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第06讲 幂函数
课程标准 学习目标
了解幂函数的概念． 2．结合函数yx，yx2，yx3，yx－1，的图象，了解他们的变化情况． 3．掌握五种幂函数的性质并会应用． 1．通过幂函数概念的学习，体现数学抽象等核心素养． 2．借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻辑推理等核心素养．
知识点01幂函数的定义
一般地，函数yxα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
【即学即练1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确
.
知识点02常见幂函数的图象与性质
幂函数 yx yx2 yx3 yx yx－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
【即学即练2】已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 .
【答案】
【分析】先求幂函数解析式，再根据幂函数单调性求最值.
【解析】设，因为的图象过，
，解得，
在上是单调递增的
在上的最大值为，
故答案为:
知识点03幂函数的特征
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
【即学即练3】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定义域为，排除A，B．
经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.
.
题型01 幂函数的概念
【典例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
【变式1】（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.
.
【变式2】（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确.
ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.
【变式3】函数是幂函数，则实数的值为 ．
【答案】或
【解析】由题意，解得m=2或-1
【变式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；
.
题型02 求幂函数的解析式
【典例2】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可
【答案】 答案不唯一
【解析】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为 为偶函数，
所以 适合题意．
故答案为: 答案不唯一.
【变式1】若幂函数过点，则此函数的解析式为 .
【答案】/
【分析】设，代入所过点即可求得结果.
【解析】设幂函数，则，解得：，.
故答案为：.
【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则 ．
【答案】4
【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值，进而即得.
【解析】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，
∴. ，.
故答案为：4.
【变式3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ．
【答案】
【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解.
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，
所以.
故答案为：.
【变式4】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为对，则在上为减函数，
又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，
故可取.
故答案为：（答案不唯一）.
题型03 定义域问题
【典例3】（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
【变式1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个．
【答案】3
【解析】①的定义域为；
②的定义域为；
③的定义域为；
④的定义域为；
⑤的定义域为；
⑥的定义域为．
故定义域为的有①③⑥，共3个，
故答案为：3．
【变式2】（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．
．
【变式3】（2024·高一·湖北·期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．
.
题型04 值域问题
【典例4】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【解析】由幂函数性质可知在上单调递增，
又易知为偶函数，
所以当时，可知在上单调递减，
可得.
故答案为：
【变式1】若幂函数的图象过点，则的值域为 ．
【答案】
【分析】设，根据条件求出，然后可得答案.
【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
故答案为：
【变式2】函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据的解析式求得的值域.
【解析】时，，
时，，
所以的值域为.
故答案为：
【变式3】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 .
【答案】
【解析】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
【变式4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
【解析】（1）由于，
则，，，
所以过点，
故的图象，如图所示，函数的定义域为；
（2）由题可知，
设，则，
当时取等号，故的值域为．
【变式5】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
【解析】（1）为幂函数，
∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，
，
∴k2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，
，∴a0，b1．
题型05 幂函数的图像
【典例5】幂函数yx2，yx－2，yx，yx－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【答案】　D
【解析】由于在第一象限内直线x1的右侧，幂函数yxα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数yx2在第一象限内的图象为C1，yx－2在第一象限内的图象为C4，yx在第一象限内的图象为C2，yx－1在第一象限内的图象为C3.
【变式1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以函数是偶函数，故排除D，
由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C.
.
【变式2】数在第一象限的图象如图所示，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据幂函数的图象与性质，结合题意，即可求解.
【解析】由幂函数的图象可得，函数在单调递增，且增长趋势越来越缓慢，
又由，则只有满足条件．
故答案为：．
【变式3】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数的定义域为，又为奇函数，
但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，又为奇函数，
且在上函数是上凸递增，故D正确.
【变式4】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；
当时，易知为幂函数，在单调递增.
故函数,图象如图所示:
要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.
.
【变式5】已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.
【解析】由幂函数知，
得或.
当时，图象与坐标轴有交点，
当时，与坐标轴无交点，
∴.
故答案为:
【变式6】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】A
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
.
题型06 图像过定点问题
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4
【变式1】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ．
【答案】
【解析】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
【变式2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【解析】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
【变式3】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【解析】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
题型07 利用单调性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
【变式1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为为幂函数，所以，则，
故的定义域为，且在定义域上为增函数，
所以由，可得，解得，故a的取值范围为.
故答案为：.
【变式2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由在上单调递增，故，解得.
故答案为：
【变式3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由幂函数的图象过点得，解得，
则，定义域为.
由可得为偶函数，
又幂函数的单调性可知，函数在上单调递减.
于是等价于，解得或.
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式4】（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由函数为幂函数得，解得或，又
函数在上是减函数，则，即，
所以，所以；
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
题型08比较大小问题
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
.
【变式1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
.
【变式2】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
．
【变式3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设幂函数，
因为的图象经过点，则，解得，
所以.
因为函数在定义域内单调递增，
则当时，，
所以，且，
故选项错误；
又因为函数单调递增，
则当时，，且，
故选项D正确，选项错误.
