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1.2.4 二面角
课程标准 学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念 2.会利用定义法求二面角的大小 3.会用向量法求二面角的大小 1.理解二面角的概念，并会求简单的二面角: 2.理解二面角的平面角的概念，会找二面角的平面角:
知识点01 二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]．
3.二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知识点02 二面角的向量求法
定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sin θsin〈n1，n2〉．
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉φ
图形
关系 θφ θπ－φ
计算 cos θcos φ cos θ－cos φ
【即学即练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小.
【详解】
因为平面，底面为正方形，，
所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
由题知，平面PAD的法向量为，
设平面PBC的法向量为，
则，令，则，
所以，
设平面与平面所成的角为，则，
又，所以，
所以平面与平面所成的角的大小为，
故答案为：.
【即学即练2】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为80°，则t等于（ ）
A．1 B．－1 C．－1或1 D．2
【答案】D
【分析】借助向量夹角公式求解即可.
【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补，
所以，得t±1．
．
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·江苏常州·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，点的轨迹长度为
B．若平面，则长度的最小值为2
C．当时，二面角的余弦值的最小值是
D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是
【答案】AD
【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，对A：利用空间两点间距离公式计算即可得点轨迹，即可得其长度；对B：借助空间向量求出平面法向量可得点轨迹，即可得其长度的最小值；对C：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点轨迹即可得其范围；对D：求出平面法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.
【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，设，，，
对A：，故，
则点的轨迹为以为圆心，为半径，且在正方形内部的半圆，
则点的轨迹长度为，故A正确；
对B：，，，
则，，令平面的法向量为，
则有，可令，则，即，
由平面，则有，
即，则
，故B错误；
对C：，，，
设平面的法向量为，
则有，
可令，则，，即，
易得轴平面，故平面的法向量可为，
则，
由A知，故，即，
则，
故二面角的余弦值的最小值是，故C错误；
对D：，平面法向量为，
则，
由，，则，
故，故D正确.
D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.
【题型1：定义法求面面角】
例1．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）H是二面角棱上的一点，在平面上引射线HM，在平面上引射线HN，若，，那么二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过上一点分别在内做的垂线，分别交于点和点，则即为二面角的平面角，设，求出可得答案.
【详解】过上一点分别在内做的垂线，
分别交于点和点，则即为二面角的平面角，
如下图所示：设，因为，
所以，，
因为，所以，可得，
所以，即二面角的大小为.
.
变式1．（23-24高二下·广东·期末）如图，正八面体的12条棱长相等，则二面角的余弦值为 .
【答案】.
【分析】的中点为，为二面角的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可.
【详解】连接交于点，连接，取的中点，连接，
根据正八面体的几何特征，有过点，，，
又平面，平面， 平面平面，
所以为二面角的平面角.
正八面体中， 平面，平面， 则，所以是直角三角形，
设正八面体棱长为2， 则，，所以，得
在中，，同理
在中， 由余弦定理， 可得
故答案为：.
变式2．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）如图所示，在长方体中，为矩形内一点，过点与棱作平面．
(1)直接在图中作出平面截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；
(2)设平面平面．若截面图形的周长为16，求二面角的余弦值．
【答案】(1)作图见解析，截面为矩形，证明见解析；
(2).
【分析】（1）作出截面，利用面面平行的性质及线面垂直的性质判断即可.
（2）连接，确定二面角的平面角并计算即得.
【详解】（1）在平面内过点作分别交于点，连接，
则四边形为所作截面，截面为矩形，证明如下：
在长方体中，，
又平面平面，平面平面，平面平面，
于是，四边形为平行四边形，又平面，平面，
因此，所以四边形为矩形.
（2）连接，由矩形的周长为16，且，得，
又，，得，又，则，
由（1）知，，则平面，而平面，
因此，二面角的平面角为，
在中，，则，
所以二面角的余弦值为.
变式3．（24-25高二上·上海·课堂例题）P是二面角内的一点（，），，且，求此二面角的大小.
【答案】
【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用定义求解即得.
【详解】令平面与l相交于O，连接OA、OB，如图，

