
【答案】（1）PD+PE+PF＝AB；（2）PD+PE+PF＝AB，见解析；（3）14
【分析】（1）由PE∥AC，PF∥AB可判断四边形AEPF为平行四边形，根据平行线的性质得∠1＝∠C，根据平行四边形的性质得PF＝AE，再根据等腰三角形的性质得∠B＝∠C，则∠B＝∠1，则可根据等腰三角形的判定得PE＝BE，所以PE+PF＝AB；
（2）因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE＝AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB；
（3）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可得到结论．
【详解】解：（1）答：PD+PE+PF＝AB．
证明如下：∵点P在BC上，
∴PD＝0，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠C，
∴∠B＝∠BPE，
∴PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+AE＝AB，
∵PD＝0，
∴PD+PE+PF＝AB，
故答案为：PD+PE+PF＝AB；
（2）如图2，结论成立：PD+PE+PF＝AB．
证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∵MN∥BC，PF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠EMP＝∠B，
∴∠EMP＝∠EPM，
∴PE＝EM，
∴PE+PF＝AE+EM＝AM．
∵四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD．
∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，
即PD+PE+PF＝AB；
（3）如图3，过点P作MN∥BC分别交AB、AC延长线于M、N两点．
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，
∵PE∥AC，
∴∠EPM＝∠FNP，
∴∠AMN＝∠FPN，
∴∠EPM＝∠EMP，
∴PE＝ME，
∵AE+ME＝AM，
∴PE+PF＝AM，
∵MN∥CB，DF∥AB，
∴四边形BDPM是平行四边形，
∴MB＝PD，
∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，
∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，
∴平行四边形PEAF的周长＝14，
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质应用，结合等腰三角判断角的关系是解题的关键．
12．（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．小明的证明思路：如图2，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得PD+PE=CF（不需写出证明过程）．
变化一下：（1）如图3，当点P在BC的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD、PE和CF的关系，并证明．
从几何到函数：如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数和的图像，l1、l2与x轴的交点分别为A、B．
（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C，点C的坐标是 ；（3）说明ABC是等腰三角形；
（4）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．
【答案】（1）PD＋PE＝CF，见解析；（2） ；（3）见解析；（4）（，2）或（-，4）
【分析】（1）连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论；
（2）根据一次函数图象，与y轴交点即为点C，令x=0求出y值即可得到点C的坐标；
（3）求出A、B、C三点坐标，根据坐标求出线段AB和AC的长相等，即可求证；
（4）分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标．
【详解】解：小明的证明思路：如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴＝AB PD，＝AC PE，＝AB CF，
∵＋＝，∴AB PD＋AC PE＝AB CF，
又AB＝AC，∴PD＋PE＝CF；
（1）如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴＝AB PD，＝AC PE，＝AB CF，
∵ ＝ ，∴AB PD AC PE＝AB CF，
又∵AB＝AC，∴PD PE＝CF；
（2）∵和两条直线恰好相交于y轴上的点C，
∴当 ，则 ，∴ ；
（3）∵点A是l1与x轴的交点，∴当 时 ，∴ ，
∵点B为l2与x轴的交点，∴当 时 ，∴ ，∴ ，
∵，，∴ ，∴AB=AC,∴ABC是等腰三角形；
（4）如图④，由题意可求得A（ 4，0），C（0，3），B（1，0），
∴AB＝5，AC＝5，BC＝，OC＝3，
当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q，
∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ＝1，由图②的结论得：MP＋MQ＝OC=3，
∴MP＝2，∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y＝ 3x＋3，∴当y＝2时，x＝ ∴M坐标为（，2）；
同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP MQ|＝OC，
可求得MP＝4或MP＝ 2，即M点的纵坐标为4或 2，
分别代入y＝ 3x＋3，可求得x＝-或x＝（舍，因为它到l1的距离不是1），∴M点的坐标为（-，4）；
综上可知M点的坐标为（，2）或（-，4）．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
13.（23-24九年级上·四川成都·期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值．
(1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________．
知识应用：(2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________．
【答案】(1)(2)的周长是定值24，理由见解答过程(3)
【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论；
（2）先求，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题；（3）由，可求的长，从而求出．
【详解】（1）解：如图1，设与的交点为，连接，
四边形是矩形，，，
，，，，，
，，
，，，，
，解得：．
（2）解：的周长是定值24，理由如下：
四边形是矩形，，，，，
连接，过点作于，如图2所示：
则四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，
，，
，，，
在中，由勾股定理得：，，
，，，，
，，的周长，的周长是定值24；
（3）解：如图3，连接，，，
，是等边三角形，
，，
，，，
【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积等知识是解题的关键．
14．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．
(1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．
(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．
(3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