.
【变式4】函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案.
【解析】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，
是幂函数，可得，解得或，
当时，；当时，，不满足单调性，排除，
故，．
，，故恒不成立．
题型09 奇偶性问题
【典例9】　已知幂函数的图象过点，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的定义域为 D．在上单调递增
【答案】A
【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的基本性质逐项判断，即可得出合适的选项.
【解析】因为函数为幂函数，设，则，解得，
所以，，所以，函数的定义域为，
函数为非奇非偶函数，且该函数在上单调递增，ABC都错，D对.
.
【变式1】已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据函数的单调性得到，代入验证函数的奇偶性得到答案.
【解析】幂函数在区间上是单调增函数，故，
解得，，
当时，不满足条件；
当时，满足条件；
当时，不满足条件；
.
【变式2】函数，若，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解.
【解析】，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得.
故答案为：.
【变式3】已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【解析】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
.
题型10 幂函数性质的综合运用
【典例10】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)若对于恒不成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为幂函数为偶函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为R，，
所以为偶函数，符合条件；
当时，，定义域为R，，
所以为奇函数，舍去；
所以.
（2）因为，
所以对于恒不成立，即对于恒不成立，
等价于对于恒不成立，
因为，当且仅当，即时，等号不成立，
所以，故，则.
【变式1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对任意恒不成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）设函数，由的图象过点，得，解得，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，则，由，得，
即，令，依题意，任意，，
而函数在上单调递减，，因此，
所以实数的取值范围是.
【变式2】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
【解析】（1）因为，，
所以，
故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，
所以；
（2）结合（1）的结论可令，则，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函数单调性可知在上单调递增，且，
所以，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时.
故的值为或或.
【变式3】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【解析】因为在上为增函数，所以，解得，
又，所以，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；当时，不满足题意，
所以，
又因为在上递增，所以，，
故时，的值域是．
题型11 与幂函数有关的新定义问题
【典例11】（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【解析】（1）①因为，所以，所以，，
得，故是在上的“美好函数”；
②因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”；
③因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”
（2）①由题得，
当，可知
所以，当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
故
②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上；
当时，此时函数在上单调递减，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
令，解得或
所以此时（舍去），（舍去）
当时，此时函数在上单调递増，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
综上所述：或
【变式1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
【解析】（1）在区间上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”；
（2），设，可设或，
则函数在上单调递增.
若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根.
方程无解.
函数不存在“优美区间”.
（3），设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数的“优美区间”，则，
是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
当时，取得最大值.
.
一、单选题
1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线；
B．幂函数的图象都经过和两个点；
C．若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在区间上是严格增函数；
D．幂函数的图象不可能在第四象限．
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象和性质，即可判断选项.
【详解】A. 的定义域为，所以表示除去点的直线，故A错误；
B.幂函数，当时，过点和两个点，时，只过点，故B错误；
C.当时，幂函数的图象关于原点成中心对称，在区间上是严格减函数，故C错误；
D.由幂函数的性质可知，幂函数不可能在第四象限，故D正确.
2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，则，
所以.
.
3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.
【详解】易知，
又定义域上单调递减，，所以，
易知单调递增，，
则，
综上.
4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为0
【答案】C
【分析】求出函数定义域，结合复合函数单调性即可求得函数的最值.
【详解】因为，所以定义域为，
由复合函数单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以当时，，
当时，.
.
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案.
【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，
且图象均不过原点，故排除AD；
在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，
所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.
.
6．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得.
【详解】把代入可得：，易得：，则，
显然函数的定义域为R，由知为偶函数.
且，由，
因故，即，故函数在上为增函数.
由，将两边平方整理可得：，
解得：或.
.
7．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得.
．
8．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】求出的图象关于中心对称，关于中心对称，且，设，则关于点中心对称，从而求出答案.
【详解】，且，
由于
，
故的图象关于中心对称，
又关于中心对称，且，
不妨设，
与的交点关于点中心对称，
即，
故.
二、多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据奇偶性与单调性的定义判断．
【详解】的定义域是，的定义域是，它们都没有奇偶性，
与都是奇函数，
在上，递增，单调递增，
D．
10．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】代入法求出，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D．
【详解】将点代入函数得：，则．
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确．
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确．
当时，，即，所以C正确．
当时，
即不成立，所以D正确．
CD．
11．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据①②得到为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断.
【详解】由①得为奇函数，由②得在定义域上单调递减，
对于A，满足要求，A正确；
对于B，，故为偶函数，B错误；
对于C，满足要求，C正确；
对于D，，故不是奇函数，D错误.
C
三、填空题
12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ．
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出解析式.
【详解】设幂函数为，将点代入得，解得.
所以．
故答案为：
13．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.
【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为.
故答案为：
14．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是
①若，则存在区间M使为“弱增函数”
②若，则存在区间M使为“弱增函数”
③若，则为R上的“弱增函数”
④若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】②④
【分析】根据给定的定义，结合幂函数、对勾函数单调性，依次判断各个命题即得.