由于点A，得，同理，又平面，
因此平面，而平面，则，，
于是是二面角的平面角，又，
所以.
变式5．（23-24高二下·浙江·期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，，分别为棱，的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线证明为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论；
（2）利用线面垂直判定定理作出二面角的平面角，再由余弦定理可得结果.
【详解】（1）取的中点，连接，，如下图所示：
，分别是，的中点，
，，
，，
，，可得四边形为平行四边形，
，面，面，
所以平面
（2）取，的中点，，连接，，，
作交于，，且，
底面是边长为4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
即平面.
过点作，连接，如下图所示：

易知知，则为二面角的平面角.
在中，，
在中，，
设，则，
则，解得，
可得，，
所以在中，.
即二面角的平面角的余弦值为.
变式5．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在几何体中，点E、O分别是SC、AC的中点，底面ABC，．
(1)求证：平面SAB；
(2)若点F在线段BC上，求异面直线OE、SF所成角的大小；
(3)若，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)90°
(3)
【分析】（1）借助中位线性质，运用线面平行判定可解；
（2）运用线面垂直得到线线垂直即可得到异面直线OE、SF所成角;
（3）找出二面角的平面角，借助锐角三角函数求出余弦值即可.
【详解】（1）证明：因为点E、O分别是SC、AC的中点，所以．
又因为平面，平面,所以平面SAB．
（2）解：因为，所以∠ASF（或其补角）是异面直线OE、SF所成的角．
因为平面ABC，又平面ABC，所以．
又，即，又平面，
所以平面ASC，平面,于是．
因为，即，又平面，
所以平面SBC，从而，所以，
即异面直线OE、SF所成角的大小为90°．
（3）解：由（2）可得平面SBC，所以，而，
所以∠BSC是二面角的平面角．
在Rt△ASC中，，，则，而，则．
由上面证明知道，平面ASC，平面ASC.
则，，，则，
所以，所以二面角的平面角的余弦值为．
变式6．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）如图，在底面为边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连结，，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）作于，根据面面垂直的性质证明平面，再根据三棱锥的体积公式即可得解；
（3）作交于的延长线于点，连接，证明平面，则，则即为二面角的平面角，再解即可.
【详解】（1）取中点，连结，，
因为，所以，
在菱形中，，则是等边三角形，
所以，
又平面，
故平面，
又平面，所以；
（2）作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，所以，
所以；
（3）作交于的延长线于点，连接，
由平面，平面，得，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
.
变式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据E，F分别是棱、的中点得到 ，从而可证直线平面；
（2）利用线面角与二面角的定义，结合线面垂直的判定定理求得所需线面角与二面角，从而得解.
【详解】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中， ，
∵平面，平面，∴直线平面；
（2）∵平面平面，平面平面，
平面，，∴平面，
∴是直线与平面所成角，
∵直线与平面所成角为，
∴，∴，∵平面，， 平面，
∴，，∵，，， 平面，
∴平面，∴是直线与平面所成角，
∵直线与平面所成角为，∴，
∴， ，设，
则，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∵，，∴是二面角的平面角，
∴二面角的大小为．
【方法技巧与总结】
用定义求二面角的步骤
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)．
2.证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【题型2：向量法求面面角】
例2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形， 为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明，再根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，运用法向量求解.
【详解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以．
又因为，平面,
所以平面,平面，所以．
由于,所以四边形为平行四边形，所以．
又，所以，所以．
因为，所以，
又，平面，所以平面，则面．
取中点，连接，由面，面，则面面，面面，
根据已知易知，所以为三棱柱，
设，多面体的体积为，
则
．
解得．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，．
则平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量，则即取．
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
变式1．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，根据向量的模长关系可得，进而可求，即可得二面角.
【详解】设，则且，
因为，解得，
可得，
且，所以，
所以二面角的大小为．
.
变式2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解.
【详解】过点作交于点，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，所以，
所以两两互相垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，为的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，解得，即可取，
显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
.
变式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可．
【详解】
设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
又底面的一个法向量为，
所以，因为，
则，
当时，，
当时，，当，，
则，，则，
则当时，分母取到最小值，此时，
当，时，则，此时，
综上，
.
变式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如图，已知四棱锥中， ，，且在线段上，且满足 平面.
(1)求；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）过点作 交于，由线面平行的性质可得 ，则可求；
（2）利用空间向量法即可求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）过点作 交于，连接，
由于 平面，
由线面平行性质知 ，
又 四边形为平行四边形.
所以，
则.
（2）取线段的中点，连接.
又平面平面，
由已知：平面平面
平面.
以为坐标原点，过作的垂线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则易得平面的一个法向量
，
则.
设平面的法向量为，
则
令，可得.
设平面与平面夹角为.
故平面与平面夹角的余弦值为.
变式5．（23-24高二下·云南红河·期末）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用空间向量证明即可；
（2）利用空间向量求解二面角即可.
【详解】（1）底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，
故，，两两垂直.
以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，