【答案】(1)(2)证明过程见详解
(3)设正边形的边心距为，（定值）
【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据材料即可求证；
（2）如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，可得，，由此即可求解；
（3）设正边形的边心距为，图形结合分析，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是正方形，边长为，是对角线，
∴，且，∴是等腰三角形，
如图所示，连接，过点作于点，

在中，，∴，∴，即，
∵于，于，∴由材料可知，∴．
（2）解：如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，
∵等边三角形，，∴是等边三角形，
∴在中，根据材料提示可得，①，
∵，，∴②，∴①②得，．
（3）解：正边形的内角和为，每个内角的度数为，如图所示，

垂直于边，即设正边形的边心距为，∴（定值）．
【点睛】本题主要考查利用面积分割法，求线段之间的关系，理解材料中面积法求线段关系，掌握面积的计算方法，分割方法是解题的关键．
15．（2022·黑龙江绥化·中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．
(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．
(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【分析】（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，由得，；
（2）解：连接，过点作于，如图所示：根据折叠可知，
在矩形中，，则，，即是等腰三角形，
在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得，
在中，，，则，
在四边形中，，则四边形为矩形，
，即；
（3）解：延长交于，连接，过点作于，
在四边形中，E为线段上的一点，，，则，
又，，，即是等腰三角形，
由（1）可得，设，，，，
在中，，
在中，，，
，解得，经检验，x=1是方程的解用符合题意，
，即．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．
16．（2023·陕西渭南·二模）（1）【问题提出】
如图1，在等腰中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于E，于F，于D．求证：；
（2）【问题探究】如图2，和是两个含的直角三角形，其中，，连接、，，求的长；
（3）【问题解决】如图3，四边形是某农业观光园的部分平面示意图，是一条灌溉水渠，E为入口，E在线段上，管理人员计划从入口E处沿、分别修两条笔直的小路，将园区分割为、和三个区域，用来种植不同的农作物．根据设计要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造价为50元，求所修小路的总费用．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，连接，根据得到，再由即可证明；（2）先证明，再解直角三角形证明，由此可证明，由相似三角形的性质可得；（3）如图所示，延长交于N，过点B作与M，连接，证明，得到，则，由（1）的结论可知；设，则，利用勾股定理建立方程，求出，进而求出，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，连接，
∵，，，∴，
∵，∴，∴
又∵，∴，∴；

（2）∵，∴，即，
∵，∴在中，，
同理可得，∴，∴，∴，∴；
（3）如图所示，延长交于N，过点B作与M，连接，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴由（1）的结论可知； 设，则，
在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，
∴，解得，∴，
∴，∴，
∴所修小路的总费用为元．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D是中BC边上的一点，过点D、A分别作、、，，垂足分别为点E、F、G，由与的面积之和等于的面积，有等量关系式：．像这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题．
(1)如图（1），矩形中，，，点P是上一点，过点P作，，垂足分别为点E、F，求的值；
(2)如图（2），在中，角平分线，相交于点O，过点O分别作，，垂足分别为点M，N，若，，求四边形的周长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，熟练掌握“等积法”是本题的关键．
（1）由矩形的性质可得，，，由“等积法”可求解；
（2）根据角平分线的性质，由“等积法”可求，通过证明四边形AMON是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
则由矩形性质有：

又
∴
∴
解得：；
（2）连接，过点作，垂足为点，
又是的角平分线，、，垂足分别为点、，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
四边形是矩形 ，
又，
矩形是正方形，
正方形的周长．
18．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，点是矩形的对角线上的一点，且，，，点为直线上的一点，且于点，于点．

(1)如图1，当点为线段中点时，易证：　 　；
(2)如图2，当点为线段上的任意一点不与点、点重合时，其它条件不变，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点为线段延长线上的任意一点时，其它条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系？请证明你的猜想．
【答案】(1)，见解析
(2)成立，见解析
(3)，证明见解析
【分析】此题考查的是矩形的性质、勾股定理和三角形的面积，
（1）连接，过点作于点．先由矩形的性质及勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长，然后通过等量代换即可求解；
（2）连接，过点作于点．同（1）求出的长，然后通过等量代换即可求解；
（3），解法同（2）．
【详解】（1）解：当点为线段中点时，，理由如下：

过作于，连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
点为线段中点，
，
，，，且，
，
又，
，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
过作于，连接，如图所示：

同（1）得：，
，，，且，
，
又，
，
；
（3）解：，理由如下：
过作交于，连接，如图所示：

同（1）得：，
，，，，
，
又，
．
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