【详解】对于①，在上为增函数，在上是增函数，
因此不存在区间M使为“弱增函数”，①错误；
对于②，由对勾函数的性质知：在上为增函数，在上为减函数，
因此存在区间使为“弱增函数”，②正确；
对于③，函数在R上单调递增，，
显然函数在上是增函数，在上为减函数，
因此函数不是R上的“弱增函数”，③错误；
对于④，若在区间上是“弱增函数”，
则在上为增函数，有，解得，
又在上为减函数，而当时，为增函数，不符合题意，
于是，又由对勾函数的单调性知，函数在上是减函数，因此，即，
所以．④正确.
故答案为：②④
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点．
(1)求幂函数解析式；
(2)求证：幂函数在区间上是严格增函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可；
（2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可.
【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则．
（2）证明：由（1）可知，，
设，可得，
所以，
即，
所以在区间上是严格增函数．
16．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒不成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可；
（2）对任意实数，不等式恒不成立，而在上为减函数，由此可得解．
【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
由于,故，1，2，
当和时，，此时为奇函数，符合要求，
当时，，此时为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
17．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得不成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）因为幂函数的图象过点，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集为
（2）由（1）可知，，则，
由得，，
即，
令，根据题意，存在实数，，
则 ，由于，
所以当时，取最小值，故，
所以的取值范围为.
18．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得不成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解；
（2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解；
（3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是.
（3）解：由（1）知，
因为对，使得都不成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，
因为存在，使得不成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围为.
19．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．
(1)当时，函数否具有性质 若具有，求出，；若不具有，说明理由；
(2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．
【答案】(1)函数具有性质M，
(2)．
【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可；
（2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：因为在上单调递增，
所以在上的函数值的取值范围是，即，
显然，所以，
故函数具有性质．
（2）解：，
因为在上单调递减，在上单调递增，
而，故，
而，故，故或.
当时，单调递减，
∴，得，整理得，
∵与矛盾，∴当时，不合题意．
当时，在单调递增，
∴，知在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根，
令，，
由，，，知，
综上可得的取值范围是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 幂函数
课程标准 学习目标
了解幂函数的概念． 2．结合函数yx，yx2，yx3，yx－1，的图象，了解他们的变化情况． 3．掌握五种幂函数的性质并会应用． 1．通过幂函数概念的学习，体现数学抽象等核心素养． 2．借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻辑推理等核心素养．
知识点01幂函数的定义
一般地，函数yxα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
【即学即练1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　）
A． B．
C． D．
知识点02常见幂函数的图象与性质
幂函数 yx yx2 yx3 yx yx－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减；x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
【即学即练2】已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 .
知识点03幂函数的特征
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
【即学即练3】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
题型01 幂函数的概念
【典例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】函数是幂函数，则实数的值为 ．
【变式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 求幂函数的解析式
【典例2】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可
【变式1】若幂函数过点，则此函数的解析式为 .
【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则 ．
【变式3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ．
【变式4】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
题型03 定义域问题
【典例3】（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个．
【变式2】（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·高一·湖北·期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
题型04 值域问题
【典例4】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 .
【变式1】若幂函数的图象过点，则的值域为 ．
【变式2】函数的值域为 .
【变式3】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 .
【变式4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
【变式5】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
题型05 幂函数的图像
【典例5】幂函数yx2，yx－2，yx，yx－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【变式1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】数在第一象限的图象如图所示，若，则 ．
【变式3】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
【变式6】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
题型06 图像过定点问题
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【变式1】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ．
【变式2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【变式3】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
题型07 利用单调性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【变式1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 .
【变式2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 .
【变式3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .
【变式4】（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
题型08比较大小问题
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
题型09 奇偶性问题
【典例9】　已知幂函数的图象过点，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的定义域为 D．在上单调递增
【变式1】已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【变式2】函数，若，则实数的范围是 ．
【变式3】已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
题型10 幂函数性质的综合运用
【典例10】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)若对于恒不成立，求的取值范围．
【变式1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对任意恒不成立，求实数的取值范围.
【变式2】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
【变式3】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
题型11 与幂函数有关的新定义问题
【典例11】（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【变式1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
一、单选题
1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线；
B．幂函数的图象都经过和两个点；
C．若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在区间上是严格增函数；
D．幂函数的图象不可能在第四象限．
2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为1 D．的最小值为0
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
6．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
二、多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
11．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ．
13．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 .
14．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是
①若，则存在区间M使为“弱增函数”
②若，则存在区间M使为“弱增函数”
③若，则为R上的“弱增函数”
④若在区间上是“弱增函数”，则
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点．
(1)求幂函数解析式；
(2)求证：幂函数在区间上是严格增函数．
16．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒不成立，求实数t的取值范围.
17．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得不成立，求实数的取值范围．
18．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得不成立，求实数t的取值范围.
19．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质．
(1)当时，函数否具有性质 若具有，求出，；若不具有，说明理由；
(2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围．
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