在四棱台中，，，P为AB的中点，
故,
则,
所以，即，
且平面，平面，
故平面.
（2）由（1）知，,,
设平面的法向量为
则
令，解得
设平面的法向量为
则
令，解得
故
故平面与平面的夹角为.
变式6．（24-25高二上·上海·单元测试）在矩形中，已知，，平面，且．
(1)在边上是否存在点，使得，说明理由；
(2)若边上有且仅有一个点，使，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求出平面与平面所成角的大小．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设，则，分别求出，假设存在点，使得，由，建立方程，根据判别式分析即可；
（2）由（1）知，当边上仅有一个点，使得时，即，为中点，先根据面面垂直的判断定理，证明平面平面，然后过点作，垂足为，得平面，即为和平面所成的角，最后利用等面积法和锐角三角函数即可求解；
（3）延长，交于点，则为平面和平面的交线，过点作，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理以及性质证明，则即为平面与平面所成角，最后利用等面积法和锐角三角函数即可求解.
【详解】（1）设，则，
因为四边形为矩形，
所以，
，
因为平面，平面，
所以，，
所以，
，
假设存在点，使得，
由，得，
即①，
其判别式为，
则当时，，方程①有一解，即存在一个点Q，使，
当时，，方程①有两解，即存在两个点Q，使得，
当时，，方程①无实根，即不存在点Q，使得；
（2）由（1）知，当边上仅有一个点，使得时，
，，
即，为中点，
此时，，，，
所以，
即，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面
所以平面平面，
如图①所示，过点作，垂足为，
则平面，
所以为和平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，；
（3）如图②所示，延长，交于点，
则为平面和平面的交线，
过点作，垂足为，连接，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
所以，
所以即为平面与平面所成角，
由（2）知为中点，
因为，
所以为中点，
即，
所以，
在中，，
所以，
在中，
，
所以，
即平面与平面所成角的大小为．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了线线垂直、线面角及二面角，解题的关键在于通过辅助线作出线面角、二面角，计算量较大，容易出错.
变式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直可得平面，则，由几何知识可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，可得平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）因为为矩形，则，
且平面平面，平面平面平面，
则平面，且平面，所以．

连接．
在和中，，
可知全等于．则，
且是的中点，则．
在中，，
而是的中点，则．
且，平面，所以平面．
（2）以A为坐标原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，可得，
由（1）知，是平面的法向量，
且平面的法向量是．
可得．
所以二面角的正弦值为．
【方法技巧与总结】
求面面角的步骤
第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论.
【题型3：动点探索性习题】
例3．（22-23高二上·全国·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．当点自向处运动时，二面角的平面角先变大后变小
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
【答案】A
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由即可判断；对于B，即可判断；对于CD，，即可判断.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则；
，，，，，，，；
对于A，假设存在点，使得，则，
又，
，解得：，即点与重合时，，A错误；
对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
，，
，方程无解；
不存在点，使得异面直线与所成的角为，B错误；
对于C，D，由上分析知：，，若是面的法向量，
则，令，则，
而面的法向量，
所以，令，
则，而，
由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，
所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，故二面角先变小后变大，C错误D正确.
.
变式1．（多选）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角最小值为
D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值．
【答案】ABD
【分析】利用垂直关系的坐标表示求解选项A；利用平行关系求解选项B；利用空间向量的坐标运算，表示出二面角的余弦值求解选项C,D.
【详解】
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
对于A，则，
由于，设
则，
则，
所以E，F运动时，不存在点E，F使得，A错误;
对B，若，则四点共面，
与与是异面直线矛盾，B错误;
对C，设平面的法向量为. 又,
,令，可得，
平面的法向量可取为，
故，
因为，所以函数在单调递减，
所以，
所以，
所以当时，有最大值为，
设二面角的平面角为，
所以有最大值为，
即二面角的最小值为，C正确;
对于D，连接，
平面即为平面,平面即为平面，
取平面的法向量为.
设平面的法向量为，
，令，则，
设二面角的平面角为，
则，
观察可知二面角的平面角为为锐角，所以，D错误；
故选:ABD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，利用向量法来判断选项.
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，是底面圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面且，，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）

A．当为中点时，平面
B．记直线与平面所成角为，则
C．存在点，使得平面与平面夹角为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.
【详解】因为，，所以，又因为垂直于圆所在的平面，故以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，
对于A，因为为中点，所以，，
所以，即，
又平面，所以平面，选项A正确；
对于B，因为点在线段上，设，则，，平面的一个法向量为，
所以 ，
所以，故选项B正确；
对于C，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以；设平面的一个法向量为，，
则，令，则，
所以；
所以，因为，
所以，而，
所以不存在点，使得平面与平面夹角为，故选项C错误；
对于D，，
因为，所以当时，取得最小值为，故选项D正确.
BD.

变式3．（多选）（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小， 为直线与所成的角
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则、、、、、、
、，设，即点，其中.
对于A：假设存在点，使得平面，
因为，，，
则，解得，
故当点为线段的中点时，平面，
即选项A正确；
对于B：假设存在点，使得直线与直线所成的角为，
，，
因为，即，
所以不存在点，使得直线与直线所成的角为，
即选项B错误；
对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，
，且点到平面的距离为，
则，解得，
所以当点为线段的靠近的三等分点时，
三棱锥的体积为，即选项正确；
对于D：，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，而，，
则，
，，
，
因为，，
则，
因为，，且余弦函数在上单调递减，
则，即不存在点，使得，即选项D正确.
CD.
变式4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、，利用可得答案；
（2）假设在线段上存在点，设，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）平面平面，
平面平面，
平面平面，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
，
设平面的法向量为，则，
令，解得：，
又，即，
又平面平面；
（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.
设，则.
设平面的一个法向量为，
则，
令，解得：，
又平面的一个法向量为，
，
即，解得：或（舍去），
此时，
在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，
此时.
变式5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.
(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大 并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)存在；点的位置在
【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；
（2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值；
（3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，即，
，
∵，∴，
所以无论取何值，.
（2）∵是平面ABC的一个法向量.
∴
∴当时，取得最大值，此时，，.
（3）假设存在，则，因为，
设是平面的一个法向量.
则，解得，令，得，，
∴，
∴，
化简得，解得，
∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在.
【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度.
变式6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于．
(1)求棱的长；
(2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，点为棱上靠近的三等分点
【分析】（1）先得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，设，得到各点坐标，由异面直线的夹角得到方程，求出，求出棱长；
（2）假设棱上存在一点，设，，表达出，求出两个平面的法向量，由平面与平面所成锐二面角的余弦值得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）因为底面，平面，
所以 ， ，
又，所以两两垂直，
如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，
异面直线、所成角为，
，
解得，棱长的大小为2；
（2）假设棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为，
设，，且，则，
，
设平面的一个法向量为，
，，
则，
取，得，
平面的法向量，
平面与平面所成锐二面角的正切值为，
由得，又，解得，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
，
解得或（舍，
在棱上存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为，
且点为棱上靠近的三等分点．
变式7．（23-24高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点为线段的中点
【分析】（1）由题意，，得到，进而证明平面，即可得到，即可证明平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，，求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即可.
【详解】（1）证明：

连接，与的交点记为点，因为，
，，
所以，所以，
因为，
所以，
所以，即，
又因为，且，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为在中，，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）存在，点为线段的中点
理由如下：如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

设，即，
则，．
设平面的法向量，由，
取，则，
易知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
即，
整理可得，解得（舍去）或．
故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点．
1．（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案.
【详解】，因为向量夹角范围为，
故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，
.
2．（22-23高二上·辽宁大连·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解.
【详解】设，则二面角的大小为，
由题意，，则，
所以，
即，得，所以，
即二面角的大小为.
.
3．（23-24高二上·陕西安康·期中）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为平面，且为正方形，
如图建立空间直角坐标系，则、、，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以.

4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解.
【详解】以为坐标原点，建系如图，
因为二面角的平面角大小为，
所以的轨迹是过点的一条直线，
又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），
所以的轨迹是过点的一条线段，
设以的轨迹与轴的交点坐标为，
由题意可得,
所以,
因为平面，所以平面的一个法向量为,
设平面的法向量为，
所以令则
所以，
因为二面角的平面角大小为，
所以，解得，
所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为，
所以面积的取值范围是，
故选:D.
5．（22-23高二上·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
.
6．（22-23高二上·北京·期中）若直线的方向向量为，平面、的法向量分别为、，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面、的夹角为
【答案】C
【分析】利用空间线面位置关系与空间向量的关系，可判断AB选项的正误；利用空间角与空间向量的关系可判断CD选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则为平面的一个法向量，故直线平面，A对；
对于B选项，若，则直线平面或直线平面，B错；
对于C选项，若，则直线与平面所成角的大小为，C对；
对于D选项，若，则平面、的夹角为，D对.
.
7．（21-22高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．四面体的外接球体积为
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角，二面角及线面角，判断ABC选项，D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球半径和体积.
【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
A选项，设异面直线与所成的角为，
则，
故异面直线与所成的角为，A正确；
B选项，设平面的法向量为，
则有，令得：，
则，
平面的法向量为，
设二面角的大小为，显然为锐角，则，
所以，，故二面角的正切值为，B正确；
C选项，设平面的法向量为，
则令，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
则，C错误；
D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，
设外接球半径为R，则，则外接球体积为，D正确.
8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为
B．当时，若平面的法向量记为，则
C．当时，二面角的余弦值为
D．若，则
【答案】D
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，根据得到，结合法向量得到直线BP与平面ABCD所成角的正弦值；B选项，根据得到，结合得到答案；C选项，根据求出，利用二面角的向量求解公式得到答案；D选项，设 ，表达出，根据得到方程，求出，得到D错误.
【详解】A选项，如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．由，可知，
，
则,设，则.
当时，，即解得，
所以，所以，
平面ABCD的一个法向量为，
所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值，故A错误．
B选项，当时，，解得，
所以，所以.
设平面的法向量为，
因为，
由，
令，则，则，
所以，故B错误．
C选项，当时，解得，
所以，平面的一个法向量为.
设平面APD1的法向量为，
因为，，
由，
令，则，，则，
所以二面角的余弦值为
，故C正确；
D选项，设 ，因为，
所以，解得，所以，
所以，
若，则，
解得，所以，即，故D错误．
.
二、多选题
9．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接，因为，设，
由余弦定理得，
所以，则，
则，即，又底面，底面，
所以，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以，，则，
所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确；
对于C，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，
令二面角所成角为，则
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，故D正确.
BD.
10．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
【答案】AB
【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断BCD选项的正确性.
【详解】A选项，，
所以，A选项正确.
建立如图所示空间直角坐标系，
，
,
，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.
平面的一个法向量为，
，所以与平面不平行，C选项错误.
平面的法向量为，
设平面于平面的夹角为，
则，D选项错误.
B
11．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ）

A．异面直线与所成角大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．此八面体存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角及二面角判断AB；由判断C项；利用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内切球的表面积即可判断D项．
【详解】连接交于点，连接，由正方形，得，
又八面体的每个面都是正三角形，则三点共线，且平面，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，
对于A，，则，
所以异面直线与所成角大小为，A正确；
对于B，，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
于是，又平面与平面所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角的平面角的余弦值为，B错误；
对于C，因为，即为此八面体外接球的球心，
因此此八面体一定存在外接球，C正确；
对于D，设内切球的半径为，，八面体表面积
则八面体的体积为，
又八面体的体积为，因此，解得，
所以内切球的表面积为，D正确．
CD
【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：.
三、填空题
12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.
【详解】
如图所示，过分别作，垂足分别为，
由矩形中，，
可知，
设二面角的平面角为，则，
.
故答案为：
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为 ．

【答案】/
【分析】根据面面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设的中点为，连接，
因为菱形ABCD中，，
所以三角形和三角形ACD都是等边三角形，
因此，，
因为平面平面ACD，平面平面ACD，
所以平面ACD，而平面ACD，
因此，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设菱形的边长为，，
设平面BCD的法向量为，，
所以有，
平面ACD的法向量为，
平面BCD与平面ACD夹角为，
所以，
因此，
故答案为：
14．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．

【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面以及平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由题意知O是圆锥底面的圆心，，则平面，为正三角形，则,
设，由题设可得,
是底面的内接正三角形,故，
,
如图，以O为原点，在平面内过O点作的垂线作为x轴，
以为轴建立空间直角坐标系，

由前面证明的结论，不妨取，则，可得，
,
则 ，，
设是平面的法向量，则,即，
令，则可取，
，，
设是平面的法向量，则,即，
令，则可取，
则，
由图知二面角的平面角为锐角,
故二面角的余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）构造平行四边形证明线线平行，然后用线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，然后利用向量坐标法求夹角的余弦值即可得解.
【详解】（1）证明：取为的中点，连接．
因为为棱的中点，所以，且．
又为棱的中点，所以．
因为且，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）取为的中点，为的中点，连接．
因为为正三棱柱，所以两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
又是平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
(1)求证：平面平面BDE；
(2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到平面PAC，从而得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两平面的法向量，求出二面角的大小.
【详解】（1）底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE.
（2）平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面ABE的法向量为，则，
解得，令得，故，
设平面DBE的法向量为，
则，
解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为.
17．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点．
(1)证明：；
(2)求平面ADEF与平面PCD的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2)80°
【分析】（1）由线面垂直得到，结合正方形性质得到线面垂直，得到，再由三线合一得到线线垂直，证明出线面垂直，得到；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，得到两个平面的夹角.
【详解】（1）∵平面ABCD，平面，
∴，
又四边形ABCD为正方形，
故，AB，PA为平面PAB上的相交直线，
∴平面PAB，
∵平面，
∴，
∵等腰三角形PAB中F是PB的中点，
∴，
∵，平面，
∴平面ADEF，
∵平面ADEF，
∴．
（2）平面ABCD，平面，
故，
易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，
如图所示，则，，，，，，
由（1）得平面ADEF，
可得平面ADEF的一个法向量，
设平面PCD的一个法向量，
则，
解得，令得，故，
∴，
设平面ADEF与平面PCD的夹角为，则，
故，
∴平面ADEF与平面PCD的夹角为80°．
18．（23-24高二下·吉林长春·期末）如图①，在等腰梯形中，，，，，分别是线段的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线，折起，使得点和点重合，记为点，如图②.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面，由此证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】（1）由题意可知：四边形ABEF是正方形，
则，且，平面PEF，
所以平面PEF，
因为平面ABEF，所以平面平面ABEF．
（2）如图，过点P作于点O，过点O作BE的平行线交AB于点G，
因为平面平面ABEF，平面平面，平面，
则平面ABEF．
又因为PO，EF，OG所在直线两两垂直，
所以分别以OG，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面PAE的法向量为，则，
设，则，可得.
设平面的法向量为，则，
设，则，可得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为，中点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，最小值为
【分析】（1）根据题意，可得，建立空间直角坐标系，利用向量运算判断；
（2）根据向量法求出二面角的余弦，转化判断得解.
【详解】（1）∵，，，
∴．
∵．
∴．
建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，，，，．
∴，．
∴，
∴．
（2）∵，，
设平面的一个法向量为：，
∴，即，
令，则，，
∴．
∵平面，
∴取平面的一个法向量为，
∴，
又，，
∴当时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为.
【点睛】思路点睛：根据题意，由余弦定理可判断，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再求出平面与平面各自的一个法向量，求出所成的二面角的余弦范围，进而得解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2.4 二面角
课程标准 学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念 2.会利用定义法求二面角的大小 3.会用向量法求二面角的大小 1.理解二面角的概念，并会求简单的二面角: 2.理解二面角的平面角的概念，会找二面角的平面角:
知识点01 二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]．
3.二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知识点02 二面角的向量求法
定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sin θsin〈n1，n2〉．
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉φ
图形
关系 θφ θπ－φ
计算 cos θcos φ cos θ－cos φ
【即学即练1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ．
【即学即练2】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为80°，则t等于（ ）
A．1 B．－1 C．－1或1 D．2
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·江苏常州·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，点的轨迹长度为
B．若平面，则长度的最小值为2
C．当时，二面角的余弦值的最小值是
D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是
【题型1：定义法求面面角】
例1．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）H是二面角棱上的一点，在平面上引射线HM，在平面上引射线HN，若，，那么二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二下·广东·期末）如图，正八面体的12条棱长相等，则二面角的余弦值为 .
变式2．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）如图所示，在长方体中，为矩形内一点，过点与棱作平面．
(1)直接在图中作出平面截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；
(2)设平面平面．若截面图形的周长为16，求二面角的余弦值．
变式3．（24-25高二上·上海·课堂例题）P是二面角内的一点（，），，且，求此二面角的大小.
变式5．（23-24高二下·浙江·期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为4的正方形，，分别为棱，的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角余弦值.
变式5．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在几何体中，点E、O分别是SC、AC的中点，底面ABC，．
(1)求证：平面SAB；
(2)若点F在线段BC上，求异面直线OE、SF所成角的大小；
(3)若，，求二面角的平面角的余弦值．
变式6．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）如图，在底面为边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为.
(1)证明：；
(2)求；
(3)求二面角的正弦值.
变式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．
【方法技巧与总结】
用定义求二面角的步骤
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)．
2.证明所作平面角即为所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【题型2：向量法求面面角】
例2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形， 为BC的中点，.则平面PCD与平面QAB夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如图，已知四棱锥中， ，，且在线段上，且满足 平面.
(1)求；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
变式5．（23-24高二下·云南红河·期末）如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小.
变式6．（24-25高二上·上海·单元测试）在矩形中，已知，，平面，且．
(1)在边上是否存在点，使得，说明理由；
(2)若边上有且仅有一个点，使，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求出平面与平面所成角的大小．
变式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如图，在四棱锥中，底面矩形垂直于侧面，且分别是棱的中点，．

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【方法技巧与总结】
求面面角的步骤
第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标；
第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论.
【题型3：动点探索性习题】
例3．（22-23高二上·全国·阶段练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点，使得
B．存在点，使得异面直线与所成的角为
C．当点自向处运动时，二面角的平面角先变大后变小
D．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大
变式1．（多选）（23-24高二上·山东淄博·期中）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边）且，下列说法错误的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得
B．当E，F运动时，存在点E，F使得
C．当E运动时，二面角最小值为
D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值．
变式2．（多选）（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，是底面圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面且，，点在线段上，则下列说法正确的是（ ）

A．当为中点时，平面
B．记直线与平面所成角为，则
C．存在点，使得平面与平面夹角为
D．的最小值为
变式3．（多选）（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小， 为直线与所成的角
变式4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
变式5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.
(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大 并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
变式6．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，若异面直线与所成角等于．
(1)求棱的长；
(2)在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．
变式7．（23-24高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．
(1)证明：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．
1．（22-23高二下·山东济南·期末）已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（22-23高二上·辽宁大连·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·陕西安康·期中）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）

A． B． C． D．
4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二上·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·北京·期中）若直线的方向向量为，平面、的法向量分别为、，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则平面、的夹角为
7．（21-22高二下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．二面角的正切值为
C．直线与平面所成的角为
D．四面体的外接球体积为
8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为
B．当时，若平面的法向量记为，则
C．当时，二面角的余弦值为
D．若，则
二、多选题
9．（22-23高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
10．（22-23高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
11．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ）

A．异面直线与所成角大小为
B．二面角的平面角的余弦值为
C．此八面体存在外接球
D．此八面体的内切球表面积为
三、填空题
12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为 ．
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面ACD（如图），则平面BCD与平面ACD夹角的正弦值为 ．

14．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．

四、解答题
15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
16．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.
(1)求证：平面平面BDE；
(2)当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.
17．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，F，E分别是PB，PC的中点．
(1)证明：；
(2)求平面ADEF与平面PCD的夹角．
18．（23-24高二下·吉林长春·期末）如图①，在等腰梯形中，，，，，分别是线段的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线，折起，使得点和点重合，记为点，如图②.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为，中点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
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